高中線性回歸方程的求法及應(yīng)用

胡霞

摘 要：高中線性回歸方程主要是一元線性回歸方程，是高中學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)和高考的熱門(mén)考點(diǎn)之一，同時(shí)在平常的生活中也有廣泛的應(yīng)用，因此了解其求法以及應(yīng)用是非常有必要的，在北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-2中第一章第一小節(jié)重點(diǎn)講述了線性回歸方程的具體分析，說(shuō)明了線性回歸方程的解法一般是利用最小二乘法。

關(guān)鍵詞：回歸方程；高中數(shù)學(xué)；最小二乘法

一、高中線性回歸方程學(xué)習(xí)的重要性

高中線性回歸方程是一個(gè)變量和另外一個(gè)變量之間不確定性的關(guān)系，比如父母的身高與孩子的身高，食物中所含的脂肪和熱量等，中間都是有一些關(guān)系的，但這些關(guān)系是不確定性的，就像是農(nóng)作物的收成和栽培方式或者和施肥量之間的關(guān)系，可以說(shuō)后面兩者對(duì)農(nóng)作物的收成有一定的影響，但并不是唯一的影響，這種影響也是不確定的，所以在研究的時(shí)候運(yùn)用線性回歸方程找出中間的關(guān)系，并算出相應(yīng)的結(jié)果是非常重要的。[1]除此之外，線性回歸方程也是高中學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，掌握線性回歸方程可以了解更多的解題思路。

二、高中線性回歸方程的求法

最小二乘法是高中數(shù)學(xué)必修課中的內(nèi)容，因此在講解線性回歸方程的時(shí)候，學(xué)生應(yīng)該基本了解了最小二乘法，而北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-2中第一章第一小節(jié)例1則充分講述了如何使用最小二乘法對(duì)線性回歸方程進(jìn)行求解。例題如下：

始祖鳥(niǎo)是一種已經(jīng)滅絕的動(dòng)物，在一次考古活動(dòng)中，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)始祖鳥(niǎo)的化石標(biāo)本共6個(gè)，其中5個(gè)同時(shí)保有股骨（一種腿骨）和肱骨（上臂的骨頭）?？茖W(xué)家檢查了這5個(gè)標(biāo)本股骨和肱骨的長(zhǎng)度，得到了如表1的數(shù)據(jù)：

之后拋出了兩個(gè)題目，第一個(gè)是求出肱骨長(zhǎng)度y對(duì)股骨長(zhǎng)度x的線性回歸方程，第二個(gè)是根據(jù)已知股骨長(zhǎng)度是50cm求肱骨長(zhǎng)度。其實(shí)，這一道題最為重要的是第一題，只要線性回歸方程求出來(lái)，第二題也便迎刃而解。

首先從表格不難看出隨著股骨長(zhǎng)度的增長(zhǎng)，肱骨的長(zhǎng)度也是隨之增長(zhǎng)的，有了這樣一個(gè)基礎(chǔ)，再假設(shè)y=a+bx，要求a、b的值，就得使得n個(gè)點(diǎn)與直線的距離平方和最小，這里就使用到了最小二乘法的思路。而要n個(gè)點(diǎn)與直線距離平方和最小，則需要Q（a，b）=（y1-a-bx1）2+（y2-a-bx2）2+…+（yn-a-bxn）2這個(gè)值達(dá)到最小，最后求出線性回歸方程的公式，將表格里面的數(shù)值代入進(jìn)去計(jì)算出線性回歸方程。而第二題則代入公式直接能求出來(lái)的，最后求出來(lái)的值是b≈1.197，a≈-3.660，也就是說(shuō)最終的回歸方程是

y=-3.660+1.197x，也就是說(shuō)股骨的長(zhǎng)度每增加1cm，肱骨的長(zhǎng)度大約增加1.197cm，根據(jù)這個(gè)公式，可以算出第二題的答案：y=-3.660+1.197×50，最后得出y=56。

眾所周知，線性回歸方程的公式非常復(fù)雜，例題中的數(shù)字相對(duì)較小，所以求解的時(shí)候比較容易，但如果數(shù)字較大，求解的時(shí)候就非常容易出錯(cuò)，因此需要找一些解題方法讓解法更加容易。[2]比如下面這個(gè)例子：

為了了解家庭的消費(fèi)支出和收入的關(guān)系，特意調(diào)查了幾個(gè)家庭的數(shù)據(jù)，得到表2：

三、高中線性回歸方程的應(yīng)用

高中線性回歸方程的應(yīng)用范圍非常廣泛，可以說(shuō)因?yàn)楦餍懈鳂I(yè)都離不開(kāi)數(shù)據(jù)，因?yàn)榫€性回歸方程求的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，因此大多行業(yè)在進(jìn)行預(yù)估成本或是預(yù)估收益的時(shí)候都能用到高中線性回歸方程，只是理論上來(lái)說(shuō)，如果在線性回歸方程中加入微積分知識(shí)，會(huì)更適合應(yīng)用在實(shí)際生活中，最為常見(jiàn)的是在企業(yè)內(nèi)部的使用。

比如，某公司新產(chǎn)品上市，需要投入廣告，這時(shí)候就需要計(jì)算廣告投入和實(shí)際收入之間的關(guān)系，可以運(yùn)用公司其他產(chǎn)品的廣告投入和收入數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)，運(yùn)用線性回歸方程估算出廣告投入與實(shí)際收入之間的比例，再?zèng)Q定是否投入廣告以及投入多少。另外，在一些研究性的行業(yè)比如考古行業(yè)就經(jīng)常需要用到線性回歸方程，比如出土的文物長(zhǎng)短測(cè)量等，也多是根據(jù)已知的數(shù)據(jù)推測(cè)未知的數(shù)據(jù)。

不過(guò)對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，線性回歸方程的應(yīng)用多用于解決一些應(yīng)用題，作為高考的熱點(diǎn)之一，通常會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)小題和一個(gè)大題的組合，在平常學(xué)習(xí)中應(yīng)該多加練習(xí)，對(duì)公式爛熟于心，并善于簡(jiǎn)化計(jì)算，這樣在考試中才會(huì)胸有成竹，不會(huì)出現(xiàn)手忙腳亂的情況。

總之，高中線性回歸方程雖然是高中選修課的內(nèi)容，但實(shí)際上對(duì)學(xué)生要求掌握的程度并不低，在平常教學(xué)中，應(yīng)該多用實(shí)際案例進(jìn)行分析，多找不同的解法，讓學(xué)生在不斷的練習(xí)中了解線性回歸方程的求法和應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]陶志雷.手動(dòng)求解線性回歸方程的方法和技巧[J].考試周刊，2016（27）：61.

[2]葉國(guó)炳.簡(jiǎn)化一元線性回歸方程的求法[J].湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，3（3）：89-90.

編輯 魯翠紅endprint