一類由Hurwitz-Lerch Zeta函數(shù)定義的亞純函數(shù)的系數(shù)估計

石磊

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 安陽 455002)

一類由Hurwitz-Lerch Zeta函數(shù)定義的亞純函數(shù)的系數(shù)估計

石磊

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 安陽 455002)

利用Hurwitz-Lerch zeta函數(shù)定義了一類新的算子,運用該算子和卷積定義了一類新的亞純函數(shù)。討論了該函數(shù)類的包含關系、系數(shù)估計和充分條件等性質,所得結果推廣了一些已有的結論。

亞純函數(shù);Hurwitz-Lerch zeta函數(shù);卷積;系數(shù)估計

0 引言

設M表示在單位去心圓盤U*={z:0<|z|<1}=U{0}內解析且形如

(1)

的函數(shù)全體。

設函數(shù)f,g∈M, 其中f由(1)給出,

f與g卷積f*g定義為

則稱f∈MS*(θ,γ)為γ階亞純螺旋函數(shù)。有關亞純螺旋函數(shù)的相關研究,可參考[1-3]。

若f∈M滿足

則稱函數(shù)f∈MD*。此類函數(shù)由Kumar和Shukla[4]引入研究。

定義1 如果函數(shù)f∈M滿足條件

當對函數(shù)類MSDs,b(λ,α,β)的參數(shù)取一些特殊值時,可以得到亞純函數(shù)的一些特殊子類[7-10]。 本文我們將討論函數(shù)類MSDs,b(λ,α,β)的系數(shù)估計問題, 所得結果推廣了一些已有的結論。

1 主要結果

定理1 設0≤α≤β,f∈MSDs,b(λ,α,β). 則有f∈MSDs,b(λ,0,ζ), 這里

證明設f∈MSDs,b(λ,α,β)。 由定義可知

注意到

我們有

從而,

這里

由假設0≤α≤β,0≤β<1, 易見0≤ζ<1, 故f∈MSDs,b(λ,0,ζ).

(2)

則

(n≥2).

證明由(2)式, 可得

(3)

和

(4)

結合(3)和(4), 則

(n∈N).

從而對n≥2,我們有

這就完成了引理1的證明。

證明假定f∈MSDs,b(λ,α,β)。 由定理1,我們知道

(5)

對(5)式變形可得

即

比較兩邊zn的次數(shù), 則有

因為|τk|≤2(k∈N), 故

(6)

(7)

為了證明

|ak|≤Ak(k∈N),

我們采用數(shù)學歸納法。 首先

因此,我們假定|ak|≤Ak(k=1,2,…,n)。 由(6)和(7)可得

由數(shù)學歸納法可知|ak|≤Ak(k∈N). 結合引理1即得定理2的系數(shù)估計。

定理3 若f∈M滿足

(8)

則f∈MSDs,b(λ,α,β).

證明由(8)我們有

故

設

由最大模原理, 我們有

注意到

我們有

α|η(z)+1|-Re{-eiλη(z)}+βcosλ=

α|η(z)+1|-Re{-eiλη(z)-eiλ}-(1-β)cosλ≤

(1+α)|η(z)+1|-(1-β)cosλ<0.

從而f∈MSDs,b(λ,α,β),這就完成了定理3的證明。

[1] Al-Amiri H,Mocanu P T.Some Simple Criteria of Starlikeness and Convexity for Meromorphic Functions[J].Mathematica(Cluj),1995,37(60):11-21.

[2] Liu J L,Srivastava H M.A Linear Operator and Associated Families of Meromorphically Multivalent Functions[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2001,259(2):566-581.

[3] Xu N,Yang D.On Starlikeness and Close to Convexity of Certain Meromorphic Function[J].JKoreanSocMathEdusSerB:ThePureandAppliedMathematics,2003,10(1):566-581.

[4] Kumar V,Shukla S L.Certain Integrals for Classes of p-valent Meromorphic Functions[J].BulletinoftheAustralianMathematicalSociety,1982,25(1):85-97.

[5] Srivastava H M,Attiya A A.An Integral Operator Associated with the Hurwitz-Lerch Zeta Function and Differential Subordination[J].IntegralTransformsandSpecialFunctions,2007,18(34-4):207-216,DOI:10.1080/106524607012085-77.

[6] Ghanim F.A Study of a Certain Subclass of Hurwitz-Lerch-Zeta Function Related to A Linear Operator[J].AbstractandAppliedAnalysis,2013,2013(1):1-7.

[7] Sun Y,Jiang Y P,Liu Z H.Some Subclasses of Meromorphic Multivalent Functions Involving a Generalized Differential Operator[J].HacettepeJournalofMathematicsandStatistics,2014,43(3):435-449.

[8] Sun Y,Jiang Y P,Rasila A,etal.Integral Representations and Coefficient Estimates for A Subclass of Meromorphic Starlike Functions[J].ComplexAnalysisandOperatorTheory,2016:1-19.DOI:10.1007/s11785-016-0531-x.

[9] Wang Z G,Srivastava H M,Yuan S M.Some Basic Properties of Certain Subclasses of Meromorphically Starlike Functions[J].JournalofInequalitiesandApplications,2014,2014(1):1-13,DOI:10.1186/1029-242X-2014-29.

[10] Nunokawa M,Sokol J.On Meromorphic and Starlike Functions[J].ComplexVariablesandEllipticEquations,2015,60(10):1411-1423,DOI:10.1080/17476933.2015.1022170.

CoefficientEstimatesonCertainSubclassofMeromorphicFunctionsDefinedbyHurwitz-LerchZetaFunction

SHI Lei

(SchoolofMathematicalScienceandStatistics,AnyangNormalUniversity,Anyang455002,China)

We introduce and investigate a certain subclass of meromorphic functions by using of an operator defined by the Hurwitz-Lerch Zeta function. Such results as inclusion relationships, coefficient estimates and sufficient conditions are proved. The results presented here would provide extensions of those given in earlier works.

meromorphic function;Hurwitz-Lerch zeta function;hadamard product;coefficient estimates

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.04.008

2016-07-22；

2016-12-17

國家自然科學基金(11301008； 11426035)；河南省高等學校重點科研項目(17A110014)

石磊(1982-),男,河南信陽人,講師,研究方向:幾何函數(shù)論。E-mail:shimath@126.com

O174.51

A

0253-2395(2017)04-0712-05