介電常數(shù)虛部對Mie粒子保守力非保守力的影響

李凱凱,陳君

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

介電常數(shù)虛部對Mie粒子保守力非保守力的影響

李凱凱,陳君*

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

通過基于快速傅里葉變換和Mie理論的數(shù)值模擬以及基于多極展開理論的解析分析,研究了影響光力的介電常數(shù)虛部對介質(zhì)及金屬材料微粒z方向保守力、非保守力的影響。結(jié)果表明對于介質(zhì)材料以及金屬材料,解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果可以很好地保持一致。非保守力z分量的最大值總是出現(xiàn)在場強(qiáng)最大的位置,而保守力z分量的最大值則總是出現(xiàn)在場強(qiáng)最大值的兩邊,并且這兩種力均在微粒遠(yuǎn)離場強(qiáng)最大處時(shí)迅速衰減。但是保守力和非保守力的具體變化趨勢對于介質(zhì)和金屬材料卻有不同。保守力和非保守力隨介電常數(shù)虛部變化的根本在于材料性質(zhì)對極化率以及兩種力影響的不同。文章對保守力非保守力的研究,有利于對微粒更加精準(zhǔn)、自由地操控。

光力;保守力;非保守力;介電常數(shù)虛部;Mie粒子

0 引言

光鑷[1-7,12]是光學(xué)微操控技術(shù)發(fā)展中最重要的技術(shù)之一,它利用強(qiáng)聚焦光束施加的光力穩(wěn)定地俘獲和移動粒子,并把粒子陷在光束的焦點(diǎn)(面)附近。光鑷技術(shù)依賴于施加在粒子上的光力,而理論和實(shí)驗(yàn)學(xué)者很早就知道或者概念上明白光力分為保守力(梯度力)和非保守力(散射力和吸收力),即F=Fg+Fk,其中Fg代表梯度力,Fk代表散射力和吸收力。根據(jù)斯托克斯定理,梯度力滿足×Fg=0,表明Fg做功與路徑無關(guān),是保守力,并且可以定義一個(gè)標(biāo)勢U,Fg=-U。而散射力和吸收力卻滿足·Fk=0,表明Fk做功與路徑有關(guān),是非保守力。保守力與非保守力有不同的應(yīng)用價(jià)值,Fg可以實(shí)現(xiàn)對微粒的俘獲和限制[1-6],而Fk則可實(shí)現(xiàn)對微粒的正向或反向傳輸[9-11]。梯度力、散射力和吸收力概念的提出,是光俘獲領(lǐng)域的基石,對于指導(dǎo)和理解物理至關(guān)重要。例如我們的一項(xiàng)工作通過對散射力的分析證實(shí)(由于光束選擇的特殊性,使得在研究方向上不存在梯度力),僅依靠散射力就可以實(shí)現(xiàn)對微粒的逆光傳輸[9],即微粒朝向光源運(yùn)動,而在我們的結(jié)論之前,普遍認(rèn)為散射力只能推動微粒遠(yuǎn)離光源。

所以對保守力和非保守力獨(dú)立地研究分析就變得很重要,但是通常我們只能通過選擇光束來排除其中一種力的影響。如果保守力和非保守力同時(shí)存在,我們就很難進(jìn)行獨(dú)立分析。采用理論方法分離保守力和非保守力,并分別對這兩類力進(jìn)行獨(dú)立分析,對研究光操控有重要的意義,但是這方面的研究卻比較滯后。對于Rayleigh粒子(小粒子,ka?1, 其中k代表波數(shù),a代表粒子的半徑)[3]和幾何光學(xué)粒子(ka?1)[21],研究者已經(jīng)成功地把光力分成梯度力、散射力和吸收力,但對于實(shí)驗(yàn)中普遍使用的Mie粒子的受力分離卻很困難。直到近兩年,才有研究者成功在Mie范圍內(nèi)把光力數(shù)值以及解析地分成梯度力、散射力和吸收力[16],這在光鑷技術(shù)中有重要的意義。

