多元凸函數(shù)及其Jensen不等式

成凱歌

(浙江旅游職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，浙江 杭州 311231)

多元凸函數(shù)及其Jensen不等式

成凱歌

(浙江旅游職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，浙江 杭州 311231)

凸函數(shù)是一類性質(zhì)特殊的函數(shù)，一些重要性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用，凸集和凸函數(shù)在泛函分析、最優(yōu)化理論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域占據(jù)著重要地位. 借助一維凸集和凸函數(shù)概念，介紹了多元凸函數(shù)的概念、判斷、復(fù)合運(yùn)算和多元凸函數(shù)的Jensen不等式.

凸集；凸函數(shù)；復(fù)合運(yùn)算；Jensen不等式

函數(shù)的凹凸性反映函數(shù)圖像的彎曲方向，掌握函數(shù)的凹凸性是準(zhǔn)確把握函數(shù)性態(tài)、描繪函數(shù)圖像的重要手段，另外，凸函數(shù)作為一類重要的函數(shù)，其具有的重要性質(zhì)，在函數(shù)極值、不等式研究、數(shù)學(xué)規(guī)劃、逼近論、對策論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.目前對于一元凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用已經(jīng)有了廣泛的研究，取得了豐富的成果[1-10]. 但對于涉及多元凸函數(shù)的討論，已經(jīng)取得的結(jié)果并不多，本文在給出多元凸函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對多元凸函數(shù)的判斷，多元凸函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算及其Jensen不等式進(jìn)行了研究，并獲得了一些成果.

1 預(yù)備知識

定義1[11]某集合稱為凸集, 是指連接該集合中的任何兩點(diǎn)的連接直線段上的點(diǎn)都在該集合中.

定義2[11]設(shè)X是一個線性空間,x1,x2∈X為任意兩點(diǎn)，稱

[x1,x2]={x|x=λx1+(1-λ)x2,λ∈[0,1]}

為連接點(diǎn)x1,x2的閉線段.

定義3[11]設(shè)X是一個線性空間, 子集A?X稱為凸集，是指對x1,x2∈A及λ∈[0,1]，有

λx1+(1-λ)x2∈A

或者

[x1,x2]∈A.

定義4[12]設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義, 如果對于任意x1,x2∈I和λ∈(0,1)，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

(1)

則稱f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，如果(1)中不等號改為嚴(yán)格不等號，則稱f(x)為區(qū)間I上的嚴(yán)格凸函數(shù).

定義5[12]設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義, 如果對于任意x1,x2∈I和λ∈(0,1)，有

f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),

(2)

則稱f(x)為區(qū)間I上的凹函數(shù)，如果(2)中不等號改為嚴(yán)格不等號，則稱f(x)為區(qū)間I上的嚴(yán)格凹函數(shù).

定義6[13]設(shè)D?R2是平面上的一個凸集，函數(shù)f(x,y)在D上有定義，如果對?λ∈(0,1)，以及?(x1,y1),(x2,y2)∈D,有

f(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)≤λf(x1,y1)+(1-λ)f(x2,y2)，

(3)

則稱f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù)，如果(3)中不等號改為嚴(yán)格不等號，則稱f(x,y)為區(qū)域D上的嚴(yán)格凸函數(shù).

定義7[13]設(shè)D?R2是平面上的一個凸集，函數(shù)f(x,y)在D上有定義，如果對?λ∈(0,1)，以及?(x1,y1),(x2,y2)∈D，有

f(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)≥λf(x1,y1)+(1-λ)f(x2,y2)，

(4)

則稱f(x,y)為區(qū)域D上的凹函數(shù)，如果(4)中不等號改為嚴(yán)格不等號，則稱f(x,y)為區(qū)域D上的嚴(yán)格凹函數(shù).

定義8設(shè)D?R2是平面上的一個點(diǎn)集，函數(shù)f(x,y)在D上有定義，對?(x1,y1),(x2,y2)∈D，如果當(dāng)x1

f(x1,y1)≤f(x2,y2)，

(5)

則稱f(x,y)為區(qū)域D上的增函數(shù)，如果(5)中不等號改為嚴(yán)格不等號，則稱f(x,y)為區(qū)域D上的嚴(yán)格增函數(shù).

