部分非線性指標模型的降維及在醫(yī)療費用評估中的應用*

馮 彥 徐 璇 趙曉兵△

·方法介紹·

部分非線性指標模型的降維及在醫(yī)療費用評估中的應用*

馮 彥1徐 璇2趙曉兵2△

分析和研究醫(yī)療費用最重要的目的是尋找和確定與醫(yī)療費用密切相關的重要變量,以達到通過控制這些變量減少醫(yī)療費用支出的目的。然而，由于醫(yī)療費用數(shù)據(jù)結構復雜、附加信息(協(xié)變量)的高維、以及醫(yī)療費用數(shù)據(jù)往往是嚴重偏斜、異方差、非正態(tài)等等,給醫(yī)療費用的研究帶來了巨大的統(tǒng)計挑戰(zhàn)。因此,尋找一種創(chuàng)新的統(tǒng)計建模方法和統(tǒng)計分析技術來分析醫(yī)療費用顯得非常必要。

就目前已有的文獻而言,對醫(yī)療費用的建模主要可分為兩類,一類對于醫(yī)療總體費用進行建模,另一類是對于縱向醫(yī)療數(shù)據(jù)進行建模。其中對于縱向醫(yī)療數(shù)據(jù)分析,很多學者提出了不少相關的模型[1],例如,邊際模型[2-3]、馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型[4]以及隨機(固定)效應模型[5]等等。近年來,廣義線性模型也引起了很多學者的廣泛討論[6]。但是,這種方法不能很好地考慮醫(yī)療費用的相關性,并且對與時間有關的變量的作用不能夠很好地進行解釋[7]。最近,Chen等拓展了經(jīng)典的廣義線性模型[2-3],將一些隨著時間變化的協(xié)變量通過非線性函數(shù)的形式加到廣義線性模型中,卻仍然假設該模型中的連接函數(shù)是已知的。

為了使得上述模型更加靈活,最大效率地利用收集到的醫(yī)療費用的高維輔助信息,本文嘗試將Chen等的廣義線性模型中的連接函數(shù)放松為未知函數(shù)[3],進而提出了“部分非線性指標模型”(PNIM)如下:

(1)

估計方法

對于給定的維數(shù)q，MAVE降維的思想就是通過局部線性光滑技術同時估計參數(shù)和非參數(shù)部分,再比較不同維數(shù)下的回歸函數(shù)的殘差，從而挑選出合適的維數(shù)。該方法極大地提高了對復雜數(shù)據(jù)的有效維空間的估計。下面介紹具體參數(shù)βj(j=1,2,…,p)以及非參數(shù)部分g(·)和f(·)的估計方法和子空間維數(shù)及窗寬的確定方法。

1.降維空間基方向和非參數(shù)部分的估計

(2)

(3)

文獻[7]指出wij的選擇對降維結果至關重要,通常選取

(4)

(5)

(6)

正如Zeger和Liang指出的那樣[7]，權重wij會依賴于B。本文參照Xia給出兩種權重的選取[8]：

(1)初始權重

(7)

(2)精確權重

(8)

2.降維子空間的維數(shù)及窗寬

3.算法及修正

下面給出利用改進的MAVE方法求解的算法：

Step1(基):對于任意q，1≤q≤p,則在q維子空間的基可由下面步驟求出:

(9)

Step2(維數(shù))：求得CV(d),0≤d≤p,找出最小的CV(d)所對應的維數(shù)d,由此對應的Step1-(3)求出的B即為估計的子空間的基。

數(shù)值模擬

我們采用MATLAB軟件考慮如下兩個模型的數(shù)值模擬。

情形一：考慮一維的情形q=1,我們利用下面模型來產(chǎn)生樣本

其中,Ti服從[0,1]均勻分布,Xi分兩種情況討論,εi獨立同分布服從N(0,1)。故此時模型滿足E[f(T)]=E[1.5sin(2πT)]=0,同時假設(X,T)與ε相互獨立。

下面根據(jù)Xi的兩種分布情況進行討論:

情形二：考慮二維情形q=2，β1=(1,0,…,0)∈R10，β2=(0,0,…,1,0)∈R10,此時,我們利用下面模型

表1 推廣的MAVE的數(shù)值模擬結果

由表1,可以發(fā)現(xiàn)β的估計值與真值有很高的相關性。同時可以發(fā)現(xiàn)本方法對于結構維數(shù)有很好的估計。第四列顯示,維數(shù)選擇的正確率非常高。與此同時,對非參數(shù)部分g(·)與f(·)的估計誤差也比較合理。

