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    小心“直線與圓的誤區(qū)”忽悠你

    2018-01-11 12:03:49劉大鳴特級教師
    關(guān)鍵詞:坐標(biāo)軸傾斜角所求

    ■劉大鳴(特級教師)

    小心“直線與圓的誤區(qū)”忽悠你

    ■劉大鳴(特級教師)

    對于直線與圓的問題,同學(xué)們?nèi)菀自诟拍畹睦斫夂蛻?yīng)用上出現(xiàn)片面化,在解題過程中容易出現(xiàn)漏解或增解,從而導(dǎo)致“會而不全”的誤區(qū)。本文特別提醒,小心“直線與圓的誤區(qū)”忽悠你。

    忽悠1:忽視傾斜角的取值范圍

    例 1 直線(2t—l)x—(2t+2)y+l=0(t∈R)的傾斜角為α,則α的取值范圍是____。

    因為2t+l>l,可得—l<所以—l<tanα<l,則傾斜角α的取值范圍是 [—l35°,l35°]。

    剖析:上述解法忽視了直線傾斜角的定義及傾斜角的取值范圍。

    由上述解法可知—l<tanα<l。

    由傾斜角α∈ [0 ,l 80°),可知0≤α<45°或l35°<α<l80°。

    警示:直線的傾斜角的取值范圍為[0,l80°)。對于傾斜角α,當(dāng)α=90°時,直線的斜率不存在;當(dāng)α∈[0°,90°)時,傾斜角越大,斜率越大;當(dāng)α∈(90°,l80°)時,傾斜角越大,斜率越小。

    因為0°≤θ<l80°,所以θ=30°。

    忽悠2:忽視截距為零的特殊情況

    例 2 求過點(2,3),并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程。

    錯解2:因為直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,可知斜率為±l,且點(2,3)在該直線上,所以所求的直線方程為x+y—5=0或x—y+l=0。

    剖析:錯解l忽視了斜率不存在的情況,錯解2認(rèn)為直線不過原點。

    事實上,直線的斜率為l,截距互為相反數(shù),這時不合題意。

    截距相等可分截距為0與截距不為0兩種情況。當(dāng)截距不為0時,可用直線的截距式方程求解,也就是錯解l所求的直線方程,即x+y—5=0。當(dāng)截距為0時,直線過原點,其斜率為,即3x—2y=0。

    故所求的直線方程是x+y—5=0或3x—2y=0。

    警示:當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)“截距相等”、“截距互為相反數(shù)”、“截距的絕對值相等”等條件時,要注意截距為零的情況。本題也可設(shè)直線方程為y—3=k(x—2),再根據(jù)截距相等列方程求k的值,可避免漏解的發(fā)生。

    同步訓(xùn)練2:直線l過點P(4,—l),若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線l的方程為____。

    提示:若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,即直線過原點,直線的斜率,這時直線l的方程為x+4y=0;

    故所求直線l的方程為x+4y=0或x+y—3=0。

    忽悠3:忽視斜率不存在的情況

    例 3 討論直線ax+y—2=0與直線x—ay+3=0的位置關(guān)系。

    錯解:兩條直線的斜率分別為kl=—a,可知兩條直線互相垂直。

    剖析:上述解法忽視了直線的斜率不存在的情況。

    當(dāng)a≠0時,兩條直線的斜率分別為kl可知兩條直線互相垂直;

    當(dāng)a=0時,兩條直線方程為y=2和x=—3,顯然兩條直線互相垂直。

    綜上所述,直線ax+y—2=0與直線x—ay+3=0互相垂直。

    警示:利用klk2=—l判斷兩條直線垂直時,兩條直線的斜率都必須存在。當(dāng)兩條直線中的一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在,即一條直線平行于x軸,另一條直線垂直于x軸時,兩條直線也互相垂直。

    同步訓(xùn)練3:已知直線ll:ax+2y+6=0與l2:x+(a—l)y+a2—l=0平行,則實數(shù)a的值是( )。

    A.—l或2 B.0或l

    C.—l D.2

    提示:設(shè)直線ll:alx+bly+cl=0,l2:a2x+b2y+c2=0。

    由ll∥l2?alb2—a2bl=0且alc2—a2cl≠0,可知選C。

    忽悠4:求直線交點問題中分類不全

    例 4 三條直線ll:x—2y+l=0,l2:x+3y—l=0和l3:ax+2y—3=0共有兩個公共點,求a的值。

    錯解:由直線ll和直線l2可得方程組即直線l:xl—2y+l=0與直線l2:x+3y—l=0交于點

    由三條直線共有兩個公共點,可知ll∥l3或l2∥l3。

    由l3:ax+2y—3=0,可得解得

    剖析:上述解法對兩個公共點問題的情況分析不到位,忽視了特殊情況,從而產(chǎn)生了漏解。

    ①當(dāng)兩個公共點不相同時,由上述解法可得a=—l或a=2。

    3

    警示:求直線的交點時要依據(jù)交點個數(shù)合理分類,特別注意不要遺漏了特殊情況。

    同步訓(xùn)練4:若直線ll:y=kx+l與l2:x—y—l=0的交點在第一象限內(nèi),則k的取值范圍是( )。

    A.k>l

    B.—l<k<l

    C.k>l或k<—l

    D.k<—l

    忽悠5:忽視公式成立的條件

    例 5 求兩條平行直線ll:6x+8y=ll和l2:3x+4y—l5=0間的距離。

    警示:求兩條平行直線間的距離,也可以在其中的一條直線上取一點,求這點到另一條直線的距離,即把兩條平行直線間的距離問題,轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題求解。

