基于MATLAB的單級(jí)倒立擺LQR控制算法仿真

甕振永 吳凡 吳守川

摘 要：倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的快速、多變量、非線性、不穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，對(duì)于倒立擺的控制研究無(wú)論在理論研究上亦或是工業(yè)復(fù)雜控制對(duì)象的控制方法上都有深遠(yuǎn)的意義。本文主要研究?jī)?nèi)容是：首先概述倒立擺系統(tǒng)研究的背景及意義；介紹倒立擺組成并對(duì)單級(jí)倒立擺模型進(jìn)行建模；研究倒立擺系統(tǒng)的LQR控制方式，并設(shè)計(jì)出對(duì)應(yīng)的控制器，以MATLAB軟件為平臺(tái)經(jīng)行模擬仿真實(shí)驗(yàn)并對(duì)LQR控制效果進(jìn)行總結(jié)。

關(guān)鍵詞：倒立擺；LQR控制算法；MATLAB仿真

1、倒立擺系統(tǒng)研究背景及意義

倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)， 是作為理論教學(xué)及開(kāi)展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想平臺(tái)。許多抽象的控制概念如控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)抗干擾能力等，都可以利用倒立擺系統(tǒng)直接的展現(xiàn)出來(lái)。

除了用于教學(xué)，在自動(dòng)控制領(lǐng)域中，倒立擺系統(tǒng)的高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合等特性使得許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將它作為研究對(duì)象。他們通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究出新的控制方法，并將其應(yīng)用于航天科技和機(jī)器人學(xué)等各種高新科技領(lǐng)域。倒立擺仿真或?qū)嵨锟刂茖?shí)驗(yàn)，已成為檢驗(yàn)一個(gè)新的控制理論是否有效的試金石，同時(shí)也是產(chǎn)生一個(gè)新的控制方法必須依據(jù)的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

2、單級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型

圖1單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的原理圖。若不給小車(chē)施加控制力，倒擺會(huì)向左或向右傾斜，控制的目的是當(dāng)?shù)箶[出現(xiàn)偏角時(shí)，在水平方向上給小車(chē)以作用力，通過(guò)小車(chē)的水平運(yùn)動(dòng)，使倒擺保持在垂直的位置。即控制系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，以保持?jǐn)[的倒立穩(wěn)定。

3、LQR控制及MATLAB仿真

線性二次型最（LQR）優(yōu)控制算法的目的是在一定的性能指標(biāo)下，使系統(tǒng)的控制效果最佳，即利用最少的控制能量，來(lái)達(dá)到最小的狀態(tài)誤差，以下將利用最優(yōu)控制算法實(shí)現(xiàn)對(duì)一階倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度和小車(chē)位置的同時(shí)控制。

本文所用參數(shù)為M = 0.5；m = 0.2；b = 0.1；I = 0.006；g = 9.8；l = 0.3，均為國(guó)際單位制。編寫(xiě)MATLAB程序：

采用LQR方法則首先需將上述參數(shù)代入狀態(tài)空間方程，求出狀態(tài)矩陣A，輸入矩陣B。輸出矩陣C只有兩個(gè)1，分別代表小車(chē)位置、擺桿角度，傳遞矩陣為0。

接下來(lái)利用命令lqr得到系統(tǒng)的反饋增益K，然后通過(guò)調(diào)整矩陣Q 和R 來(lái)獲得滿意的響應(yīng)效果。經(jīng)過(guò)多次仿真試湊，當(dāng)R=10、Q11=5000、Q33=100時(shí)，小車(chē)位置能夠準(zhǔn)確地跟蹤輸入信號(hào)，擺桿的超調(diào)量足夠小，穩(wěn)態(tài)誤差、上升時(shí)間與調(diào)整時(shí)間也基本符合設(shè)計(jì)指標(biāo)求。仿真結(jié)果如圖2。

這時(shí)如果再增大Q，系統(tǒng)的響應(yīng)還會(huì)有所改善，但是在保證Q足夠小并兼顧其它響應(yīng)指標(biāo)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)已經(jīng)能夠滿足要求了。研究發(fā)現(xiàn)Q和R矩陣之間有如下規(guī)律：當(dāng)R 陣的權(quán)值增大時(shí)，被控量幅值顯著減小，其對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有所改善，但并不著，當(dāng)Q矩陣中某一元素的權(quán)值增大時(shí)，與其相對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程好轉(zhuǎn)，系統(tǒng)快速性得到明顯提高，與此同時(shí)，也引起了一些振蕩，而被控量的幅值由小到大明顯大。

4、LQR控制效果總結(jié)

最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的重要內(nèi)容，過(guò)去因?yàn)樵S多復(fù)雜的計(jì)算難以實(shí)現(xiàn)，但隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷進(jìn)步，復(fù)雜的計(jì)算可以通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，因此最優(yōu)控制在工程技術(shù)應(yīng)用的越來(lái)越廣泛。

最優(yōu)控制算法（LQR）的目的是在一定性能指標(biāo)下，使系統(tǒng)獲得最佳的控制效果，達(dá)到最小的狀態(tài)誤差。

在仿真的過(guò)程中首先對(duì)倒立擺系統(tǒng)如何縮短穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間進(jìn)行了仿真，通過(guò)不斷的調(diào)試，使得系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間滿足了設(shè)計(jì)要求。然后為了使系統(tǒng)輸入和反饋的量綱相互匹配，給輸入乘以了增益Nbar，然后進(jìn)行仿真之后使得小車(chē)位置跟蹤輸入信號(hào)，而且擺桿超調(diào)最夠小，穩(wěn)態(tài)誤差滿足了要求，上升時(shí)間和穩(wěn)定時(shí)間也滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。

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