下面給出對非參數(shù)部分的估計圖像。圖1至圖6分別為情形一非參數(shù)部分g(·)、f(·)的估計,以及情形二的非參數(shù)部分f(·)在γ=0.2在γ=0.8的估計。圖中實線為非參數(shù)部分的真實曲線,點畫線為其相應的估計曲線,虛線為95%的置信曲線。從圖3～6可以發(fā)現(xiàn),本文提出的估計方法也能夠很好地估計出非參數(shù)部分。

圖1 情形一(1)的g(·)的擬合圖

實例分析

下面針對收集得到的醫(yī)療費用縱向數(shù)據(jù)進行分析。醫(yī)療費用數(shù)據(jù)是美國全國性醫(yī)療衛(wèi)生服務抽樣調(diào)查得到的,包括受訪者的健康狀況、基本信息、醫(yī)療衛(wèi)生服務、衛(wèi)生支出、醫(yī)療保險等信息。通過對這些數(shù)據(jù)分析有助于保險公司制定方案，也有助于政府制定醫(yī)療政策。

圖2 情形一(1)的f(·)的擬合圖

圖3 情形一(2)的g(·)的擬合圖

圖4 情形一(2)的f(·)的擬合圖

圖5 情形二γ=0.2的f(·)的擬合圖

圖6 情形二γ=0.8的f(·)的擬合圖

本文研究的MEPS(TheMedical Expenditure Panel Survey,MEPS)是2010年全年調(diào)查中老齡化家庭的醫(yī)療數(shù)據(jù)，這些家庭的成員年齡都在65歲至84歲之間，總共收集到醫(yī)療數(shù)據(jù)樣本2139個。通過對醫(yī)療數(shù)據(jù)的簡單分析，醫(yī)療費用數(shù)據(jù)往往是高度右偏的，均值很大(9235美元)，但是中位數(shù)很小(3955美元)。Chen等在建立模型分析醫(yī)療費用數(shù)據(jù)時[2]，只選取了部分協(xié)變量分析，例如性別、種族、疾病等。但是我們發(fā)現(xiàn)收集到的醫(yī)療費用數(shù)據(jù)含有大量的信息，擁有大量的協(xié)變量，選取部分協(xié)變量不能全面進行醫(yī)療費用的分析。因此，本文除了考慮年齡對醫(yī)療費用的影響即模型中的f(·)，還考慮了14個協(xié)變量對醫(yī)療費用的影響，即種族、性別、死亡、住院情況、心血管疾病、呼吸道疾病、身體運動障礙、癌癥、糖尿病、家庭成員情況、附加保險情況、家庭收入等級、醫(yī)療保險報銷情況、教育程度。通過建立部分非線性多指標模型，充分考慮14個協(xié)變量以及年齡對醫(yī)療費用的影響。

利用本文提議的模型和方法對美國MPES-2010數(shù)據(jù)進行分析，根據(jù)CV(q)最小，選出維數(shù)為q=2。從而得到降維子空間的基(即模型(1)中的β1,β2) 見表2。通過表2中列向量數(shù)值的大小和正負，我們發(fā)現(xiàn),“是否住院”的情況對醫(yī)療費用的影響最大。此外,死亡、心血管疾病、呼吸道疾病、癌癥、醫(yī)療保險情況、醫(yī)療報銷情況都對醫(yī)療費用有著較大的影響。

與此同時，我們還得到年齡對醫(yī)療費用的影響，如圖7,虛線為年齡對醫(yī)療費用的影響估計曲線，點畫線為95%的置信曲線。

表2 降維子空間(降維結果)

從圖7可以發(fā)現(xiàn)一開始隨著年齡的增加,醫(yī)療費用有所降低，而后在67歲到69歲,醫(yī)療費用有著較大的上升；隨后在69到73之間，醫(yī)療費用會隨著年齡的增長在一定的范圍內(nèi)波動，隨后到74附近達到一個小峰值；之后有所下降，在75歲到80歲附近，隨著年齡的增長波動向上遞增；然后在81歲到82歲附近醫(yī)療費用會有所下降，隨后醫(yī)療費用又隨即快速上升。

圖7 實例的f(·)估計圖

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國家自然科學基金資助項目(11271317)；浙江省自然科學基金資助項目(LY16A010007)

1.山西醫(yī)科大學第一臨床醫(yī)學院，公共衛(wèi)生學院，護理學院(030001) 2.浙江財經(jīng)大學數(shù)據(jù)科學學院

△通信作者：趙曉兵，Email:maxbzhao@126.com

張 悅)