一類溫儲(chǔ)備系統(tǒng)的剩余壽命及休止時(shí)間

強(qiáng)玉霞，張正成，溫九紅

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

一類溫儲(chǔ)備系統(tǒng)的剩余壽命及休止時(shí)間

強(qiáng)玉霞，張正成，溫九紅

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

本文討論了由正常工作元件與溫儲(chǔ)備元件構(gòu)成的溫儲(chǔ)備系統(tǒng)。在條件min(X,Y)=t下得到溫儲(chǔ)備系統(tǒng)中存活元件剩余壽命的可靠性函數(shù)；在系統(tǒng)中壽命較弱元件仍然存活的情況下，推導(dǎo)了系統(tǒng)剩余壽命及休止時(shí)間的可靠性函數(shù)，并且考慮了元件壽命與系統(tǒng)剩余壽命(休止時(shí)間)的關(guān)系。

隨機(jī)序；溫儲(chǔ)備系統(tǒng)；剩余壽命；休止時(shí)間

研究可靠性工程主要的目的是提高系統(tǒng)的有效性與可靠性。給系統(tǒng)配置溫儲(chǔ)備元件是一種提高系統(tǒng)性能的有效方法。溫儲(chǔ)備是指元件在儲(chǔ)備狀態(tài)時(shí)是在溫和的環(huán)境下工作，相較于正常工作的元件失效率較低。之前很多學(xué)者研究了各種系統(tǒng)的剩余壽命與休止時(shí)間，如Asadi[1]、Khaledi[2]、Hashemi[3]、Zhang[4]。 2002年，Bairamov[5]研究了具有并聯(lián)和串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剩余壽命函數(shù)；2003年，Li和Lu[6]考慮了并聯(lián)和串聯(lián)系統(tǒng)剩余壽命的隨機(jī)比較；2011年，Zhang[7]研究了n中取k系統(tǒng)的條件剩余壽命；2013年，Zhang[8]考慮了協(xié)同系統(tǒng)的剩余壽命與休止時(shí)間的可靠性函數(shù)。

本文討論了由溫儲(chǔ)備元件與正常工作元件組成的溫儲(chǔ)備系統(tǒng)。首先在條件min(X,Y)=t下得到溫儲(chǔ)備系統(tǒng)中存活元件剩余壽命的可靠性函數(shù)，比較了兩個(gè)元件的剩余壽命；其次在系統(tǒng)中壽命較弱元件仍然存活的情況下，推導(dǎo)出系統(tǒng)剩余壽命與休止時(shí)間的可靠性函數(shù)，考慮了元件壽命不同對(duì)系統(tǒng)剩余壽命及休止時(shí)間的影響。

(c)若H(x)/K(x)單調(diào)遞減，則稱M在反失效率序意義下小于N(表示為M≤rhN)。

1 主要結(jié)論

定理1 當(dāng)min(X,Y)=t時(shí)，對(duì)任意的t≥0,x≥0，有

(a)溫儲(chǔ)備系統(tǒng)中正常工作元件的剩余壽命函數(shù)為

(1)

(b)溫儲(chǔ)備系統(tǒng)中溫儲(chǔ)備元件的剩余壽命函數(shù)為

(2)

證明：(a)當(dāng)xx|min(X,Y)=t)=1。當(dāng)x≥t時(shí)，有

引理1[11]假設(shè)M、N是兩個(gè)連續(xù)或離散的獨(dú)立隨機(jī)變量，對(duì)任意的t≥0，M≤hrN當(dāng)且僅當(dāng)(M|min(M,N)=t)≤hr(或者≤st)(N|min(M,N)=t)。

下面的定理說(shuō)明引理1的結(jié)論可以推廣到溫儲(chǔ)備系統(tǒng)中。

定理2X和Y是相互獨(dú)立且連續(xù)的隨機(jī)變量，對(duì)任意的t≥0，則Y≤hrX當(dāng)且僅當(dāng)(Y|min(X,Y)=t)≤hr(或者≤st)(X|min(X,Y)=t)。

證明：(必要性)對(duì)任意的t≥0,x≥0，由式(1)和式(2)可得

當(dāng)x≥t時(shí)，

充分性由引理1即可得。 一般隨機(jī)序的證明與失效率序的證明相同，此處省略。

對(duì)任意的t≥0，在溫儲(chǔ)備系統(tǒng)中較弱元件在t時(shí)仍然存活的情況下，考慮此時(shí)系統(tǒng)的剩余壽命。即(T(X,Y)-t|min(X,Y)≥t)。

定理3 (T(X,Y)-t|min(X,Y)≥t)的可靠性函數(shù)為

(3)

