割補(bǔ)法解立體幾何中的技巧

王東

【摘要】割補(bǔ)法是計算平面幾何圖形面積的推導(dǎo)方法，也是一種思考方法.在幾何圖形教學(xué)中，有著廣泛的應(yīng)用.割補(bǔ)法是指：把一個圖形的某一部分割下來，填補(bǔ)在圖形的另一部分，在原來面積不變的情況下，使其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的舊的圖形，以利于計算公式的推導(dǎo).

【關(guān)鍵詞】立體幾何；割補(bǔ)法；解決問題的能力

高中立體幾何中一些求體積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑、線線垂直、線面垂直、面面垂直的問題中，常涉及一些高、垂線的作法，但這些高或垂線由于受圖形的約束，直接作出有很大的難度，有時采用割補(bǔ)的方法，將所給圖形從自己熟悉的立體圖形中割裂出來或?qū)⑺o圖形補(bǔ)全為自己熟悉的立體圖形，使問題的解決更加直觀和明了.下面舉幾例說明.

例1如圖1所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面AC1D1的距離為（）.

A.12

B.24

C.22

D.34

分析求點(diǎn)到面的距離通常是過點(diǎn)作面的垂線，而由于該圖的局限性不太好作垂線，考慮O為A1C1的中點(diǎn)，故將要求的距離與A1到面AC1D1的距離掛鉤，從而與棱錐知識掛鉤，所以可在該圖中割出一個三棱錐A1-AC1D1而進(jìn)行解題.

解連接AC1和AD1，可得到三棱錐A1-AC1D1，我們把這個正方體的其他部分都割去就只剩下這個三棱錐，易知所求的距離正好為這個三棱錐的高的一半.這個三棱錐底面為直角邊為1與2的直角三角形.這個三棱錐又可視為三棱錐C1-AA1D1，后者高為1，底面為兩邊長均為1的等腰直角三角形，利用體積相等，立即可求得原三棱錐的高為22，故選B.

例2如圖3所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1，C1，B，D，求此多面體的體積.

分析在原來立方體（圖3）中，割去4個（圖4）直三棱錐，剩余部分便是所求幾何體，所以所求幾何體的體積為a3-4×13×12a2a=13a3.

例3如圖5所示，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，G是EF上的一點(diǎn)，將△GAB，△GCD分別沿AB，CD翻折成△G1AB，△G2CD，并連接G1G2，使得平面G1AB⊥平面ABCD，G1G2∥AD，且G1G2

解觀察圖5和對照已知條件，依題：面ABCD，面ABG1，面EFG2G1，面面互相垂直，可得出圖6，通過對圖6補(bǔ)全，可知圖6是長方體ABCD-A1B1C1D1中的一部分，如圖7所示.在圖7中，∵G1G2∥AD，AD⊥面G1BA，G1G2面G1ADG2，∴結(jié)論成立.

例4已知曲線y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A，B，分別由A，B兩點(diǎn)向直線y=3x作垂線，垂足分別為C，D，沿直線y=3x將平面ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，求四面體ABCD的外接球的表面積.

分析由圖8得四面體ABCD如圖9所示，欲求其外接球的表面積，先要找出其外接球心所在的位置，將圖9補(bǔ)成如圖10所示的長方體，易知其外接球心是長方體對角線的中點(diǎn)，問題便可以解決.

解∵y=1-x2，∴x2+y2=1，x≤1，由圖8得A（-1，0），B（1，0），∴BD=|3×1-0|（3）2+1=32，同理，AC=32，CD=2OD=2×33BD=1，CB=CD2+BD2=72，AB=AC2+CB2=102，根據(jù)長方體外接球的性質(zhì)知，其球心在AB上，且等于AB的一半，∴S=4πR2=52π.

割法是把復(fù)雜的或多余的幾何體割取，使剩余幾何體變?yōu)楹唵?、明了或成為我們熟悉的幾何體；補(bǔ)法是把抽象的或不熟悉的幾何體補(bǔ)成我們熟悉的幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形.一般的立體幾何中我們往往將“斜”幾何體補(bǔ)“正”，把“錐體”補(bǔ)成“方體”或?qū)ⅰ罢睅缀误w割成“斜”體，將“方體”割成“錐體”，這樣逆向做題，使看似復(fù)雜問題引回到自己熟悉的立體圖形中來，降低問題的難度，使問題的解決更加簡單明了.