探究概率統(tǒng)計(jì)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

■河南省平頂山市第一高級(jí)中學(xué) 劉海洋

■河南省平頂山市第一中學(xué) 張玲敏

探究概率統(tǒng)計(jì)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

■河南省平頂山市第一高級(jí)中學(xué) 劉海洋

■河南省平頂山市第一中學(xué) 張玲敏

概率統(tǒng)計(jì)在高考中以抽樣、折線圖、莖葉圖、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等考查同學(xué)們應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。探究概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的求解過(guò)程,可以提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、合理運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

探究1：幾何概型與其他知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯

例1 記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域?yàn)镈。在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是____。

解析：因?yàn)樵囼?yàn)的基本事件個(gè)數(shù)是無(wú)限個(gè)且是一元變量,所以選擇區(qū)間長(zhǎng)度為測(cè)度求長(zhǎng)度比,從解不等式切入。由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得x∈D的概率是

點(diǎn)擊素養(yǎng)：幾何概型具有“無(wú)限性和等可能性”。基本事件可以抽象為點(diǎn),一元變量選長(zhǎng)度為測(cè)度,二元變量選面積為測(cè)度,可用“比例解法”求解幾何概型的概率,幾何概型的“測(cè)度”使得它與平面區(qū)域內(nèi)的長(zhǎng)度、幾何圖形、軌跡、定積分等進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)交匯。

探究2：古典概型與排列組合的交匯

例2 從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張,則抽到的2張卡片上的數(shù)的奇偶性不同的概率是( )。

解析：元素自然分組計(jì)數(shù),注意合理分類,區(qū)分“有序”與“無(wú)序”,標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中,所標(biāo)的數(shù)是奇數(shù)的有5張,所標(biāo)的數(shù)是偶數(shù)的有4張,所以抽到的2張卡片上的數(shù)的奇偶性不同的概率

故選C。

點(diǎn)擊素養(yǎng)：求古典概型的概率,明確所求事件本身的含義,區(qū)分“有序”與“無(wú)序”,利用排列組合計(jì)數(shù),當(dāng)正面問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí),往往采取計(jì)數(shù)其對(duì)立事件,進(jìn)而用公式求解。

探究3：離散型隨機(jī)變量的概率分布列和期望

例3 從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為

(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率。所以隨機(jī)變量X的分布列為表1。

表1

(2)2輛車共遇到1個(gè)紅燈的事件包括:第1輛遇到1次紅燈,第2輛遇到0次紅燈;第1輛遇到0次紅燈,第2輛遇到1次紅燈。設(shè)Y表示第1輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),Z表示第2輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),用(1)的結(jié)果,則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=所以,這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率

點(diǎn)擊素養(yǎng)：理解隨機(jī)變量的可能取值,就是借助互斥事件進(jìn)行合理分類,根據(jù)每類情況構(gòu)建相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生借助排列組合計(jì)數(shù),利用古典概型公式確定分布列進(jìn)而計(jì)算出數(shù)學(xué)期望。

探究4：統(tǒng)計(jì)圖表與獨(dú)立性檢驗(yàn)及概率模型的交匯

例4 某中學(xué)舉行了一次詩(shī)詞競(jìng)賽,組委會(huì)在競(jìng)賽后,從中抽取了1 0 0名選手的成績(jī)(百分制),作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出了頻率分布直方圖,如圖1所示,分析后將得分不低于6 0分的學(xué)生稱為“詩(shī)詞達(dá) 人”,低于6 0分的學(xué)生稱為“詩(shī)詞待加強(qiáng)者”。

圖1

(1)根據(jù)已知條件完成表2所示的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.0 1的前提下認(rèn)為“詩(shī)詞達(dá)人”與性別有關(guān)?

表2

(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校參與活動(dòng)的學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“詩(shī)詞達(dá)人”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)。

表3

解析：(1)2×2列聯(lián)表如表4所示。

表4

(2)由頻率分布直方圖知,從中任意抽取1人恰為“詩(shī)詞達(dá)人”的概率為則被抽取的3人中“詩(shī)詞達(dá)人”的人數(shù)為X,依題

點(diǎn)擊素養(yǎng)：由頻率分布直方圖,提取信息填寫2×2列聯(lián)表,進(jìn)而計(jì)算K2判斷兩變量相關(guān)性的把握程度,由直方圖確定頻率即概率,構(gòu)建二項(xiàng)分布模型算數(shù)學(xué)期望和方差,考查同學(xué)們對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力、統(tǒng)計(jì)思想的建立能力,以及運(yùn)算求解概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的能力。

注:本文系河南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2 0 1 7年度課題“高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的案例研究”(課題編號(hào):【2 0 1 7】-J K G B Y B-0 7 1 4)的階段性研究成果之一。

(責(zé)任編輯 王福華)