基于主優(yōu)化算法的雷達(dá)波形設(shè)計(jì)

宋陽春,唐旭艷,馮 翔,趙宜楠

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院,山東威海264209;2.上海機(jī)電工程研究所,上海200233)

基于主優(yōu)化算法的雷達(dá)波形設(shè)計(jì)

宋陽春1,唐旭艷2,馮 翔1,趙宜楠1

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院,山東威海264209;2.上海機(jī)電工程研究所,上海200233)

為滿足雷達(dá)復(fù)雜工作場景任務(wù)需求,提出一種基于主優(yōu)化(MM)算法的低相關(guān)旁瓣、稀疏頻譜波形設(shè)計(jì)方法;該方法首先建立最小化積分旁瓣電平準(zhǔn)則下的恒模發(fā)射信號(hào)模型,并考慮工作頻段擁塞情況下波形稀疏頻譜特性,進(jìn)而建立低相關(guān)旁瓣和稀疏頻譜任務(wù)需求下的主優(yōu)化(MM)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式,最后利用主優(yōu)化(MM)思想構(gòu)造最小化積分旁瓣電平或稀疏頻譜的算法框架。仿真結(jié)果表明,該算法能夠有效降低積分旁瓣電平,并能夠在干擾頻段形成頻帶陷波,且在碼長較長時(shí)仍具有較佳效果。

稀疏頻譜;恒模波形;低相關(guān)旁瓣;主優(yōu)化(MM)算法

0 引 言

傳統(tǒng)雷達(dá)發(fā)射波形模式單一,難以靈活滿足目標(biāo)檢測(cè)、跟蹤等任務(wù)需求[1]。為能夠適應(yīng)多變的電磁環(huán)境進(jìn)而提升整體性能,認(rèn)知概念應(yīng)運(yùn)而生[2-3];認(rèn)知雷達(dá)通過不斷獲取環(huán)境相關(guān)知識(shí),提高系統(tǒng)各方面的能力[4-5];而對(duì)于認(rèn)知雷達(dá)發(fā)射端而言,其自適應(yīng)性體現(xiàn)在波形的設(shè)計(jì)上。

為解決波形高自相關(guān)旁瓣問題,文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)混沌波形并利用序列隨機(jī)性降低旁瓣峰值,但混沌波形生成缺乏統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn),難以應(yīng)用工程實(shí)踐;文獻(xiàn)[7]基于小波包構(gòu)造旁瓣抑制波形,但小波方法耗時(shí)較大使得難以在線設(shè)計(jì);文獻(xiàn)[8]在LFM波形基礎(chǔ)上提出一種約束自相關(guān)旁瓣的非線性調(diào)頻波形;文獻(xiàn)[9]通過設(shè)計(jì)波形協(xié)方差矩陣得到具有低相關(guān)旁瓣和高信干噪比的波形。但這些方法對(duì)于大長度序列可能耗時(shí)較長。文獻(xiàn)[10]針對(duì)雷達(dá)在復(fù)雜電磁環(huán)境下隱蔽工作的情況設(shè)計(jì)譜約束下的優(yōu)化波形;文獻(xiàn)[11]利用循環(huán)迭代算法設(shè)計(jì)稀疏頻譜波形;文獻(xiàn)[12]提出交替投影算法設(shè)計(jì)低距離旁瓣與稀疏頻譜的恒模波形。但這些方法對(duì)于恒模約束導(dǎo)致的非凸問題往往陷入局部區(qū)域難以收斂。文獻(xiàn)[13]在峰均功率比約束下設(shè)計(jì)頻帶陷波優(yōu)化的低距離旁瓣波形,但算法數(shù)值穩(wěn)定性較弱,在波形序列較長時(shí)難以保持良好效果。

本文針對(duì)認(rèn)知雷達(dá)基于已有先驗(yàn)信息的優(yōu)化波形設(shè)計(jì)問題,建立滿足最小化積分旁瓣電平準(zhǔn)則的恒模發(fā)射信號(hào)模型,同時(shí)考慮干擾頻帶場景,建立低相關(guān)旁瓣和稀疏頻譜的聯(lián)合優(yōu)化模型;分別構(gòu)造最小化積分旁瓣電平的主優(yōu)化算法(MISL)和加權(quán)譜-MISL算法,得到低相關(guān)旁瓣稀疏頻譜恒模波形。仿真結(jié)果表明,MISL算法可有效降低構(gòu)造波形序列的積分旁瓣電平,加權(quán)譜-MISL算法能夠在受干擾區(qū)間形成明顯頻帶陷波;波形序列碼長較長時(shí),算法仍保持理想效果。

