弱導(dǎo)數(shù)意義下的Landau型不等式

曹德賢　鄭明　李娌芝　官心果

摘 要 目前，很多學(xué)者針對Landau型不等式做出了研究，但是對于導(dǎo)數(shù)為弱導(dǎo)數(shù)意義下是否成立一直沒有人去驗(yàn)證，證明的方法與普通意義下不等式的證明類似，根據(jù)Hille-Yosida生成定理，通過弱導(dǎo)數(shù)算子可生成相應(yīng)的半群，結(jié)合半群的性質(zhì)可以證明一些弱導(dǎo)數(shù)意義下的Landau型不等式。

關(guān)鍵詞 Landau型不等式 弱導(dǎo)數(shù) 壓縮強(qiáng)連續(xù)半群

中圖分類號：O174.14 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

不等式理論在數(shù)學(xué)理論中有重要的地位，以1928年Chebyshev發(fā)表的論文和1934年G.Plya出版的書為不等式理論的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，如今不等式理論已發(fā)展為一門獨(dú)立系統(tǒng)的學(xué)科。Landau型不等式就是這個時期得到了發(fā)展，該不等式在函數(shù)逼近論和微分方程方向中都有很重要的應(yīng)用，Landau在1913年最早開始研究這個類型不等式：

該文章主要考慮了此不等式中的導(dǎo)數(shù)為弱導(dǎo)數(shù)情形下是否仍然成立的情況，弱導(dǎo)數(shù)定義如下：

設(shè)，如果存在且滿足：

就稱是在區(qū)域上的階弱導(dǎo)數(shù)。

本文的主要結(jié)果有：

定理1：

在弱導(dǎo)數(shù)意義下有：

定理2：

在弱導(dǎo)數(shù)意義下有：

1基本引理

引理1：設(shè)是半群的無窮小生成元， 滿足如果，則：

證明：由半群性質(zhì)可得，當(dāng)時，有

所以有，

取，帶入得：.

2定理的證明

定理1：設(shè)，.算子定義為：

， 其中導(dǎo)數(shù)為弱導(dǎo)數(shù)，v為常數(shù)

因?yàn)槎堑某碜蛹?，則此算子是稠定的

對于，有.

由我們可以得出：

并且得到

其中，

所以，并且

因此，根據(jù)Hille-Yosida生成定理，算子生成上的一個強(qiáng)連續(xù)壓縮半群.

由引理1知：

又由壓縮半群定義知上式的M=1，再帶入算子得：

定理2： 取設(shè)常數(shù) ，定義算子：

其中的導(dǎo)數(shù)為弱導(dǎo)數(shù)。

下面證明此算子自伴，且有

（1）

并且對于，有

（2）

由得到是稠定的. 有

所以是稠定對稱算子.對于，令

則，且因此，表明.故自伴且.

設(shè)取主值支.由 得到

.

由得到非零的條件為

即 所以由得到

相應(yīng)于，由得到其解為

，

其中， 可任取.且

于是有

另一方面，對于，由，有

得到：

其中， 且

于是， 且對 與有

.

從而，對于與 有

再由（1）知， ，故（1）式成立。

對于，有，所以

設(shè)非零，對于滿足的唯一 ，有

，

因此，當(dāng)時，有

.

即式（2）得證.

因此，根據(jù)Hille-Yosida生成定理，算子A生成 上的一個強(qiáng)連續(xù)壓縮半群。

同理可：

3結(jié)束語

將普通導(dǎo)數(shù)意義下的不等式推廣到弱導(dǎo)數(shù)意義下雖然只證明了情形下的兩個不等式 ，但對于其他情形，比如，也可用類似的方法證明。

作者簡介：曹德賢（1991.10-），男，碩士研究生，主要研究方向：函數(shù)逼近論。

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