證明：對(duì)任意的t≥0,x≥0，有

定理4 對(duì)任意的t≥0，有

(a)若X1≤hrX2，則(T(X1,Y)-t|min(X1,Y)≥t)≤st(T(X2,Y)-t|min(X2,Y)≥t)；

(b)假設(shè)對(duì)任意的u≥0，有γ(u)≤ω(u)且u-ω(u)單調(diào)遞增。 若Y1≤hrY2，則

(T(X,Y1)-t|min(X,Y1)≥t)≤st(T(X,Y2)-t|min(X,Y2)≥t)。

(T(X1,Y)-t|min(X1,Y)≥t)≤st(T(X2,Y)-t|min(X2,Y)≥t)。

接下來(lái)考慮了溫儲(chǔ)備系統(tǒng)在時(shí)刻t≥0時(shí)的休止時(shí)間，即(t-T(X,Y)|max(X,Y)≤t)。

定理5 對(duì)任意的t≥0,x≥0，(t-T(X,Y)|max(X,Y)≤t)的可靠性函數(shù)為

證明：對(duì)任意的t≥0,x≥0，有

其中:P(T(X,Y)≤t-x,max(X,Y)≤t)=P(Y≤t-x,Xμ≤t)+P(Y+X*≤t-x,Y

定理6 對(duì)任意的t≥0，有

(a)假設(shè)對(duì)任意的u≥0，有γ(u)≤ω(u)，若X1≤rhX2且X1≤hrX2，則

(t-T(X1,Y)|max(X1,Y)≤t)≥st(t-T(X2,Y)|max(X2,Y)≤t)；

(b)假設(shè)對(duì)任意的u≥0，有γ(u)≤ω(u)且u-ω(u)單調(diào)遞增。 若Y1≤rhY2，則

(t-T(X,Y1)|max(X,Y1)≤t)≥st(t-T(X,Y2)|max(X,Y2)≤t)。

證明: (a)對(duì)任意的t≥0,x≥0，有

(b)的證明與定理4(b)的證明類似，此處省略。

2 結(jié) 語(yǔ)

本文討論了由溫儲(chǔ)備元件與正常工作元件組成的溫儲(chǔ)備系統(tǒng)。在條件min(X,Y)=t下考慮了溫儲(chǔ)備系統(tǒng)中存活元件剩余壽命的可靠性函數(shù)，比較了兩個(gè)元件的剩余壽命，得到正常工作元件的剩余壽命比溫儲(chǔ)備元件的短；在系統(tǒng)中壽命較弱元件仍然存活的情況下，得到了溫儲(chǔ)備系統(tǒng)剩余壽命及休止時(shí)間的可靠性函數(shù)，并且考慮了元件壽命與系統(tǒng)剩余壽命及休止時(shí)間的關(guān)系，得到系統(tǒng)中兩個(gè)元件的壽命在失效率意義下減小，則該元件對(duì)應(yīng)的整個(gè)系統(tǒng)的剩余壽命也會(huì)減少，而休止時(shí)間增大。

[1] Asadi M,Bairamov I.A note on the mean residual life function of a parallel system[J]. Communication in Statistics-Theory and Methods,2005(34):475-484.

[2] Hashemi M,Tavangar M,Asadi M.Some properties of the residual lifetime of progressively Type-Ⅱ right censored order statistics[J].Statistics and Probability Letters,2010(80):845-859.

[3] Khaledi B,Shaked M.Ordering conditional lifetimes of coherent systems[J].Journal of Statistical Planning Inference,2007(137):1173-1184.

[4] Zhang Z C,Yang Y.Ordered properties on the residual life and inactivity time of (n-k+1)-out-of-n systems under double monitoring[J].Statistics and Probability Letters,2010(80):711-717.

[5] Bairamov I,Ahsanullah M,Akhundov I.A residual life function of a system having parallel or series structures[J].J Stat Theory Appl,2002,1(2):119-132.

[6] Li X H,Lu J Y.Stochastic comparisons on residual life and inactivity time of series and parallel systems[J].Probability in the Engineering and Informational Sciences,2003(17):267-275.

[7] Zhang Z C.Ordering new conditional residual lifetimes of k-out-of-n systems[J].Communication in Statistics-Theory and Methods,2011,40(9):1591-1600.

[8] Zhang Z C,William Q,Meeker.Mixture representations of reliability in coherent systems and preservation results under double monitoring[J].Communication in Statistics-Theory and Methods,2013(42):385-397.

[9] Ross S M.Stochastic process and their applications[M].New York:Wiley,1996:50-56.

[10] Shaked M,Shanthikumar J G.Stochastic Orders[M].New York:Springer,2007:78-86.

[11] Shaked M,Shanthikumar J G.Stochastic Orders and Their Applications[M].California:Academic Press,2007:32-45.

Residual Life and Inactivity Time of the Warm Standby System

JIANG Yuxia,ZHANG Zhengcheng,WEN Jiuhong

(Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

This article discussed the warm standby system composed of normal component and warm standby component. Under the condition min(X,Y)=t，the residual life reliability function of the surviving elements in the warm standby system is considered. Under the condition of the weaker component is still alive in the system，the reliability function of the residual life and inactivity time is deduced. The relationship between the life of component and the residual life (inactivity time) of the system is considered.

stochastic order;warm Standby System;residual Life;inactivity Time

10.3969/i.issn.1674-5403.2017.03.020

O213.2

A

1674-5403(2017)03-0079-05

2017-04-05

強(qiáng)玉霞(1994-)，女，甘肅隴南人，在讀碩士研究生，主要從事系統(tǒng)可靠性方面的研究.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71361020).