通過分別對影響這兩種力的因素進(jìn)行深入研究,可以實(shí)現(xiàn)對微粒更加準(zhǔn)確、靈活地操控。材料的介電常數(shù)是描述電場和物質(zhì)粒子相互作用、反映介質(zhì)內(nèi)部電極化行為的一個(gè)很重要的宏觀物理量。介電常數(shù)性質(zhì)很豐富,如色散特性、張量特性,會受如頻率、溫度、濕度、介質(zhì)構(gòu)造[22]等多種因素的影響。本文基于新近發(fā)表的采用快速傅里葉變換(FFT)將總力分離成保守力和非保守力的研究成果基礎(chǔ)上,率先研究了介電常數(shù)虛部(εi,與能量在材料中的損耗有關(guān))對施加在介質(zhì)以及金屬材料Mie粒子上的z方向保守力和非保守力的影響。我們還將從保守力和非保守力各自的多極展開解析表達(dá)式出發(fā),解析分析保守力和非保守力隨材料介電常數(shù)虛部變化的物理意義。從而實(shí)現(xiàn)利用這兩種力的不同性質(zhì)分別加以運(yùn)用,以實(shí)現(xiàn)對微粒更加精準(zhǔn)、自由地操控。

1 基本原理

作用在微粒上時(shí)間平均的電磁力可以通過對麥克斯韋應(yīng)力張量在微粒表面的積分[7,9,13-14]來得到:

〈F〉=Sn·〈T〉dσ,

(1)

其中n和dσ分別表示垂直于表面向外的單位矢量以及微粒表面s上的面元,時(shí)間平均的麥克斯韋應(yīng)力張量

(2)

其中ε0(μ0)是背景媒介中的介電常數(shù)(磁導(dǎo)率),Re表示實(shí)部,上標(biāo)*表示復(fù)共軛。(2)式中的電磁場是總場,即入射場Ei(Hi)和散射場Es(Hs)的和

E=Es+Ei,H=Hs+Hi.

(3)

(1) 式中的積分是在微粒表面進(jìn)行,但是當(dāng)背景媒介是無損耗的,也就是說具有實(shí)數(shù)的ε0和μ0時(shí),電磁動量守恒,積分可以在任意包含微粒的表面進(jìn)行,通常選擇在無窮遠(yuǎn)處Rs→∞進(jìn)行積分,

〈F〉=S∞n·〈T〉dσ.

(4)

光俘獲通常需要經(jīng)過高數(shù)值孔徑物鏡強(qiáng)聚焦后的光束來實(shí)現(xiàn)。我們采用了準(zhǔn)確的矢量徳拜積分來描述入射光束:首先使用幾何光學(xué)處理入射光束通過高數(shù)值孔徑物鏡的情況,然后利用角譜表示[7,9,13-14]描述焦點(diǎn)附近的場。聚焦過程采用幾何光學(xué)描述是合理的,因?yàn)槲镧R有宏觀尺寸,遠(yuǎn)大于波長,用這種方法產(chǎn)生的誤差很小。而采用擴(kuò)展的Mie理論[7,9,13-14]則可以對公式(3)中的散射場做準(zhǔn)確的計(jì)算。

將2016年1月-2017年10月90例老年腹腔鏡全麻手術(shù)患者隨機(jī)數(shù)字表法分組。觀察組ASAI級21例,II級24例。男23例,女22例;年齡61-79歲,平均(67.67±2.13)歲。對照組ASAI級22例,II級23例。男24例,女21例;年齡61-78歲,平均(67.76±2.24)歲。

對光力(4)中保守力Fg(梯度力)和非保守力Fk(散射力和吸收力)的分離則采用了文獻(xiàn)[16]中的方法,使用了快速傅里葉變換(FFT):

(5)