1 問題建模

設(shè)波形序列為x=[x1,…,x N]T,其中N代表碼長。由文獻(xiàn)[14]知,恒模約束下,按最小化積分旁瓣電平準(zhǔn)則構(gòu)造優(yōu)化表達(dá)式為

式中,(·)H表示取共軛轉(zhuǎn)置。根據(jù)Parseval定理:可得目標(biāo)函數(shù)后兩項(xiàng)僅與碼長有關(guān),碼長固定時(shí)可視為常數(shù),按最小ISL準(zhǔn)則的恒模波形優(yōu)化表達(dá)式可簡化為

認(rèn)知雷達(dá)能夠隨外部環(huán)境變化自適應(yīng)調(diào)整發(fā)射波形,當(dāng)工作頻段內(nèi)子頻段被占用或受同頻干擾時(shí),認(rèn)知雷達(dá)應(yīng)在受干擾的區(qū)間形成頻帶陷波(稀疏頻譜)以抑制場景中的干擾。設(shè)存在干擾的頻段個(gè)數(shù)為N s,其中第k個(gè)凹口的頻帶范圍為[f k1,f k2],權(quán)重系數(shù)為w k,Δ為采樣間隔。針對(duì)抑制特定頻段電磁干擾的波形設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)可表示為

式中,R為N×N的矩陣,第(p,q)個(gè)元素為

為獲得較強(qiáng)的抗干擾能力,設(shè)計(jì)同時(shí)具備低相關(guān)旁瓣和稀疏頻譜的恒模波形,引入權(quán)值λ∈(0,1)聯(lián)合相關(guān)旁瓣和稀疏頻譜要求,構(gòu)造聯(lián)合優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)[15]為

綜上,針對(duì)認(rèn)知雷達(dá)的典型波形設(shè)計(jì)場景,本節(jié)構(gòu)造了最小化積分旁瓣電平準(zhǔn)則下恒模發(fā)射信號(hào)模型,并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了低相關(guān)旁瓣和稀疏頻譜的優(yōu)化表達(dá)式。由于式(3)中目標(biāo)函數(shù)對(duì)于x為四次,式(7)中目標(biāo)函數(shù)對(duì)于x為二次,恒模約束條件為非凸函數(shù),難以通過凸優(yōu)化得到解析解。下文利用主優(yōu)化(M M)算法對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解,通過尋找優(yōu)化函數(shù)將原問題簡化,設(shè)計(jì)用于積分旁瓣電平的主優(yōu)化算法(MISL)以及加權(quán)譜-MISL算法。

2 波形設(shè)計(jì)算法

2.1 用于積分旁瓣電平的主優(yōu)化算法(MISL)

主優(yōu)化(MM)算法針對(duì)優(yōu)化問題難以直接解決的情況,構(gòu)造凸函數(shù)集,將難以直接求解的非凸問題轉(zhuǎn)化為易于求解的凸優(yōu)化問題。對(duì)于當(dāng)前迭代點(diǎn)x(k),構(gòu)造凸優(yōu)化函數(shù)c(x,x(k)),使其滿足

進(jìn)而尋找x(k+1)使得c(x(k+1),x(k))最小。

主優(yōu)化(MM)算法核心在于將原目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為光滑凸函數(shù),通過最小化f(x)可行點(diǎn)x(k)處的優(yōu)化函數(shù)c(x,x(k)),降低原問題的求解難度。由x(k+1)的選取方法和式(8)中的關(guān)系式可知f(x(k+1))≤f(x(k)),此遞減趨勢(shì)使得M M算法具有顯著的數(shù)值穩(wěn)定性。

針對(duì)第2節(jié)中“認(rèn)知雷達(dá)最小化積分旁瓣電平的恒模波形設(shè)計(jì)”,為構(gòu)造式(3)中按最小ISL準(zhǔn)則的恒模波形優(yōu)化表達(dá)式的主優(yōu)化(MM)算法,需將原問題中的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為光滑凸函數(shù),定義式(3)可進(jìn)一步寫為

式中,Tr(·)代表取矩陣的跡,可得Tr(XA p)=vec(X)Hvec(A p),式(9)可以寫為

式中,Re(·)代表取實(shí)部。令式(11)中的x=vec(X),可得到式(11)中目標(biāo)函數(shù)在X(k)的優(yōu)化函數(shù)為

由列向量的性質(zhì)可得vec(X)Hvec(X)=(xHx)2=N2,忽略常數(shù)部分對(duì)最小值點(diǎn)取值的影響,利用式(12)中優(yōu)化函數(shù)替代原問題中的目標(biāo)函數(shù),關(guān)于X的優(yōu)化問題可以表示為

