平面幾何中的向量方法

沈星瀚

向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，有著豐富的實際背景.用向量方法解決平面幾何問題有三步：

（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；

（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

（3）把向量運算結果翻譯成幾何關系.

簡述：形到向量→向量的運算→向量和數(shù)到形.

解決平面幾何問題時可以從向量的兩種運算——基底運算和坐標運算入手，把平面幾何問題用代數(shù)計算解決，降低幾何構造中的難度.下面對用“向量法”解決平面幾何問題舉例加以說明.

例1已知P為正方形ABCD的對角線AC上的任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，連接DP，EF.求證：DP⊥EF.

解法一設AB=a，AD=b，|a|=|b|=1且a·b=0，則DP=DA+λAC=-b+λ（a+b）=（λ-1）b+λa.

∵EF=EP+PF=λBC+（1-λ）AB=λb+（1-λ）a.

又∵DP·EF=[（λ-1）b+λa]·[λb+（1-λ）a]

=（λ2-λ）b2-（λ-1）2b·a+λ2b·a+（λ-λ2）a2

=0，

∴DP⊥EF.

解法二如圖所示，建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（1，0），D（0，1），若設P（a，a）（0

∴DP=（a，a-1），

EF=（1-a，a），

∴DP·EF=a（1-a）+（a-1）a=a-a2+a2-a=0，

∴DP⊥EF.

例2已知等腰三角形ABC中，D，E分別是兩腰AB，AC的中點，若CD⊥BE，則∠A是否為定值，并證明你的結論.

解法一設AB=a，AC=b，且|a|=|b|，

則CD=12a-b，BE=12b-a.

又∵CD⊥BE，即CD·BE=0，

12a-b·12b-a=0，

化簡得a·b=45a2=45|a|2，

∴cosA=a·b|a||b|=45，

∴∠A是定值.

解法二如圖所示，建立平面直角坐標系，可設A（0，b），B（-a，0），C（a，0），

∵D，E為AB，AC的中點，則

D-a2，b2，Ea2，b2，

∴CD=-3a2，b2，

BE=3a2，b2.

又∵CD⊥BE，即CD·BE=0，

∴-94a2+14b2=0，則b2=9a2.

∵AB=（-a，-b），AC=（a，-b），

∴cosA=AB·AC|AB||AC|=-a2+b2a2+b2=8a210a2=45，

∴∠A是定值.

總之，向量是近代數(shù)學中重要和基礎的數(shù)學概念之一，它既是幾何對象也是代數(shù)對象，因而成為數(shù)形結合的橋梁，成為溝通代數(shù)、幾何的得力工具.它之所以有用，關鍵是它具有一套良好的運算性質，可以使復雜問題簡單化、直觀化，使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化.正是由于向量所特有的數(shù)形二重性，使它成為高中數(shù)學知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介，在高中數(shù)學中有廣泛的應用.