FFT的優(yōu)勢是可以極大地增加計(jì)算速度,而公式(2)對于處理快速衰減的場以及周期場是非常有效的。根據(jù)FFT的特點(diǎn),具體計(jì)算時(shí)要考慮FFT計(jì)算范圍、計(jì)算步數(shù)對程序準(zhǔn)確度的影響。通常講,計(jì)算步數(shù)越多,計(jì)算范圍越大,計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確,但代價(jià)是計(jì)算時(shí)間會急劇增長,所以根據(jù)本文選擇的入射波長、背景以及微粒性質(zhì)等參數(shù),本文選擇的計(jì)算范圍是[-9 μm,9 μm],計(jì)算步數(shù)256,可以保證收斂性(邊緣力比中心力小至少3個(gè)量級),即數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性。

在對Mie粒子所受保守力非保守力解析分離(基于多極展開理論[9])方面,我們采用了文獻(xiàn)[16]中的表達(dá)式:

(6)

p=αEi=(i6πε0a1/k3)Ei,

m=βBi=(i6πb1/k3μ0)Bi,

Qe=γ(Ei+)=(i20πε0a2/k5)(Ei+),

Qm=η(Bi+)=(i20πb2/k5μ0)(Bi+),

Ωe=ζsym(Ei)=(i35πε0a3/2k7)sym(Ei) ,

(7)

(8)

依賴于公式(5)及Mie理論的數(shù)值程序可以對任意大小的微粒受力(總光力、保守力及非保守力)做出準(zhǔn)確計(jì)算,發(fā)現(xiàn)光學(xué)現(xiàn)象,而基于公式(6)的解析表達(dá)式則有助于分析發(fā)生這種現(xiàn)象的原因以及背后的物理。本文的結(jié)果就是在結(jié)合數(shù)值計(jì)算與解析分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

2 數(shù)值結(jié)果與解析分析

在本文中,微粒所在背景為水(nm=1.33),入射光為沿z方向傳播的x方向線偏振高斯光束,波長λ=1.064/1.33(μm)=0.8(μm),功率0.1瓦。微粒半徑a=0.1 μm,介電常數(shù)εp=εr+I×εi,εr是微粒介電常數(shù)εp的實(shí)部,與材料對能量的存儲能力有關(guān),而εi是微粒介電常數(shù)εp的虛部,與能量在材料中的損耗有關(guān)。本文采用的介質(zhì)微粒的εr=2.53,金屬微粒的εr=-5,εi的取值范圍為[0,20]。

Fig.1 z component of conservative and non-conservative forces versus z are shown for dielectric sphere (εr=2.53) with different εi. Numerical results for conservative and non-conservative forces are represented by Fgz-num.(denoted by solid blue lines) and Fkz-num. (denoted by solid red lines), and analytical results for them are shown by Fgz-ana. (denoted by blue crosses) and Fkz-ana. (denoted by red crosses).Fgz-num.(藍(lán)色實(shí)線)表示采用數(shù)值方法得到的z方向保守力,Fkz-num.(紅色實(shí)線)表示采用數(shù)值方法得到的z方向非保守力,Fgz-ana.(藍(lán)色叉線)表示采用解析方法得到的z方向保守力,Fkz-ana.(紅色叉線)表示采用解析方法得到的z方向非保守力。圖1 對應(yīng)不同介電常數(shù)虛部εi,介質(zhì)材料微粒(εr=2.53)所受z方向保守力、非保守力在z軸上的分布曲線