將上式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的優(yōu)化表達(dá)式,進(jìn)一步寫為

通過以上基于主優(yōu)化(M M)算法的推導(dǎo)過程,得到最小ISL準(zhǔn)則的恒模波形的優(yōu)化表達(dá)式如式(17),可得閉式解為

上述過程通過尋找原目標(biāo)函數(shù)關(guān)于X的優(yōu)化函數(shù),進(jìn)一步得到關(guān)于x的優(yōu)化問題,保持了主優(yōu)化(MM)算法的單調(diào)性,得到最小化積分旁瓣電平的主優(yōu)化算法(MISL)步驟如下:

算法1 最小化積分旁瓣電平的主優(yōu)化算法(MISL)

1)迭代初始化:設(shè)置迭代計(jì)數(shù)器k=0,初始波形序列

2)基于當(dāng)前時(shí)刻迭代優(yōu)化解x(k),計(jì)算以下表達(dá)式:

3)求取更新迭代解:令k=k+1,利用計(jì)算更新迭代解;

4)收斂判別:根據(jù)所定義收斂誤差σ,如果則跳出迭代;

5)重復(fù)步驟2)～4),直到滿足收斂條件。

2.2 加權(quán)譜-MISL算法

針對(duì)“認(rèn)知雷達(dá)抑制特定頻段電磁干擾及最小化積分旁瓣電平的恒模波形設(shè)計(jì)”,可以采用與上文相似的方式,利用主優(yōu)化(MM)算法進(jìn)行求解。為尋找式(7)中目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化函數(shù),定義R r=λR+(1-λ)A1,矩陣R r最大特征值λmax(R r),則有λmax(R r)·I?R r,可以得到關(guān)系式如下:

上式中第一項(xiàng)、第三項(xiàng)均為常數(shù),忽略常數(shù)項(xiàng)對(duì)最小值點(diǎn)的影響,優(yōu)化函數(shù)可近似等價(jià)為

為便于求解,進(jìn)行如下定義:

經(jīng)過以上定義,優(yōu)化問題最終形式為

可得到與式(18)具有相似形式的閉式解為

通過上述推導(dǎo),設(shè)計(jì)得到基于主優(yōu)化(MM)的低相關(guān)旁瓣稀疏頻譜恒模波形,加權(quán)譜-MISL算法過程如下:

算法2 加權(quán)譜-MISL算法

1)迭代初始化:設(shè)置迭代計(jì)數(shù)器k=0,初始波形序列

2)基于當(dāng)前時(shí)刻迭代優(yōu)化解x(k),計(jì)算以下表達(dá)式:

3)求取更新迭代解:令k=k+1,利用計(jì)算更新迭代解;

4)收斂判別:根據(jù)所定義收斂誤差σ,如果則跳出迭代;

5)重復(fù)步驟2)～4),直到滿足收斂條件。

3 仿真分析

設(shè)定仿真波形序列碼長N=3 000,使用本文MISL算法得到發(fā)射波形序列,設(shè)置收斂誤差σ=1×10-8時(shí)的波形相關(guān)水平,如圖1(a)所示;使用文獻(xiàn)[14]中算法得到波形相關(guān)水平,如圖1(b)所示;使用蒙特卡羅法進(jìn)行100次試驗(yàn)后取統(tǒng)計(jì)平均,算法性能比較如表1所示。

圖1 波形序列自相關(guān)函數(shù)

表1 MISL與文獻(xiàn)[14]中算法性能比較

由圖1可以看出,使用本文MISL算法構(gòu)造得到發(fā)射波形序列的積分旁瓣電平受到了明顯抑制,MISL算法針對(duì)波形序列碼長較長時(shí),能夠保持穩(wěn)定效果。由表1可以看出,本文MISL算法可以得到更低的自相關(guān)旁瓣,且運(yùn)行時(shí)間明顯縮短。

設(shè)定仿真波形序列碼長N=3 000,假定干擾位于[200,300]k Hz的波段中,其通帶處于[0,1 000]k Hz中剩余部分。使用加權(quán)譜-MISL算法序列構(gòu)造得到發(fā)射波形序列的自相關(guān)函數(shù),如圖2(a)所示,功率譜密度如圖2(b)所示;使用SCAN算法[16]序列構(gòu)造得到發(fā)射波形序列的自相關(guān)函數(shù),如圖3(a)所示,功率譜密度如圖3(b)所示。使用蒙特卡羅法進(jìn)行100次試驗(yàn)后,算法性能比較如表2所示。

