淺談橢圓中的離心率問題

摘 要：圓錐曲線是高中階段比較重要的一個(gè)知識(shí)板塊，其中不得不說的就是橢圓，幾何中圖形是十分重要的，而橢圓的離心率就是描述曲線形狀和特性的一個(gè)重要概念，很多關(guān)于解析幾何的試題都和離心率有關(guān)，所以本文主要探討離心率在橢圓問題中的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，除此之外，也在問題解決過程中體現(xiàn)出如何多方面思考問題。

關(guān)鍵詞：橢圓;離心率;分析問題

一、 知識(shí)要點(diǎn)

（一） 橢圓

（二） 第二定義

（三） 標(biāo)準(zhǔn)方程

（四） 離心率

橢圓的焦距和長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比ca稱為離心率，用e表示且0

（五） 離心率的意義：離心率反映了橢圓的扁平程度。

二、 例題解析

分析1：認(rèn)真審題并結(jié)合題中重要語句繪制出相應(yīng)圖形（如圖1），其中直線PQ經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F，而點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，并且有點(diǎn)R在橢圓右準(zhǔn)線上，由于△PQR為正三角形，可過點(diǎn)M作橢圓的垂線，得到的垂足為點(diǎn)G，則要存在點(diǎn)R，則需要MR>MG。由于橢圓未給定，所以過焦點(diǎn)的直線及點(diǎn)R的位置都會(huì)隨之發(fā)生變化，但又因?yàn)閍，b為變量所以就不需要再出現(xiàn)新的參數(shù)k。結(jié)合分析過程得到關(guān)于橢圓離心率的關(guān)鍵表達(dá)式，其解答過程如下。

分析3：利用橢圓的定義，求出PQ的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)△PQM為正三角形，PQ是過左焦點(diǎn)F與x軸不垂直的弦，構(gòu)建不等式，即可求橢圓離心率的范圍。具體解答過程如下。

所以橢圓的離心率e的取值范圍是（33，1）

對(duì)比幾種方法各有各的優(yōu)點(diǎn)，不難看出第一種解法通過審題作圖找到數(shù)據(jù)間的關(guān)系，從而求解，第二種解法結(jié)合三角函數(shù)來快速解題，第三種巧妙地運(yùn)用橢圓的第二定義。事實(shí)上一般情況下，解析幾何通法是關(guān)鍵，這就要求學(xué)生在平時(shí)做題時(shí)要加強(qiáng)常規(guī)方法的聯(lián)系，不要刻意規(guī)避復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)于一些重要結(jié)論，務(wù)必在理解后加強(qiáng)記憶，當(dāng)然對(duì)于這類題目的解題策略也要多加思考，試著多角度思考問題。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

李珊，四川省南充市，西華師范大學(xué)。