對應(yīng)不同介電常數(shù)虛部εi,介質(zhì)微粒(εr=2.53)所受z分量保守力及非保守力在z軸上的分布曲線如圖1所示。實(shí)線代表數(shù)值結(jié)果,采用了FFT方法即公式(5),通過Fortran程序計(jì)算得到。作為對比,叉線代表解析結(jié)果,采用的是多極展開方法(保留至電四極矩),即公式(6)。結(jié)果顯示,解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果可以很好地保持一致。另外,非保守力z分量Fkz的最大值總是出現(xiàn)在z=0的位置,而保守力z分量Fgz的最大值則總是出現(xiàn)在z=0的兩邊。這是因?yàn)閷τ谌肷涔飧咚构馐?光強(qiáng)最大處在z=0位置,當(dāng)微粒放在此處時(shí),由于在此處感受到的光強(qiáng)最大,所以對光的散射也是在此處最強(qiáng),故而非保守力在z=0處最大。但是因?yàn)閦=0處場強(qiáng)梯度為0,最小,所以正比于場強(qiáng)梯度的保守力(本文所考慮微粒半徑a=0.1μm較小,偶極力貢獻(xiàn)主要作用,故可用公式(6)中Fg第一項(xiàng)來分析)在此處反而最小為0,最大值出現(xiàn)在z=0兩邊場強(qiáng)梯度大的位置,而具體位置則還與微粒大小、材料等性質(zhì)有關(guān)。當(dāng)微粒遠(yuǎn)離z=0時(shí),由于高斯光束場強(qiáng)迅速衰減,所以微粒對光的散射減弱,所以非保守力Fkz也迅速衰減,而由于保守力是短程力,所以Fgz也迅速衰減,甚至在εi增大時(shí),Fgz比Fkz衰減得更快(εi的增大更有利于非保守力,因?yàn)樯⑸湓鰪?qiáng))。

作為對比,本文也計(jì)算了相同情況下的金屬球(εr=-5)情況,如圖2所示。對于金屬情況,數(shù)值計(jì)算和解析結(jié)果也可以很好地保持一致。與介質(zhì)球受力類似,非保守力Fkz的最大值總是出現(xiàn)在z=0的位置,而保守力Fgz的最大值則總是出現(xiàn)在z=0的兩邊,并且Fkz和Fgz均在微粒遠(yuǎn)離場強(qiáng)最大處時(shí)迅速衰減,且Fgz比Fkz衰減得更快(因金屬比介質(zhì)反射更強(qiáng)烈)。

對比圖1-2中介質(zhì)球和金屬球所受非保守力就會發(fā)現(xiàn),對于本文所研究的微粒及入射光參數(shù)情況下,不論εi如何變化,非保守力均大于等于0。這是因?yàn)楸疚乃捎玫奈⒘?a=0.1 μm)尺寸較小,且在入射光沒有偏振,微粒不帶手性等情況下,散射力方向主要由能流方向決定,而入射光沿z軸正向傳播,能流正向,所以非保守力Fkz>0。也可以通過對公式(6)中Fk的前三項(xiàng)分析得到。圖3-4中的三條符號線分別對應(yīng)介質(zhì)球和金屬球Fkz解析表達(dá)式的前三項(xiàng)。因?yàn)槲⒘］^小,所以第一項(xiàng)Fkz1起主要作用,而這一項(xiàng)恒為正,所以Fkz恒為正。

Fig.2 Lines represent the same as those of Fig.1,except that the particle is made of metal (εr=-5).圖2 四類線型表示含義與圖1分別相同,差異僅為微粒材料為金屬材料 (εr=-5)。

Fig.3 z component of the first three terms in Fk in Eq. (6) versus z are shown for dielectric sphere (εr=2.53) with different εi. The first three terms of the analytical expression of non-conservative forces are denoted by the black, red, blue symbol lines, respectively.圖3 對應(yīng)不同介電常數(shù)虛部εi,介質(zhì)材料微粒(εr=2.53)所受z方向非保守力的多極展開解析表達(dá)式的前三項(xiàng)在z軸上的分布曲線。黑、紅、藍(lán)三色符號線分別對應(yīng)公式(6)中Fk的前三項(xiàng)。

Fig.4 Lines represent the same as those of Fig. 3,except that the particle is made of metal (εr=-5).圖4 三類線型表示的非保守力含義與圖3分別相同,差異僅為微粒材料為金屬材料(εr=-5)。