定義9設(shè)D?R2是平面上的一個點(diǎn)集，函數(shù)f(x,y)在D上有定義，對?(x1,y1),(x2,y2)∈D，如果當(dāng)x1

f(x1,y1)≥f(x2,y2)，

(6)

則稱f(x,y)為區(qū)域D上的減函數(shù)，如果(6)中不等號改為嚴(yán)格不等號，則稱f(x,y)為區(qū)域D上的嚴(yán)格減函數(shù).

2 主要結(jié)果

對于許多函數(shù)而言，從定義出發(fā)判定它是否為凸函數(shù)往往是非常困難的，所以，尋求凸函數(shù)更為簡潔的判定方法，是最為感興趣的問題.此外，函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算是函數(shù)運(yùn)算的重要內(nèi)容之一，也是構(gòu)造新函數(shù)的重要手段之一，在復(fù)合運(yùn)算過程中，令人非常感興趣的是原來函數(shù)的性質(zhì)在通過復(fù)合運(yùn)算得到的新函數(shù)里能否繼續(xù)保持下來， 以下先討論這兩個方面的問題.

2.1 多元凸函數(shù)的判斷

定理1設(shè)D?R2是平面上的一個凸集，函數(shù)f(x,y)在D上有定義，且fx(x,y)和fy(x,y)在D上的每一點(diǎn)都存在. 假如對D中任意兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)，有

f(x2,y2)≥f(x1,y1)+fx(x1,y1)(x2-x1)+fy(x1,y1)(y2-y1)，

(7)

則f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù).

證明設(shè)(x1,y1),(x2,y2)為D上的任意兩點(diǎn)，對任意λ∈(0,1)，令

x3=λx1+(1-λ)x2，y3=λy1+(1-λ)y2，

則有

x1-x3=(1-λ)(x1-x2)，y1-y3=(1-λ)(y1-y2)，

x2-x3=λ(x2-x1)，y2-y3=λ(y2-y1).

根據(jù)(7)式，有

f(x1,y1)≥f(x3,y3)+(1-λ)fx(x3,y3)(x1-x2)+(1-λ)fy(x3,y3)(y1-y2)，

f(x2,y2)≥f(x3,y3)+λfx(x3,y3)(x2-x1)+λfy(x3,y3)(y2-y1).

分別用λ和1-λ乘以上述兩式并相加，得

λf(x1,y1)+(1-λ)f(x2,y2)≥f(x3,y3)=f(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2).

所以，f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù).

注定理1表明，如果曲面z=f(x,y)總是在它每一點(diǎn)切平面的上方，則f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù).

定理2設(shè)D?R2是平面上的一個凸集，函數(shù)f(x,y)在D上有定義，且f(x,y)在D上存在所有的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果對D中任意一點(diǎn)(x,y)，有

fxx(x,y)≥0,fxy(x,y)≥0,fyy(x,y)≥0，

(8)

則f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù).

證明設(shè)(x1,y1),(x2,y2)為D上的任意兩點(diǎn)，由多元函數(shù)的Taylor公式，存在θ∈(0,1)，使得

(9)

根據(jù)條件(8)，有

(10)

由(9)和(10)式，即得(7)式成立，從而,由定理1得f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù).

2.2 一元凸函數(shù)和二元凸函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算

設(shè)D?R2是平面上的一個凸集，函數(shù)f(x,y)在D上有定義，則有以下定理3.

定理3假設(shè)f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù)，g(x)為區(qū)間J?f(D)上的凸增函數(shù)，則g°f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù).

證明對?λ∈(0,1)，以及?(x1,y1),(x2,y2)∈D，有

f(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)≤λf(x1,y1)+(1-λ)f(x2,y2)，

結(jié)合g(x)的遞增性及凸性，得

g°f(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)=g(f(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2))≤

g(λf(x1,y1)+(1-λ)f(x2,y2))=λg(f(x1,y1))+(1-λ)g(f(x2,y2))=

λg°f(x1,y1)+(1-λ)g°f(x2,y2),

所以，g°f(x,y)為區(qū)間D上的凸函數(shù).

類似上述的討論，即可得以下結(jié)論.