從圖2(a)可以看出,使用加權(quán)譜-MISL算法構(gòu)造得到的波形序列在單一干擾波段下積分旁瓣電平受到了明顯抑制。從圖2(b)可以看出,功率譜在受干擾區(qū)間能夠形成明顯頻帶陷波。由表2可以看出,加權(quán)譜-MISL算法可以在干擾頻段形成更低的陷波深度,且運(yùn)行時(shí)間縮短近三分之二。

圖2 單一干擾波段下加權(quán)譜-MISL算法波形序列

圖3 單一干擾波段下SCAN算法波形序列

表2 單一干擾波段下加權(quán)譜-MISL與SCAN算法性能比較

進(jìn)一步針對(duì)多干擾波段情況下加權(quán)譜-MISL算法的性能進(jìn)行研究,假定干擾位于[150,200]∪[500,550]∪[850,900]k Hz的波段中,其通帶處于[0,1 000]k Hz中剩余部分。使用加權(quán)譜-MISL算法序列構(gòu)造得到發(fā)射波形序列的自相關(guān)函數(shù),如圖4(a)所示,功率譜密度如圖4(b)所示。使用SCAN算法序列構(gòu)造得到發(fā)射波形序列的自相關(guān)函數(shù),如圖5(a)所示,功率譜密度如圖5(b)所示。使用蒙特卡羅法進(jìn)行100次試驗(yàn)后取統(tǒng)計(jì)平均,算法性能比較如表3所示。

從圖4(a)可以看出,使用加權(quán)譜-MISL算法構(gòu)造得到的波形序列在多干擾波段下積分旁瓣電平仍然保持在較低水平。從圖4(b)可以看出,功率譜在各干擾區(qū)間均能夠形成明顯頻帶陷波。由表3可以看出,加權(quán)譜-MISL算法可以在多干擾頻段下,保持陷波深度低于SCAN算法,且運(yùn)行時(shí)間大大縮短。

以上仿真結(jié)果表明,MISL算法可有效降低構(gòu)造波形序列的積分旁瓣電平,加權(quán)譜-MISL算法能夠在降低構(gòu)造波形序列的積分旁瓣電平的同時(shí),在受干擾區(qū)間形成明顯頻帶陷波。算法在仿真效果和收斂速度上,均優(yōu)于文獻(xiàn)[14]中算法和SCAN算法。

圖4 多干擾波段下加權(quán)譜-MISL算法波形序列

圖5 多干擾波段下SCAN算法波形序列

表3 多干擾波段下加權(quán)譜-MISL與SCAN算法性能比較

4 結(jié)束語

本文針對(duì)雷達(dá)的優(yōu)化波形設(shè)計(jì)問題,提出基于主優(yōu)化(MM)算法的低相關(guān)旁瓣稀疏頻譜恒模波形設(shè)計(jì)方法。建立最小化積分旁瓣電平準(zhǔn)則下的恒模發(fā)射信號(hào)模型;對(duì)于環(huán)境中存在干擾頻帶的情況,建立低相關(guān)旁瓣和稀疏頻譜的恒模優(yōu)化表達(dá)式。構(gòu)造最小化積分旁瓣電平的主優(yōu)化算法(MISL)和加權(quán)譜-MISL算法。仿真結(jié)果表明,MISL算法可有效降低構(gòu)造波形序列的積分旁瓣電平,加權(quán)譜-MISL算法能夠在降低積分旁瓣電平的同時(shí),在受干擾區(qū)間形成頻帶陷波,針對(duì)碼長較長的情況能夠保持算法穩(wěn)定性。

[1]閆東,張朝霞,趙巖,等.基于信號(hào)雜波噪聲比的認(rèn)知雷達(dá)擴(kuò)展目標(biāo)探測(cè)波形設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2015,35(7):2105-2108.

[2]代澤洋,王賀,劉寶泉,等.認(rèn)知雷達(dá)中協(xié)作頻譜感知技術(shù)研究[J].雷達(dá)科學(xué)與技術(shù),2015,13(1):17-20.DAI Zeyang,WANG He,LIU Baoquan,et al.Study on Cooperative Spectrum Sensing in Cognitive Radar[J].Radar Science and Technology,2015,13(1):17-20.(in Chinese)

[3]BELL K L,BAKER C J,SMITH G E,et al.Cognitive Radar Framework for Target Detection and Tracking[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing,2015,9(8):1427-1439.

[4]TURLAPATY A,JIN Y.Bayesian Sequential Parameter Estimation by Cognitive Radar with Multiantenna Arrays[J].IEEE Trans on Signal Processing,2015,63(4):974-987.