Fig.5 z component of the first four terms in Fg in Eq. (6) versus z are shown for dielectric sphere (εr=2.53) with different εi. The first four terms of the analytical expression of conservative forces are denoted by the black, red, blue, green symbol lines, respectively.黑、紅、藍(lán)、綠四色符號線分別對應(yīng)公式(6)中Fg的前四項(xiàng)。圖5 對應(yīng)不同介電常數(shù)虛部εi,介質(zhì)材料微粒(εr=2.53)所受z方向保守力的多極展開解析表達(dá)式的前四項(xiàng)在z軸上的分布曲線

Fig.6 Lines represent the same as those of Fig. 5,except that the particle is made of metal (εr=-5).圖6 四類線型表示的保守力含義與圖5分別相同,差異僅為微粒材料為金屬材料(εr=-5)。

Fig.7 First three orders of the real and imaginary parts of the polarizabilities versus εi are shown in (a)-(d) for dielectric sphere (εr=2.53) and (e)-(h) for metallic sphere (εr=-5).The real and imaginary parts of the electric-dipole polarizability are denoted by the red and blue lines, respectively, and the green and black lines represent the real parts of the magnetic-dipole and electric-quadrupole polarizabilities, individually.(a)-(d)及(e)-(h)分別對應(yīng)介質(zhì)(εr=2.53)及金屬(εr=-5)球。紅色實(shí)線表示電偶極化率實(shí)部,藍(lán)色實(shí)線表示電偶極化率虛部,綠色實(shí)線表示磁偶極化率實(shí)部,黑色實(shí)線表示電四極化率實(shí)部。圖7 低階極化率的實(shí)部或虛部隨εi的變化曲線

Fig.8 Maximum values of z-component conservative (z<0) and non-conservative forces (z=0) on z-axis versus εi are shown in (a)-(b) for dielectric particle (εr=2.53) and in (c)-(d) for metallic sphere (εr=-5).圖8 (a)-(b)介質(zhì)球(εr=2.53)所受保守力(z<0處)及非保守力(z=0處)z分量在z軸上的最大值隨εi的變化曲線。(c)-(d)金屬球(εr=-5)所受保守力(z<0處)及非保守力(z=0處)z分量在z軸上的最大值隨εi的變化曲線

以上計(jì)算是在固定波長,固定介電常數(shù)實(shí)部,只改變介電常數(shù)虛部情況下進(jìn)行的,只是為了簡化問題來研究介電常數(shù)虛部對保守力和非保守力的影響,證明文中所述現(xiàn)象的存在。事實(shí)上,總能采用不同材料來對應(yīng)現(xiàn)象所需要的虛部,甚至材料制造過程、環(huán)境因素等也會造成吸收性質(zhì)的不同,介電常數(shù)虛部也會有體現(xiàn)。介電常數(shù)實(shí)部也會對保守力和非保守產(chǎn)生影響,如果同時(shí)考慮力隨不同材料介電常數(shù)實(shí)部和虛部的變化情況,會增加理解問題的復(fù)雜程度。圖9顯示,即使在一定范圍改變介質(zhì)和金屬微粒的介電常數(shù)實(shí)部,保守力和非保守力隨介電常數(shù)虛部的變化趨勢也可保持定性相同(與圖7極化率相類比)。這從某種程度上也可說明文中計(jì)算取值的合理性。

Fig.9 First three orders of the real and imaginary parts of the polarizabilities versus εi are shown in (a)-(d) for dielectric sphere (εr=3.24) and (e)-(h) for metallic sphere (εr=-6). The real and imaginary parts of the electric-dipole polarizability are denoted by the red and blue lines, respectively, and the green and black lines represent the real parts of the magnetic-dipole and electric-quadrupole polarizabilities,individually.(a)-(d)及(e)-(h)分別對應(yīng)介質(zhì)(εr=3.24)及金屬(εr=-6)球。紅色實(shí)線表示電偶極化率實(shí)部,藍(lán)色實(shí)線表示電偶極化率虛部,綠色實(shí)線表示磁偶極化率實(shí)部,黑色實(shí)線表示電四極化率實(shí)部圖9 低階極化率的實(shí)部或虛部隨εi的變化曲線

