回歸概念 關(guān)注本質(zhì) 注重應(yīng)用

摘 要：平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的重要內(nèi)容之一。高考對這部分的考查常以選擇、填空的形式出現(xiàn)，也常與解析幾何交匯，題型較穩(wěn)定，經(jīng)常以中檔題出現(xiàn)?？疾榈闹攸c(diǎn)一方面是平面向量的基本概念及基本運(yùn)算能力；另一方面是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)及運(yùn)算律。下面例談“平面向量”專題復(fù)習(xí)的一些策略。

關(guān)鍵詞：回歸概念；關(guān)注本質(zhì)；注重應(yīng)用

策略一：加強(qiáng)概念復(fù)習(xí)，關(guān)注本質(zhì)理解

本專題中概念較多，如何讓學(xué)生迅速把握住本質(zhì)，達(dá)成理解，要成為本專題復(fù)習(xí)的首要任務(wù)。既要重溫概念的來龍去脈，理清知識網(wǎng)絡(luò)，通過比較，對向量的概念進(jìn)行辨析，又要通過分析學(xué)生存在的問題，幫助學(xué)生辨析概念。

【例1】 在邊長為1的正三角形ABC中，AB·BC+BC·CA+CA·AB= 。

分析：本題主要考查數(shù)量積的定義及兩向量夾角的概念，學(xué)生易錯(cuò)解如下：AB·BC+BC·CA+CA·AB=|AB||BC|cos60°+|BC||CA|cos60°+|CA||AB|cos60°=12+12+12=32。這是由于對兩向量夾角的定義理解不透造成的。

點(diǎn)撥：兩向量夾角的定義的前提是其起點(diǎn)要重合。向量AB與BC，BC與CA，CA與AB的夾角通過平移后發(fā)現(xiàn)都不是60°，而是120°。故其值為-32。

策略二：加強(qiáng)運(yùn)算理解，關(guān)注算法本質(zhì)

向量的本質(zhì)有“雙重身份”，即“代數(shù)形式”和“幾何形式”，因此對向量的運(yùn)算也要從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面進(jìn)行理解和掌握，在復(fù)習(xí)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解向量運(yùn)算的運(yùn)算律及方法，關(guān)注算法的本質(zhì)。

【例2】 O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的 心。

分析：本題主要考查向量的平行四邊形法則和三角形法則，學(xué)生產(chǎn)生的錯(cuò)因是對OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈[0，+∞）理解不夠透徹，不清楚AB|AB|+AC|AC|的幾何意義是與∠BAC的角平分線有關(guān)。

點(diǎn)撥：AB|AB|的幾何意義是與AB共線同向的單位向量，掌握向量運(yùn)算的幾何意義及向量共線定理。

解析：由OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，可得AP=λAB|AB|+AC|AC|，而AB|AB|+AC|AC|的幾何意義是∠BAC的角平分線，且角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心。

策略三：重視方法訓(xùn)練，關(guān)注基底選擇

本專題復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一是用向量處理問題的兩種方法：“向量法”和“坐標(biāo)法”。也即面對一個(gè)實(shí)際問題，要學(xué)會選擇基底或者建立平面直角坐標(biāo)系。這兩種方法本質(zhì)上是一致的，其依據(jù)都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例。學(xué)生往往對于后者較為熟悉，在給定的坐標(biāo)系中會處理問題，但不善于自己選擇基底。教學(xué)中可在正交基底的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生選擇其他的基底解決問題，強(qiáng)化平面向量基本定理的復(fù)習(xí)和運(yùn)用。

【例3】 △AOB中，∠AOB為直角，OC=14OA，OD=12OB，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)OA=a，OB=b，試用a，b表示向量OM。

分析：本題主要考查平面向量基本定理的運(yùn)用，可從建系的角度入手，使平面向量問題坐標(biāo)化，也可從選擇一組向量為基底的角度入手，利用平面向量基本定理求解。

點(diǎn)撥：方法1：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)A（u，0），B（0，v），則Cu4，0，D0，v2，設(shè)M（x，y），則根據(jù)M在直線BC上，也在直線AD上，根據(jù)斜率公式，可得：y-vx=v0-u4，y-v2x=v20-u，解之得：（x，y）=17u，37v，所以O(shè)M=17a+37b。

方法2：由A，M，D三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)λ1使得OM=OA+AM=a+λ1AD=a+λ1-a+12b=（1-λ1）a+λ12b；

由B，M，C三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)λ2使得OM=OB+BM=b+λ2BC=b+λ2-b+14a=λ24a+（1-λ2）b；

由平面向量基本定理知：1-λ1=λ24λ12=1-λ2，解之得，λ1=67，λ2=47∴OM=17a+37b。

策略四：強(qiáng)化問題意識，注重向量運(yùn)用

本專題學(xué)生存在的主要問題就是缺乏用向量解決問題的意識，不能自覺地把向量當(dāng)成工具用到解決問題中。學(xué)生的運(yùn)用意識不是一朝一夕形成的，教師要在教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生自覺地思考、轉(zhuǎn)化、構(gòu)圖和變式，讓學(xué)生不斷積累運(yùn)用向量解決問題的思維和經(jīng)驗(yàn)，要加強(qiáng)教學(xué)過程中對學(xué)生思維、意識和能力的培養(yǎng)，關(guān)注解題過程的思維達(dá)成度。

【例4】 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知4accos2A+C2=a2+c2-b2。

（1）求B；

（2）若c=3，且AC邊的中線BM=132，求a的值。

分析：對于第（2）問，題中未出現(xiàn)平面向量，如果按照常規(guī)思路，只會想到正、余弦定理及方程思想，則運(yùn)算量較大，導(dǎo)致解題速度慢或出差。但如果學(xué)生有主動(dòng)運(yùn)用平面向量的意識，會大大減少運(yùn)算量，從而輕松解決問題，體現(xiàn)了不同層次學(xué)生的思維能力。

點(diǎn)撥：第（2）問能輕松解決的關(guān)鍵在于有主動(dòng)運(yùn)用平面向量的意識。

∵BM為AC邊的中點(diǎn)，∴BM=12（BA+BC），

兩邊同時(shí)平方，得BM2=14（BA2+BC2+2BA·BC）即，134=1432+a2+2×3×a×12，

整理，得a2+3a-4=0，解得a=1或a=-4（舍去）?！郺=1。

平面向量專題，“麻雀雖小，五臟俱全”，不僅高考每年都考，還是解決三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、不等式等問題的重要工具，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)合思想、數(shù)學(xué)建模能力的重要途徑，因此在高三復(fù)習(xí)中值得關(guān)注和加強(qiáng)。

作者簡介：

饒智榮，福建省龍巖市，福建省連城縣第一中學(xué)。