定理4假設(shè)f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù)，g(x)為區(qū)間J?f(D)上的凹減函數(shù)，則g°f(x,y)為區(qū)域D上的凹函數(shù).

定理5假設(shè)f(x,y)為區(qū)域D上的凹函數(shù)，g(x)為區(qū)間J?f(D)上的凹增函數(shù)，則g°f(x,y)為區(qū)域D上的凹函數(shù).

定理6假設(shè)f(x,y)為區(qū)域D上的凹函數(shù)，g(x)為區(qū)間J?f(D)上的凸減函數(shù)，則g°f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù).

設(shè)D?R2是平面上的一個凸集，函數(shù)f(x,y)定義在區(qū)域D?J×J上，g(x)定義在區(qū)間J上，對?(x,y)∈D，有(g(x),g(y))∈D，則有以下定理.

定理7假設(shè)g(x)為區(qū)間J上的凸函數(shù)，f(x,y)為區(qū)域D上的凸增函數(shù)，則F(x,y)=f(g(x),g(y))為區(qū)域D上的凸函數(shù).

證明對?λ∈(0,1)，以及?(x1,y1),(x2,y2)∈D，由g(x)的凸性，得

g(λx1+(1-λ)x2)≤λg(x1)+(1-λ)g(x2)，

g(λy1+(1-λ)y2)≤λg(y1)+(1-λ)g(y2)，

結(jié)合f(x,y)的遞增性以及凸性，得

F(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)=f(g(λx1+(1-λ)x2),g(λy1+(1-λ)y2))≤

f(λg(x1)+(1-λ)g(x2),λg(y1)+(1-λ)g(y2))≤

λf(g(x1),g(y1))+(1-λ)f(g(x2),g(y2))=λF(x1,y1)+(1-λ)F(x2,y2),

所以，g°f(x,y)為區(qū)域D上的凸函數(shù).

類似上述的討論，即可得以下結(jié)論.

定理8假設(shè)g(x)為區(qū)間J上的凸函數(shù)，f(x,y)為區(qū)域D上的凹減函數(shù)，則F(x,y)=f(g(x),g(y))為區(qū)域D上的凹函數(shù).

定理9假設(shè)g(x)為區(qū)間J上的凹函數(shù)，f(x,y)為區(qū)域D上的凹增函數(shù)，則F(x,y)=f(g(x),g(y))為區(qū)域D上的凹函數(shù).

定理10假設(shè)g(x)為區(qū)間J上的凹函數(shù)，f(x,y)為區(qū)域D上的凸減函數(shù)，則F(x,y)=f(g(x),g(y))為區(qū)域D上的凸函數(shù).

2.3 二元凸函數(shù)和二元凸函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算

設(shè)D1,D2?R2都是平面上的凸集，函數(shù)g(x,y)在D2上有定義，f1(x,y)和f2(x,y)都在D1上有定義，且滿足{(f1(x,y),f2(x,y))|(x,y)∈D1}?D2.

定理11假設(shè)f1(x,y)和f2(x,y)都是D1上的凸函數(shù)，g(x,y)為區(qū)域D2上的凸增函數(shù)，則F(x,y)=g(f1(x,y),f2(x,y))為區(qū)域D1上的凸函數(shù).

證明對?λ∈(0,1)，以及?(x1,y1),(x2,y2)∈D1，由f1(x,y),f2(x,y)的凸性，得

f1(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)≤λf1(x1,y1)+(1-λ)f1(x2,y2)，

f2(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)≤λf2(x1,y1)+(1-λ)f2(x2,y2)，

結(jié)合g(x,y)的遞增性和凸性，得

F(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)=

g(f1(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2),f2(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2))≤

g(λf1(x1,y1)+(1-λ)f1(x2,y2),λf2(x1,y1)+(1-λ)f2(x2,y2))≤

λg(f1(x1,y1),f2(x1,y1))+(1-λ)g(f1(x2,y2),f2(x2,y2))=

λF(x1,y1)+(1-λ)F(x2,y2),

所以，F(xiàn)(x,y)=g(f1(x,y),f2(x,y))為區(qū)域D1上的凸函數(shù).

類似上述的討論，即可得以下結(jié)論.