3 結(jié)論

由于Mie粒子的尺度是實(shí)驗(yàn)中常用粒子的尺度,具有實(shí)際的研究價(jià)值,而作用在其上的保守力和非保守力性質(zhì)、作用均不同,所以采用理論方法在Mie范圍將保守力和非保守力從總光力中分離,從而分類研究,就在光鑷技術(shù)中具有重要的意義[16]。我們基于文獻(xiàn)[16]的最新研究成果,率先研究了描述光場與微粒相互作用的重要物理量——介電常數(shù)虛部對施加在介質(zhì)及金屬M(fèi)ie粒子上的保守力和非保守力的影響。從而實(shí)現(xiàn)對保守力和非保守力更加自由地應(yīng)用,以達(dá)到對微粒更精準(zhǔn)地操控。本文的計(jì)算結(jié)果表明數(shù)值模擬和解析分析可以很好地保持一致。Fkz的最大值總是出現(xiàn)在z=0的位置,而Fgz的最大值則總是出現(xiàn)在z=0的兩邊,并且Fkz和Fgz均在微粒遠(yuǎn)離場強(qiáng)最大處時(shí)迅速衰減。在本文所研究參數(shù)情況下,介質(zhì)球和金屬球所受非保守力均大于等于0,但它們所受保守力變化趨勢卻不相同,主要體現(xiàn)在金屬球的Fgz隨著εi的增大出現(xiàn)了正負(fù)區(qū)域變化的現(xiàn)象。介質(zhì)球和金屬球受到的Fgz和Fkz在z軸上的最大值隨εi的變化趨勢也不同。究其根本,這些不同來源于介質(zhì)材料和金屬材料性質(zhì)的不同,εi的變化會導(dǎo)致極化率實(shí)部和虛部對于介質(zhì)和金屬不同的變化趨勢,從而導(dǎo)致了施加在兩種材料粒子上的保守力和非保守力的不同。本文計(jì)算的微粒半徑較小,不能完全反映較大Mie粒子受力與介電常數(shù)虛部的變化關(guān)系,對于較大微粒的受力情況,需要充分考慮多極相互作用的影響。從圖3-6中也可看出,如果微粒足夠大,公式(6)中多極展開的高階項(xiàng)會起作用,甚至超過第一項(xiàng)的影響,從而產(chǎn)生更加豐富的物理現(xiàn)象。

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InfluenceoftheImaginaryPartofPermittivitytotheConservativeandNon-conservativeForcesExertedonMieParticles

LI Kaikai,CHEN Jun*

(InstituteofTheoreticalPhysics,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

Based on fast Fourier transform, Mie theory and multipole expansion, this paper numerically and analytically investigate the influence of the imaginary part of permittivity, which is an important quantity for optical force, to the z-component conservative and non-conservative forces exerted on dielectric or metallic Mie particles.The analytical results can match numerical simulations very well for both dielectric and metallic material particles. The maximum values of the z-component non-conservative forces always lie on the position of the maximum electro-magnetic fields, while those of the conservative forces always lie on both sides of the maximum fields, and the two forces both diminish quickly when the particle runs away from the maximum fields. The specific change trends of the conservative and non-conservative force for dielectric and metallic particles are different.The analysis shows the different variation of the conservative and non-conservative force with the imaginary part of permittivity root in the different influence of the various properties of materials to the polarizabilities and the two different kinds of forces. The investigation of conservative and non-conservative forces favors more accurate and freely manipulation on micro-particles.

optical force;conservative force;non-conservative force;imaginary part of permittivity;Mie particle

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.04.017

2016-11-15；

2016-12-25

國家自然科學(xué)基金(11404201；11674204)；山西省科技廳基金(2014011008-1)

李凱凱(1989-), 女,山西文水人,碩士研究生，研究方向:光學(xué)微操控。

*通信作者：陳君(CHEN Jun),E-mail: chenjun@sxu.edu.cn.

O442

A

0253-2395(2017)04-0771-10