解法無(wú)誤錯(cuò)在題讀刊有惑貴在思

1文章問(wèn)題起源

文章《四種解法中到底誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)》[1]對(duì)一道“看似簡(jiǎn)單卻引起激烈爭(zhēng)論的近似值計(jì)算問(wèn)題”，作者王淼生、吳衛(wèi)軍老師的課題組團(tuán)隊(duì)老師提出了四種算法，由于計(jì)算結(jié)果不一樣，老師各抒己見(jiàn)，誰(shuí)也說(shuō)服不了誰(shuí).為此作者提出了自己對(duì)數(shù)學(xué)中近似計(jì)算的觀點(diǎn)，讀后受益匪淺，也想談?wù)勔稽c(diǎn)不同看法，與作者、讀者交流筆者的理解與思考.

2原文觀點(diǎn)摘要

為方便讀者閱讀，先將文章中提到的2016年貴州省黔南州的中考題及主要觀點(diǎn)摘錄：

圖1為解決都勻市停車(chē)難的問(wèn)題，計(jì)劃在一段長(zhǎng)為56米的路段規(guī)劃出如圖1所示的停車(chē)位，已知每個(gè)車(chē)位都是長(zhǎng)為5米，寬為2米的矩形，且矩形的寬與路的邊緣成45°角，則該路段最多可以劃出個(gè)這樣的停車(chē)位.（取2=1.4，結(jié)果保留整數(shù)）

文章中，作者提供了課題組團(tuán)隊(duì)老師的四種解法，其前部分都是一樣的：

圖2如圖2，因?yàn)镃E=2，DE=5，且∠BCE=∠CBE=∠ABD=∠ADB=45°，所以BE=CE=2，BD=DE-BE=3，在直角三角形BCE中，BC=ECsin45°=22，在直角三角形ABD中，AB=BD·sin45°=322，設(shè)至多可劃x個(gè)車(chē)位，依題意可列不等式：

22x+322≤56.（1）

爭(zhēng)論的焦點(diǎn)在近似計(jì)算的流程上：

第一種意見(jiàn)是：

將2=1.4直接代入（1），化簡(jiǎn)整理得x≤19.25，因?yàn)閤是正整數(shù)，所以x的最大值為19.

第二種意見(jiàn)是：

對(duì)（1）化簡(jiǎn)整理：x≤142-34，（2）

再將2=1.4代入（2），化簡(jiǎn)整理得x≤18.85，因?yàn)閤是正整數(shù)，所以x的最大值為18.

由于代入的順序不同，導(dǎo)致近似計(jì)算的結(jié)果不一樣，引起了爭(zhēng)議.

第一種意見(jiàn)是命題專家組給出的解答，文章作者認(rèn)為是正確的；

第二種意見(jiàn)是團(tuán)隊(duì)老師給出的解答，由于計(jì)算結(jié)果與事實(shí)有出入，作者認(rèn)為是錯(cuò)誤的，并“追根溯源”，說(shuō)明錯(cuò)誤的原因在：解答步驟中的“2×2=2”里面的“2”與最后代入的“2=1.4”中的“2”是不等價(jià)的！此處“2×2=2”中的“2”是常規(guī)意義下的無(wú)理數(shù)，而“2=1.4”中的“2”則是一個(gè)有理數(shù)，且為1.4，這違背了數(shù)學(xué)統(tǒng)一性即前后一致的原則！這才是錯(cuò)誤的根本原因所在！因此可以斷定解法2是錯(cuò)誤的！然后“正本清源”，認(rèn)為命題專家給出的解答是正確的，盡管其解答過(guò)程看似不合“情理”.

3理解釋惑

看了文章中的“追根溯源”、“正本清源”，糊涂了，看似不合“情理”的解答過(guò)程反而對(duì)，而“合情合理”的解答過(guò)程反而錯(cuò).果真如此，那今后教學(xué)中該如何操作呢？難怪團(tuán)隊(duì)老師誰(shuí)也說(shuō)服不了誰(shuí).問(wèn)題到底出在哪兒呢？

3.1首先用計(jì)算機(jī)真實(shí)模擬操作一次設(shè)計(jì)方案，驗(yàn)證最終結(jié)果：

按1∶200的比例在幾何畫(huà)板中精確作圖，如圖3.

圖3圖形直觀顯示結(jié)果是該路段最多可以劃出19個(gè)這樣的停車(chē)位，因此命題專家給出的答案沒(méi)有錯(cuò).注意，筆者說(shuō)的是命題專家給出的答案沒(méi)有錯(cuò).

