關(guān)于強(qiáng)T-擬凸函數(shù)的幾點(diǎn)注記

胡 芳

(武漢生物工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程系,湖北 武漢 430415)

關(guān)于強(qiáng)T-擬凸函數(shù)的幾點(diǎn)注記

胡 芳

(武漢生物工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程系,湖北 武漢 430415)

主要討論了強(qiáng)T-擬凸函數(shù)的判定方法，得到某些新的結(jié)論，推廣了文獻(xiàn)中的主要結(jié)論.

擬凸函數(shù)；T-擬凸函數(shù);強(qiáng)T-擬凸函數(shù)

0 引言

T-擬凸函數(shù)是一類非常重要的廣義凸函數(shù)，已有大量的文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行了研究.2007年，寧剛在文獻(xiàn)[1]中討論了T-凸函數(shù)與T-擬凸函數(shù)的等價(jià)條件；2009年，鐘超瑾給出了T-凸集上的函數(shù)的半連續(xù)性與T-擬凸性之間的關(guān)系[2]；2011年，韋麗蘭等人在文獻(xiàn)[3]中討論了在上(下)半連續(xù)的假設(shè)條件下，T-凸函數(shù)與T-擬凸函數(shù)的等價(jià)條件。隨著凸性研究的深入，T-擬凸函數(shù)，強(qiáng)T-擬凸函數(shù)及嚴(yán)格T-擬凸函數(shù)越來(lái)越成為更加重要的廣義凸函數(shù)，然而，對(duì)于強(qiáng)T-擬凸函數(shù)的研究非常有限.本文主要討論強(qiáng)T-擬凸函數(shù)的判定方法，得到了某些新的結(jié)論，推廣了文獻(xiàn)中的主要結(jié)論.

1 定義

定義1[1]設(shè)D?Rn，f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù)，若存在映射T:Rn→Rn使得D為T(mén)-凸集，且對(duì)?x,y∈D，及任意實(shí)數(shù)λ∈[0,1]，恒有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]≤max{f(T(x)),f(T(y))},

(1)

則稱f是D上的T-擬凸函數(shù).如果-f是D上的T-擬凸函數(shù)，則稱f是D上的T-擬凹函數(shù).

定義2[4]設(shè)D?Rn，f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù)，映射T:Rn→Rn使得D為T(mén)-凸集且T(D)為凸集，若對(duì)?x,y∈D，x≠y，以及任意實(shí)數(shù)λ∈[0,1]，有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(2)

則稱f是D上的強(qiáng)T-擬凸函數(shù).

定義3[4]設(shè)D?Rn，f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù)，映射T:Rn→Rn使得D為T(mén)-凸集且T(D)為凸集，對(duì)?x,y∈D，f(T(x))≠f(T(y))，以及任意實(shí)數(shù)λ∈[0,1]，有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(3)

則稱f是D上的嚴(yán)格T-擬凸函數(shù).

2 主要結(jié)論

引理[2]設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的n元實(shí)值下半連續(xù)函數(shù),且存在λ∈(0,1)使得

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]≤max{f(T(x)),f(T(y)),?x,y∈D},

(4)

則f是D上的T-擬凸函數(shù).

定理1設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的n元實(shí)值下半連續(xù)函數(shù),則f是D上的強(qiáng)T-擬凸函數(shù)的充要條件是對(duì)于?x,y∈D,x≠y,存在λ∈(0,1),λ依賴x,y，使得

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(5)

證明1)(充分條件)顯然成立.

2)(必要條件)反證法.假設(shè)f不是強(qiáng)T-擬凸函數(shù)，則?x1,x2∈D,x1≠x2及 ?0∈(0,1),有

f[?0T(x1)+(1-?0)T(x2)]≥max{f(T(x1)),f(T(x2))},

(6)

由假設(shè)及條件，可根據(jù)引理知f是D上的T-擬凸函數(shù)，即有

f[?0T(x1)+(1-?0)T(x2)]≤max{f(T(x1)),f(T(x2))},

(7)

由(6)、(7)可知

f[?0T(x1)+(1-?0)T(x2)]=max{f(T(x1)),f(T(x2))},

(8)

不妨設(shè)f(T(x1))≥f(T(x2)),令T(z)=?0T(x1)+(1-?0)T(x2).

a)若f(T(x2))>f(T(x1)),則(8)可簡(jiǎn)化為

f(T(z))=max{f(T(x1)),f(T(x2))}=f(T(x2))>f(T(x1)),

(9)

對(duì)z,x2，由條件可得，存在λ0∈(0,1)，有

f[λ0T(z)+(1-λ0)T(x2)]

(10)

記(T(z),T(x2))={λT(z)+(1-λ)T(x2)|λ∈(0,1)},又由D是T-凸集且T(D)是凸集，則存在z1,使得T(z1)=λ0T(z)+(1-λ0)T(x2)，顯然，T(z1)∈(T(z),T(x2)),則(10)可簡(jiǎn)化為

f(T(z1))

(11)

顯然，T(z)∈(T(x1),T(z1)).又,f是D上的T-擬凸函數(shù)，對(duì)x1,z1，?λ∈(0,1)，有

f(T(z))=f(λT(x1)+(1-λ)T(z1))≤max{f(T(x1)),f(T(z1))},

(12)

由(9)、(11)、(12)可知矛盾，故假設(shè)不成立.

b)若f(T(x2))=f(T(x1)),(8)式化簡(jiǎn)為

f(T(z))=max{f(T(x1)),f(T(x2))}=f(T(x1))=f(T(x2)),

(13)

對(duì)x1,z用條件知,?λ1∈(0,1)有

f(λ1T(x1)+(1-λ1)T(z))

(14)

對(duì)x2,z用條件知,?λ2∈(0,1)有

f(λ2T(x2)+(1-λ2)T(z))

(15)

令T(y1)=λ1T(x1)+(1-λ1)T(z),T(y2)=λ2T(x2)+(1-λ2)T(z)，則T(z)∈(T(y1),T(y2)).