[5]鞠默然,李新波,石要武.基于信噪雜比最大能量分配認(rèn)知雷達(dá)波形設(shè)計(jì)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版),2015,33(3):230-234.

[6]SHEN D,ZHANG L,LIU X,et al.Reducing the Waveform Auto-Correlation Sidelobes and Cross-Correlation of MIMO Radar by Using Chaotic Sequences[J].Journal of Xidian University,2012,39(5):42-46.

[7]CAO S,ZHENG Y F,EWING R L.Wavelet-Based Waveform for Effective Sidelobe Suppression in Radar Signal[J].IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems,2014,50(1):265-284.

[8]THOMAS D,KAMALANATHAN C,VALARMATHY D S.Sidelobe Deduction by Piecewise Nonlinear Frequency Modulation Waveform[J].International Journal of Innovative Research in Science,Engineering and Technology,2013,2(3):795-801.

[9]AHMED S,ALOUINI M S.MIMO-Radar Waveform Covariance Matrix for High SINR and Low Side-Lobe Levels[J].IEEE Trans on Signal Processing,2014,62(8):2056-2065.

[10]AUBRY A,DE MAIO A,PIEZZO M,et al.Radar Waveform Design in a Spectrally Crowded Environment via Nonconvex Quadratic Optimization[J].IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems,2014,50(2):1138-1152.

[11]周宇,張林讓,趙珊珊.組網(wǎng)雷達(dá)低自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)干擾的稀疏頻譜波形設(shè)計(jì)方法[J].電子與信息學(xué)報(bào),2014,36(6):1394-1399.

[12]ZHAO Y N,ZHANG T,LI F C,et al.Optimal Waveform Design for MIMO Radar via Alternating Projection[J].Journal of Electronics&Information Technology,2014,36(6):1368-1373.

[13]申東,張林讓,周宇,等.頻帶陷波優(yōu)化的低距離旁瓣波形設(shè)計(jì)方法[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2015,35(3):321-325.

[14]SONG J,BABU P,PALOMAR D P.Optimization Methods for Designing Sequences with Low Autocorrelation Sidelobes[J].IEEE Trans on Signal Processing,2014,63(15):3998-4009.

[15]WANG G,LU Y.Designing Single/Multiple Sparse Frequency Waveforms with Sidelobe Constraint[J].IET Radar,Sonar and Navigation,2011,5(1):32-38.

[16]HE H,STOICA P,LI J.Waveform Design with Stopband and Correlation Constraints for Cognitive Radar[C]∥2nd International Workshop on Cognitive Information Processing,Elba:IEEE,2010:344-349.

Radar Waveform Design Based on Majorization-Minimization Algorithm

SONG Yangchun1,TANG Xuyan2,FENG Xiang1,ZHAO Yinan1
(1.School of Information and Electrical Engineering,Harbin Institute of Technology at Weihai,Weihai264209,China;2.Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute,Shanghai200233,China)

To tackle the sophisticated radar scene,a novel method based on majorization-minimization mechanism is presented to design waveforms with low correlation sidelobes and sparse spectrum.Firstly,the unimodular waveform,in the case of minimizing the integrated sidelobe level as well as suppressing the congested spectrum,is formulated.Next,the objective function incorporating the idea of majorization-minimization is derived,and then,the MISL algorithm and the weighted spectral-MISL algorithm are proposed.Simulations demonstrate that these algorithms can obtain low integrated sidelobe level and sparse spectrum in the suppressed bands,which also performed for long waveforms.

sparse spectrum;unimodular waveform;low correlation sidelobe;majorization-minimization(MM)algorithm

TN958.5

A

1672-2337(2017)02-0159-07

10.3969/j.issn.1672-2337.2017.02.009

2016-08-15;

2016-11-04

國家自然科學(xué)基金(No.61371181)

宋陽春女,1993年出生于山東德州,哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)碩士研究生,主要研究方向?yàn)檎J(rèn)知雷達(dá)與雷達(dá)信號(hào)處理。

唐旭艷女,1979年出生于湖南衡山,上海機(jī)電工程研究所高級(jí)工程師,主要研究方向?yàn)榘l(fā)射系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)。

馮 翔男,1988年出生于山東濰坊,哈爾濱工業(yè)大學(xué)博士研究生,主要研究方向?yàn)檎J(rèn)知雷達(dá)與雷達(dá)信號(hào)處理。

E-mail:fengxiang230316@163.com

趙宜楠男,1977年出生于黑龍江哈爾濱,哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理。