3.2計(jì)算機(jī)模擬操作的結(jié)果證實(shí)“第二種意見(jiàn)下”的答案是錯(cuò)的！然而對(duì)照數(shù)學(xué)中近似計(jì)算的基本原則：近似計(jì)算為避免一開(kāi)始代入進(jìn)行近似計(jì)算導(dǎo)致運(yùn)算量過(guò)大，和二次四舍五入導(dǎo)致結(jié)果誤差大，一般是先化簡(jiǎn)、再計(jì)算、最后取近似值[4].反觀第二種意見(jiàn)下，近似計(jì)算的解答過(guò)程是符合近似計(jì)算的運(yùn)算規(guī)則，嚴(yán)格遵循教學(xué)要求規(guī)范執(zhí)行，合情合理，理應(yīng)正確，但它的計(jì)算結(jié)果與事實(shí)有出入，這是為什么呢？細(xì)讀文章中的四種解法（其實(shí)是一種），不同之處是求不等式中x的近似值時(shí)，在計(jì)算的流程上產(chǎn)生了分歧.計(jì)算流程的不同對(duì)最終結(jié)論應(yīng)該沒(méi)有影響，因?yàn)椴还苁悄囊环N計(jì)算流程，它影響的僅僅是解答的“繁與簡(jiǎn)”！因此錯(cuò)誤不在計(jì)算程序上，而是題目中的附加條件“2=1.4”在2的取值精度上有問(wèn)題.

對(duì)于解法1、3，實(shí)質(zhì)是計(jì)算x≤56-32222中的56-32222的近似值，用計(jì)算器精確計(jì)算：56-32222≈

19.048989873223330683223642138936…，或取2≈1.414（四位有效數(shù)字）計(jì)算：

56-32222≈19.0519801980…；對(duì)于解法2、4，實(shí)質(zhì)是計(jì)算x≤142-34中的142-34的近似值，用計(jì)算器精確計(jì)算：142-34≈

19.048989873223330683223642138936…，或取2≈1.414（四位有效數(shù)字）計(jì)算：142-34≈19.046.

從計(jì)算結(jié)果可以看出，無(wú)論是精確到0.01：x≤19.05；或者取整數(shù)：x≤19.四種解法的結(jié)果都是一樣的，答案也是一致的，x的最大值是19.

再看按題目附加條件直接代入計(jì)算：

56-32222=56-32×1.42×1.4=19.25；142-34=14×1.4-0.75=18.85.

不難發(fā)現(xiàn)：出現(xiàn)兩種不同的近似計(jì)算結(jié)果，根源在題目的附加條件“取2=1.4”，因?yàn)?.4×1.4=1.96，這與“2×2=2”或“1.414×1.414=1.999396”，2的取值精度不同引起誤差過(guò)大，導(dǎo)致結(jié)果不一！這是造成最終錯(cuò)誤的根源所在.

3.3對(duì)于近似計(jì)算，可以允許有一定的誤差，但誤差不能超出規(guī)定的范圍，因此在近似計(jì)算時(shí)，要求參與運(yùn)算的近似數(shù)，要比已知數(shù)據(jù)、最后的結(jié)果中所含的小數(shù)位數(shù)多保留一位.本題中要求的“142-34”，其中分?jǐn)?shù)34=0.75，精確到0.01，因此2的近似值必須精確到0.001，即取“2≈1.414”，不能取“2=1.4”！endprint

4教學(xué)反思感悟

4.1命題不可隨意！本題的考查目標(biāo)也是本題的最大亮點(diǎn)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決生活的問(wèn)題，是詮釋核心素養(yǎng)、優(yōu)化思維品質(zhì)的經(jīng)典范例，不是在近似計(jì)算的程序上設(shè)計(jì)障礙為難考生，估計(jì)命題專家也是這么想的，添加條件“取2=1.4”是從簡(jiǎn)化運(yùn)算量的角度考慮的，但未曾想到兩種運(yùn)算程序會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不一，這是命題專家的一個(gè)失誤！命題工作是一項(xiàng)高風(fēng)險(xiǎn)的工作，在命題過(guò)程中偶爾出點(diǎn)錯(cuò)誤也是難以避免的，但命題無(wú)科學(xué)性錯(cuò)誤是底線，必須慎之又慎[2].

4.2教師要有質(zhì)疑的意識(shí)[3]！兩種不同的近似計(jì)算流程，導(dǎo)致兩種不同的結(jié)果，在反思解答過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題時(shí)，為何不敢質(zhì)疑專家出現(xiàn)失誤、質(zhì)疑題目條件的問(wèn)題？文章中牽強(qiáng)附會(huì)時(shí)提出“解答步驟中的2×2=2里面的2是常規(guī)意義下的無(wú)理數(shù)，而2=1.4中的2則是一個(gè)有理數(shù)，且為1.4，這違背了數(shù)學(xué)統(tǒng)一性即前后一致的原則！”筆者認(rèn)為是難以自圓其說(shuō)的，也就不可避免地引起課題組的老師非議.題目中的數(shù)值2是在實(shí)際問(wèn)題中自然產(chǎn)生的，在研究實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中我們本應(yīng)該根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要取2的近似值，而不是人為地規(guī)定2=1.4，甚至說(shuō)2=1.4中的2是一個(gè)有理數(shù)且為1.4，說(shuō)2=1.4中的2是一個(gè)有理數(shù)且為1.4，這才是違背了數(shù)學(xué)統(tǒng)一性原則，2是在實(shí)際問(wèn)題中自然產(chǎn)生的無(wú)理數(shù)，它不因命題者的附加限制條件而改變其無(wú)理數(shù)的身份！