    同步訓(xùn)練5:若兩條平行直線ll:x—2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny—6=0間的距離是,則m+n=( )。

    A.0 B.l

    C.—2 D.—l

    提示:由ll∥l2,可得解得n=—4,即得直線l2:x—2y—3=0,所以兩條平行直線間的距離解得m=2。故m+n=—2。應(yīng)選C。

    忽悠6:忽視兩點間距離公式的幾何意義

    剖析:上述解法在利用消元法求最小值時,忽視了x的取值范圍。

    因此,可過原點O(0,0)作直線2x+y+5=0的垂線,由點到直線的距離公式求垂線段的長即可。所以

    警示:利用點到直線的距離公式求解此題,凸顯數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。

    提示:利用數(shù)形結(jié)合法,求點Q(3,—5)到直線2x+y+5=0的距離即可。根據(jù)點到直線的距離公式可求得

    忽悠7:忽視圓方程的隱含條件

    例 7 討論方程x2+y2+2ax—b2=0表示的曲線的形狀。

    錯解:顯然,此方程所表示的曲線是圓。

    剖析:形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程配方可得,由此可通過判斷等式右邊的符號來確定方程所表示的曲線,但要注意對參數(shù)的討論。

    方程x2+y2+2ax—b2=0配方可得x+a()2+y2=a2+b2。

    當(dāng)a2+b2=0,即a=b=0時,方程x2+y2+2ax—b2=0表示點(0,0);

    當(dāng)a2+b2>0時,方程x2+y2+2ax—b2=0表示以(—a,0)為圓心,為半徑的圓。

    綜上可知,所給方程表示點或圓。

    警示:把握二元二次方程表示圓的條件是解答本題的關(guān)鍵。

    同步訓(xùn)練7:證明方程x4—y4—4x2+4y2=0表示的圖形為兩條相交直線和一個圓。

    提示:因為x4—y4—4x2+4y2=(x2—2)2—(y2—2)2=0,所以x2—2=±(y2—2),即x2=y2,x2+y2=4,也就是y=±x,x2+y2=4。

    故原方程表示兩條相交直線和一個圓。

    忽悠8:選擇圓方程的形式不當(dāng)

    例 8 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2—6x+l與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上,求圓C的方程。

    剖析:利用圓的一般方程的運算量較大,因此上述解法的計算出錯了。把握圓的幾何性質(zhì),巧設(shè)圓心坐標(biāo),可使運算過程簡單化。

    曲線y=x2—6x+l與y軸的交點為(0,l),與x 軸的交點為(3+2,0),(3—

    故所求圓C 的方程為(x—3)2+(y—l)2=9。

    警示:利用待定系數(shù)法求解圓的方程的關(guān)鍵是選擇方程的形式。

    同步訓(xùn)練8:拋物線y=x2—2x—3與坐標(biāo)軸的交點在同一個圓上,則由交點確定的圓的方程為( )。

    A.x2+(y—l)2=4

    B.(x—l)2+(y—l)2=4

    C.(x—l)2+y2=l

    D.(x—l)2+(y+l)2=5

    提示:拋物線y=x2—2x—3與坐標(biāo)軸的交點為(—l,0),(3,0),(0,—3)。

    由圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2—4F>0),把交點代入此方程可得解得D=—2,E=2,F(xiàn)

    =—3。故所求圓的方程為x2+y2—2x+2y—3=0,即(x—l)2+(y+l)2=5。應(yīng)選D。

    忽悠9:忽視對參數(shù)的分類討論

    例 9 設(shè)A(—c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點,動點P到點A的距離與到點B的距離的比為定值a(a>0),求點P的軌跡。

    剖析:上述解法忽視了對參數(shù)的分類討論。

    設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y)。由題意可得(l—a2)x2+2c(l+a2)x+c2(l—a2)+(l—a2)y2=0,注意到此方程的二次項系數(shù)相同的特征,可分類研究。

    當(dāng)a=l時,方程可化為x=0,其軌跡為直線;

    其軌跡為圓。

    綜上可知,當(dāng)a=l時,點P的軌跡為y軸;當(dāng)a≠l時,點 P 的軌跡是以點半徑的圓。

    警示:解答本題的關(guān)鍵是掌握二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件。

    同步訓(xùn)練9:如圖l,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x—4。

    設(shè)圓C的半徑為l,圓心在直線l上。

    圖l

    提示:因為圓心在直線l:y=2x—4上,所以圓C 的方程為(x—a)2+[y—2(a—2)]2=l。

    設(shè)點 M(x,y)。

    由題意可知點M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有共同點,則|2—l|+l,即l≤,整理得—8≤5a2—l2a≤0,解此不等式得圓C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為

