用變量代換求解幾類一階微分方程

黃文蝶

摘要：用變量代換解微分方程可以使微分方程的求解問題化繁為簡，化難為易.將不能解決的問題轉(zhuǎn)化為可以能夠解決的問題。本文通過實際的例子，探討了變量代換在求解幾類微分方程之中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：變量代換；求解微分方程

可分離變量的微分方程可以直接分離變量求出方程的通解，一階線性微分方程可以通過常數(shù)變異法求出其通解。但是對于許多一階微分方程來說，不能通過前面講的方法直接求出微分方程的通解。但是可以把某個式子看成一個整體，或者用式子代替某些變量，從而使得問題得到簡化，這種方法也叫換元法。換元法的實質(zhì)是轉(zhuǎn)換，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換。變量代換是微分方程求解得一種重要方法，本文通過一些具體的例題介紹了如何用變量代換求解一階長微分方程的幾種方法。

1. 型的微分方程

對微分方程 作變量變換 ，求微分得 ，代入方程將 替換即得原方程得通解。

例1 求解方程

解 對上式作變量變換 ，求微分得

代入方程將 替換得

變形積分得原方程得通解為

2. 型的微分方程

微分方程 ，通過變量變換 ，則兩邊微分得

代入原方程化簡即得原方程得通解。

例2求解方程

解：對上式做變量變換 ；則兩邊微分得 ，

代入原方程化簡得 ；

再令 而 ，兩邊微分得

將上式代入化簡得其通解為

總結(jié)：當方程中出現(xiàn) 等形式的項的時候，通常要做相應(yīng)的變量替換 ...

3、伯努利方程

（ ）

當 時，我們用 乘兩邊，得到 現(xiàn)令 ，兩邊對 求導有 代入原方程即為

上式就是我們講解的一階線性非齊次方程，因此，可求得它的通解。此外，當 的時候，方程還有解

例3 求解方程

解：當 時，滿足方程，是方程的解

當 時，將該方程變形為 ，現(xiàn)令

于是方程變形為 為一階線性微分方程

得到原方程的通解為

4.一階隱式微分方程

第一類：微分方程 ，引入?yún)?shù) ，則 ，兩邊同時對 求導，則 是關(guān)于 的顯式方程。

第二類：微分方程 ，引入?yún)?shù) ，則 ，兩邊同時對 求導，則 是關(guān)于 的顯式方程。

第三類：微分方程 ，引入?yún)?shù) 。對 求微分并代入

則 ，又 ，則 是可分離變量微分方程。

第四類：微分方程 ，引入?yún)?shù) ，對 求微分并代入 ，則 是可分離變量微分方程。

例4 求解方程

解：令 得 代入原方程得 ，由此可得 ，

，又

所以 為可分離變量的微分方程，求解得

通過以上幾類微分方程的分析可以看出，變量代換作為一種基本技巧，是求解一階微分方程的一種重要方法。它可以將復(fù)雜的微積分形式通過變量替換轉(zhuǎn)換為常見的一階微分方程，方便求解。

參考文獻：

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