結(jié)合(13)式，化簡(jiǎn)(14), (15)分別為

f(T(y1))

(16)

f(T(y2))

(17)

又,f是D上的T-擬凸函數(shù)，對(duì)y1,y2，?λ∈(0,1)，有

f(T(z))≤max{f(T(y1)),f(T(y2))},

(18)

顯然(16), (17), (18)式矛盾.

綜上所述，假設(shè)不成立,即定理的必要條件成立.

推論1設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的n元實(shí)值下半連續(xù)函數(shù), 若存在λ∈(0,1),對(duì)于?x,y∈D,x≠y,有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(19)

則f是D上的強(qiáng)T-擬凸函數(shù).

推論2設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的T-擬凸函數(shù), 若對(duì)?x,y∈D,x≠y，當(dāng)f(T(x))=f(T(y))時(shí)，?λ∈(0,1)，有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(20)

則f是D上的強(qiáng)T-擬凸函數(shù).

定理2設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的嚴(yán)格T-擬凸函數(shù), 且對(duì)?x,y∈D,x≠y，當(dāng)f(T(x))=f(T(y))時(shí)， ?λ∈(0,1)，有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(21)

則f是D上的強(qiáng)T-擬凸函數(shù).

證明反證法. 設(shè)f不是D上的強(qiáng)T-擬凸函數(shù)，則?x1,x2∈D，x1≠x2，λ1∈(0,1)，使得

f[λ1T(x1)+(1-λ1)T(x2)]≥max{f(T(x1)),f(T(x2))}，

(22)

D是T-凸集且T(D)是凸集，則?z0∈D，使得T(z0)=λ1T(x1)+(1-λ1)T(x2)，則有

f(T(z0))≥max{f(T(x1)),f(T(x2))}.

(23)

1)若f(T(x1))>f(T(x2)),由f是定義在D上的嚴(yán)格T-擬凸函數(shù)，對(duì)于x1,x2∈D，λ1∈(0,1),有

f[λ1T(x1)+(1-λ1)T(x2)]

(24)

即f(T(z0))

2)若f(T(x1))=f(T(x2))，由條件可知，?λ0∈(0,1)，使得

f[λ0T(x1)+(1-λ0)T(x2)]

(25)

D是T-凸集且T(D)是凸集，則?z1∈D，使得T(z1)=λ0T(x1)+(1-λ0)T(x2).

(25)式化簡(jiǎn)為

f(T(z1))

(26)

T(z1)≠T(z2),則T(z1)∈(T(x1),T(z0))或T(z1)∈(T(z0),T(x2)).

若T(z1)∈(T(x1),T(z0))，則T(z0)∈(T(z1),T(x2)).

由f(T(z1))≠f(T(x2))，又f是嚴(yán)格T-擬凸函數(shù)，對(duì)于z1,x2∈D，有

f(T(z0))

(27)

與(23)式矛盾.

若T(z1)∈(T(z0),T(x2))，則T(z0)∈(T(x1),T(z1)).

由f(T(x1))≠f(T(z1)),又f是嚴(yán)格T-擬凸函數(shù)，對(duì)于z1,x1∈D，有

f(T(z0))

(28)

與(23)式矛盾.

綜上所述，假設(shè)不成立.

定理3設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的T-擬凸函數(shù), ??0∈(0,1)對(duì)?x,y∈D,當(dāng)x≠y時(shí)，有

f[?0T(x)+(1-?0)T(y)]

(29)

則f是D上的強(qiáng)T-擬凸函數(shù).

證明假設(shè)f不是D上的強(qiáng)T-擬凸函數(shù).?x,y∈D，λ0∈(0,1)，雖有x≠y，但

f[λ0T(x)+(1-λ0)T(y)]≥max{f(T(x)),f(T(y))}.

(30)

令T(z)=λ0T(x)+(1-λ0)T(y),(30)式簡(jiǎn)化為

f(T(z))≥max{f(T(x)),f(T(y))}.

(31)

由f是定義在D上的T-擬凸函數(shù)，則?x,y∈D，均有

f(T(z))≤max{f(T(x)),f(T(y))},

(32)

由(31)，(32)可知

f(T(z))=max{f(T(x)),f(T(y))}.

(33)

(34)

(35)

(36)

由(34), (35), (36)可知

f(T(z))

(37)

顯然(37)和(33)矛盾,則假設(shè)不成立.

[1] 寧剛.E-凸函數(shù)的若干性質(zhì)[J]. 運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，2007,11(1):121-126.

[2] 鐘超瑾.E-凸集上的函數(shù)的半連續(xù)性與E-擬凸性[J]. 廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，29(3):48-51.

[3] 韋麗蘭,黃雪燕.E-凸函數(shù)和E-擬凸函數(shù)的等價(jià)條件[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011,41(15):191-197.

[4] 邢志棟，王雙虎. 擬凸函數(shù)的一個(gè)充分條件[J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，1990,2(6)：76-79.

SomeNotesonStrongT-QuasiConvexFunction

HU Fang

(DepartmentofComputerandInformationEngineering,WuhanInstituteofBioengineering,Wuhan430415,China)

Mainly discusses the determination method of strongT-quasi convex function, and obtains some new conclusions, and generalizes the main conclusions in the literatures.

quasi-convex function;T-quasi-convex function; strongT-quasi convex function

2017-08-03

胡 芳(1984—)，女，湖北武漢人，武漢生物工程學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程系副教授，主要研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)、凸分析.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.04.005

O13

A

1007-0834(2017)04-0022-03