    忽悠10:概念理解不清

    例 10 已 知 點 Pl(xl,yl)是 圓C:f(x,y)=0上的一個定點,P2(x2,y2)是圓C:f(x,y)=0外 的 一 個 定 點,則 方 程f(x,y)+f(xl,yl)+f(x2,y2)=0所表示的曲線是( )。

    A.直線 B.圓

    C.拋物線 D .不確定

    錯解:應(yīng)選A。

    剖析:由于對曲線方程的概念的理解不清,從而導(dǎo)致錯選。

    因為點 Pl(xl,yl)是圓C:f(x,y)=0上的一個定點,所以f(xl,yl)=0。

    因為 P2(x2,y2)是圓C:f(x,y)=0外的一個定點,所以f(x2,y2)是一個不為零的常數(shù),可知f(x,y)+f(xl,yl)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0仍表示一個圓。應(yīng)選B。

    警示:理解圓方程的概念是解答本題的關(guān)鍵。

    同步訓(xùn)練10:下列四個命題中,假命題是( )。

    A.經(jīng)過定點 P(x0,y0)的直線不一定都可以用方程y—y0=k(x — x0)表示

    B.經(jīng) 過 兩 個 不 同 的 定 點Pl(xl,yl),P2(x2,y2) 的 直 線 都 可 以 用 方 程(y — yl)(x2—xl)=k(x — xl)(y2—yl)表示

    D.經(jīng)過定點Q(0,b)的直線都可以表示為y=kx+b

    提示:利用直線方程的定義和表達式進行判斷。應(yīng)選D。

    忽悠11:忽視幾何條件的限制

    例 11 已知圓x2+y2=4,過點A(4,0)作圓的割線ABC,則弦BC中點P的軌跡方程為____。

    錯解:設(shè)割線的方程為y=k(x—4),弦BC中點P的坐標(biāo)為(x,y),則入y=k(x—4)消去k,可得所求軌跡方程為(x—2)2+y2=4。

    剖析:上述解法忽視了圓的弦的中點在圓的內(nèi)部的情況。

    易知軌跡應(yīng)在已知圓內(nèi)的部分,且x的取值范圍是0≤x<l。

    故所求弦BC中點P的軌跡方程為(x—2)2+y2=4(0≤x<l)。

    警示:解答本題的關(guān)鍵是求解軌跡方程時要注意實際問題中變量的取值范圍。

    同步訓(xùn)練11:點P4,—2()與圓x2+y2=4上任一點連接的線段的中點的軌跡方程為( )。

    A.x—2()2+y+l()2=l

    B.x—2()2+y+l()2=4

    C.x+4()2+y—2()2=4

    D.x+2()2+y—l()2=l

    提示:設(shè)所求的中點坐標(biāo)為Ax,y(),圓上一點設(shè)為B(x′,y′)。

    忽悠12:忽視變量的取值范圍

    由于直線l與曲線C有兩個公共點,所以方程(*)的判別式Δ=4b2—8(b2—l)>0,解得—

    同步訓(xùn)練12:若曲線y=與直線kx—y—2k+4=0有兩個相異的交點,則實數(shù)k的取值范圍是( )。

    顯然當(dāng)直線過點A(—2,l)時有兩個交點,此時kPA當(dāng)直線與圓相切,即直線在PB位置時有一個交點(即切點),此時

    圖2

    由圖2可知,當(dāng)直線在PA(含PA)與PB(不含PB)之間移動時均符合題意,故

    忽悠13:忽視兩圓外切(或內(nèi)切)的條件

    例 13 已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x—3)2+(y—4)2=r2},其中r>0,若A∩B中有且僅有一個元素,則r的值是____。

    錯解:因為A∩B中有且僅有一個元素,所以圓Cl:x2+y2=4與圓C2:(x—3)2+(y—4)2=r2相外切,則,解得r=3。

    剖析:上述解法忽視兩圓內(nèi)切的情況,從而導(dǎo)致漏解。

    當(dāng)兩圓內(nèi)切時,只能是圓Cl內(nèi)切于圓C2,所以=r—2=5,解得r=7。

    故所求r的值為3或7。

    警示:涉及兩圓相切的問題,往往需要考慮兩圓外切或內(nèi)切的情況進行分類討論。

    同步訓(xùn)練13:若圓Cl:x2+y2=l6與圓C2:(x—a)2+y2=l相切,則實數(shù)a的值為( )。

    A.±3 B.±5

    C.3或5 D.±5或±3

    提示:參考例l3的解法,可知所求a的值為±5或±3。應(yīng)選D。

    陜西洋縣中學(xué)

    (責(zé)任編輯 郭正華)

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