4.3關(guān)于計(jì)算，筆者認(rèn)為學(xué)生的計(jì)算能力需要培養(yǎng)，需要強(qiáng)化訓(xùn)練，但不是用繁瑣的計(jì)算或人為地設(shè)置障礙來(lái)刁難學(xué)生，“繁、難，無(wú)技術(shù)含量的重復(fù)練習(xí)”只會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏、繼而討厭數(shù)學(xué)，教師關(guān)鍵是讓學(xué)生明白其算理，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵在掌握數(shù)學(xué)的思想、方法[4].2≈1.4或2≈1.414，目的是實(shí)際問(wèn)題中近似計(jì)算的需要，它應(yīng)該根據(jù)實(shí)際問(wèn)題決定其精確度要求，而不是由主觀臆斷，作者為證明自己的觀點(diǎn)正確，在文章中又例舉案例2，但案例2的本質(zhì)是考查計(jì)算機(jī)計(jì)算程序的近似計(jì)算問(wèn)題，本意是讓電腦機(jī)械操作的程序題，考查目的是讓學(xué)生了解電腦的操作流程，而案例1的建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的，兩者背景不同，考查目標(biāo)不一，它們有本質(zhì)的區(qū)別！我們不要做學(xué)生在學(xué)校里從老師那兒學(xué)會(huì)討厭數(shù)學(xué)的“劊子手”.

4.4關(guān)于“近似計(jì)算問(wèn)題”，在現(xiàn)代社會(huì)的生產(chǎn)生活實(shí)踐、科學(xué)研究與經(jīng)濟(jì)交往中，人們不可避免地要和各種各樣的數(shù)據(jù)打交道，由于各種各樣的原因，這些數(shù)據(jù)有時(shí)并不是所描述對(duì)象的準(zhǔn)確值，只是近似地刻畫(huà)所描述的對(duì)象，這種數(shù)叫做近似數(shù)或近似值.隨著時(shí)代的發(fā)展，對(duì)于近似計(jì)算的問(wèn)題，以前是“人的筆算”，而現(xiàn)在全部由“計(jì)算工具——計(jì)算機(jī)”代替，數(shù)學(xué)運(yùn)算已經(jīng)成為一種“機(jī)械思維活動(dòng)”，為根據(jù)解決實(shí)際問(wèn)題的需要，我們可以借助機(jī)器，按照既定的程序反復(fù)操作而獲得需要的結(jié)果.因此我們需要近似計(jì)算，但要求與過(guò)去不同，我們必須適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，把科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的復(fù)雜計(jì)算交由“計(jì)算工具——計(jì)算機(jī)”處理，把教學(xué)的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注運(yùn)算的道理！正因?yàn)槿绱?，新的課標(biāo)對(duì)運(yùn)算能力的要求為“正確地從事運(yùn)算”，而弱化了對(duì)近似計(jì)算的要求.

4.5事實(shí)勝于雄辯！對(duì)于生活中的實(shí)際問(wèn)題，最好也是最簡(jiǎn)單的說(shuō)服方法是讓事實(shí)說(shuō)話.例如在概率學(xué)中有一個(gè)經(jīng)典的案例，叫“蒙蒂·霍爾問(wèn)題”，因?yàn)樽詈蟮慕Y(jié)論與常人頭腦中的固有認(rèn)識(shí)不一致，大家眾說(shuō)紛紜，哈佛大學(xué)的概率學(xué)權(quán)威Diaconis教授接受電視臺(tái)的邀請(qǐng)解說(shuō)時(shí)，他的做法是在臺(tái)上當(dāng)場(chǎng)邀請(qǐng)觀眾一起進(jìn)行實(shí)驗(yàn).Diaconis教授解說(shuō)：概率的判斷是依靠大量實(shí)驗(yàn)才獲得的[5].本題課題組團(tuán)隊(duì)老師各抒己見(jiàn)，誰(shuí)也說(shuō)服不了誰(shuí)，最有說(shuō)服力的是實(shí)際試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果會(huì)告訴你最終的結(jié)果是誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)！

參考文獻(xiàn)

[1]王淼生，吳衛(wèi)軍.四種解法中到底誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（8）：48-50.

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[4]崔恒劉.網(wǎng)絡(luò)上有關(guān)“近似計(jì)算規(guī)定”的爭(zhēng)鳴[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2014（1-2）：77-77.

[5]崔恒劉.蒙蒂·霍爾問(wèn)題的認(rèn)識(shí)及思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）：81-83.endprint