定理12假設(shè)f1(x,y)和f2(x,y)都是D1上的凸函數(shù)，g(x,y)為區(qū)域D2上的凹減函數(shù)，則F(x,y)=g(f1(x,y),f2(x,y))為區(qū)域D1上的凹函數(shù).

定理13假設(shè)f1(x,y)和f2(x,y)都是D1上的凹函數(shù)，g(x,y)為區(qū)域D2上的凹增函數(shù)，則F(x,y)=g(f1(x,y),f2(x,y))為區(qū)域D1上的凹函數(shù).

定理14假設(shè)f1(x,y)和f2(x,y)都是D1上的凹函數(shù)，g(x,y)為區(qū)域D2上的凸減函數(shù)，則F(x,y)=g(f1(x,y),f2(x,y))為區(qū)域D1上的凸函數(shù).

由以上討論可得：在凸函數(shù)的復(fù)合過程中，在內(nèi)函數(shù)是凸函數(shù)的條件下，當(dāng)外函數(shù)是凸增函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)是凸函數(shù)，而當(dāng)外函數(shù)是凹減函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)是凹函數(shù)；在內(nèi)函數(shù)是凹函數(shù)的條件下，當(dāng)外函數(shù)是凸減函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)是凸函數(shù)，而當(dāng)外函數(shù)是凹增函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)是凹函數(shù).

2.4 Jensen不等式

設(shè)D?R2是平面上的一個凸集，函數(shù)f(x,y)在D上有定義，則有

(11)

設(shè)(xi,yi)∈D,i=1,2,…,k,k+1，及

這就證明了對任意給定正整數(shù)n≥2，凸函數(shù)f(x,y)總有不等式(11)成立.

上述討論的定理15表明,對于多元凸函數(shù)Jensen不等式依然成立.

由定義7及定理15的證明即可得定理16.

(12)

[1] 何敏藩，胡詩國.凹凸函數(shù)的兩個定義的等價性證明及應(yīng)用[J].廣東第二師范學(xué)院學(xué)報，2017，37(3)：50-53.

[2] 韓艷娜.關(guān)于函數(shù)凹凸性的教學(xué)探討[J].佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2016，162(5)：282-283.

[3] 張亞楠，劉長劍.關(guān)于凸函數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015，31(4)：53-54.

[4] 時統(tǒng)業(yè)，謝井，李鼎.關(guān)于凸函數(shù)的新不等式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016,19(1)：51-53.

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[6] 趙宇，黃金瑩，王希圓.數(shù)學(xué)分析中的條件極值問題[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2013,29(2)：102-106.

[7] 趙秀.談?wù)勍购瘮?shù)及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2017(7)：56-57.

[8] 張鑑，顧春，石煥南.凸函數(shù)的兩個性質(zhì)的控制證明[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016,19(4)：32-33.

[9] 曹澤龍.凸函數(shù)與不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017(6)：64-66.

[10] 李德奎.一元函數(shù)凹凸性的一個充分條件[J].遼寧大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2017,44(2)：114-117.

[11] 尚亞東,游淑軍.凸函數(shù)及其在不等式證明中的應(yīng)用[J].廣州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2005,4(1)：1-6.

[12] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊[M].4版.北京：高等教育出版社，2010：151-156.

[13] 廖俊俊，吳潔.關(guān)于凸性的一些探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2016,32(6)：91-95.

MultivariateConvexFunctionandJensenInequalities

CHENG Kaige

(DepartmentofBasic,TourismCollegeofZhejiang，Hangzhou311231,China)

The convex function is a function with the special properties, and some of its important properties are used widely. Convex sets and convex functions play the important roles in functional analysis, optimization theory, mathematical economics, etc. With the help of the concepts of convex sets and convex functions in one-dimension, introduces the concept of multivariate convex function, judgment, composite operation, and Jensen inequality operation of the multivariate convex function.

convex set; convex function; compound operation; Jensen inequality

2017-09-24

浙江旅游職業(yè)學(xué)院優(yōu)質(zhì)課程資助項目(2017ZLY012)

成凱歌(1968—),男,浙江杭州人，浙江旅游職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.04.002

O174.6

A

1007-0834(2017)04-0006-05