常數(shù)變易法的教學(xué)探討

徐術(shù)偉，裴麗敏

（1.嘉興學(xué)院 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 嘉興 314001；2.嘉興技師學(xué)院 商貿(mào)旅游系，浙江 嘉興 314033）

常數(shù)變易法的教學(xué)探討

徐術(shù)偉1，裴麗敏2

（1.嘉興學(xué)院 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 嘉興 314001；2.嘉興技師學(xué)院 商貿(mào)旅游系，浙江 嘉興 314033）

本文主要探索如何通過一階線性常微分方程和二階線性常微分方程的通解中任意常數(shù)，讓學(xué)生深刻理解常數(shù)變易法，并且討論常數(shù)變易法和積分因子法之間的聯(lián)系，從而加深對(duì)常數(shù)變易法的理解、掌握和運(yùn)用.

常數(shù)變易法；微分方程；通解；積分因子法

數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生思考問題的方式和思維過程，這樣才可以讓學(xué)生真正了解和掌握解決問題的辦法.在《高等數(shù)學(xué)》和《常微分方程》的教學(xué)中，常數(shù)變易法是一種非常有效并且具有創(chuàng)造性的求解方程的辦法.但是教材對(duì)常數(shù)變易法并沒有進(jìn)行深入探討，對(duì)其原理缺少詳細(xì)說明，學(xué)生往往只看到表面問題，不能深刻理解其本質(zhì).我們主要通過一階線性常微分方程和二階線性常微分方程的通解中任意常數(shù)C來讓學(xué)生深刻理解常數(shù)變易法的本質(zhì)，并且討論常數(shù)變易法和積分因子法之間的聯(lián)系，從而加深對(duì)常數(shù)變易法的理解、掌握和運(yùn)用.

1 一階線性常微分方程的常數(shù)變易法

形如y'+p(x)y=q(x)的方程稱為一階線性常微分方程，式中p(x)、q(x)為已知函數(shù).若q(x)=0；稱此方程為一階線性齊次微分方程.若q(x)≠0；稱此方程為一階線性非齊次微分方程.下面我們通過一階線性常微分方程的求解來介紹常數(shù)變易法[1-3].

通過分離變量法可以得到其通解為:

將上式兩端進(jìn)行積分，可以得到下面式子：

由于y是x的未知函數(shù)，不妨記

代入式子（6）得

其中φ(x)為待定函數(shù)，記

則式（8）可寫為

其中C(x)為待定函數(shù).

將上述求解過程進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)方程（4）的通解（10）中，關(guān)于待定函數(shù)C(x)占據(jù)了通解（3）中C的位置.這樣也就很好解釋了為什么稱此方法為常數(shù)變易法，即非齊次線性方程（4）與它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（1）的通解之間的聯(lián)系與區(qū)別之處.另外，我們?cè)谥v授此過程時(shí)，應(yīng)當(dāng)先從利用分離變量法求解一階線性齊次常微分方程的解開始，然后繼續(xù)考慮一階線性非齊次常微分方程的解.但是在講授一階線性非齊次常微分方程的求解時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意不應(yīng)該直接把一階線性齊次常微分方程的通解（3）中變?yōu)镃(x)，而是讓學(xué)生體會(huì)繼續(xù)沿著求解一階線性齊次常微分方程的思路，可以給出一階線性非齊次常微分方程的形式通解（10）.一般來說，方程（4）左端的和式不是一個(gè)完全微分式.但我們知道，并非任何含有y'和y一次二項(xiàng)式都不是全微分式.此形式通解（10）剛好是此特殊情況.其實(shí)后面從一階線性非齊次微分方程出發(fā)，利用積分因子方法，給出形式通解（10），可以啟發(fā)學(xué)生思維，是一種很容易接受并且具有一些創(chuàng)造力的辦法.

2 二階線性常微分方程的常數(shù)變易法

y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)稱為二階非齊次線性微分方程，y"+p(x)y'+q(x)y=0稱為y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)對(duì)應(yīng)的二階線性齊次微分方程，其中p(x),q(x),f(x)都是關(guān)于x的已知連續(xù)函數(shù).

下面考慮二階線性常微分方程[1-3][5]

的通解結(jié)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程為

首先設(shè)方程（14）的通解為y=c1y1+c2y2，其中c1,c2為任意常數(shù)，且y1,y2是線性無(wú)關(guān).所以利用線性微分方程的基本理論只要得到方程（15）的一個(gè)特解，就可以了.接下來，考慮利用常數(shù)變易法，不妨設(shè)其解具有以下形式：

把y(x)=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)代入方程（14），可得如下方程組：

由于y1(x),y2(x)線性無(wú)關(guān)，其系數(shù)行列式

解得：

則方程（14）的通解：

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，對(duì)二階線性常系數(shù)方程的常數(shù)變易法，會(huì)感覺到為什么可以設(shè)其通解為式（16），并且添加補(bǔ)充條件（17）后其還是非齊次方程（14）的通解.首先我們?cè)谥v授時(shí)，應(yīng)當(dāng)回答學(xué)生根據(jù)前面一階線性常微分方程的常數(shù)變易法的學(xué)習(xí)，可以知道二階非齊次線性常微分方程具有（16）的形式通解.并且補(bǔ)充條件只是方便于后面的求解，至于其仍然為二階非齊次線性常微分方程（14）的通解，這主要是基于線性微分方程的基本理論所決定的.由于為任意常數(shù)，并且y1,y2是齊次方程（15）線性無(wú)關(guān)解.另外，當(dāng)時(shí)，則知式子（22）中的y依然為方程（14）的解，即y是y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一個(gè)特解，所以y=c1y1+c2y2+y3是y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解.其實(shí)這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用，可以很好地啟發(fā)學(xué)生思維.雖然常數(shù)變易法很簡(jiǎn)單，但是它給出了一些超出你想象的結(jié)果.不過，隨著你的知識(shí)和理解問題能力的提高，這些想象不到的問題，也就變成了自然，同時(shí)你也就得到了很好的鍛煉和提高.

其實(shí)對(duì)于二階非齊次線性常微分方程的求解還有積分因子法[1-4]，這種積分因子的辦法是基于前面學(xué)習(xí)的一階線性常微分方程的結(jié)果.這個(gè)結(jié)果也可以很好地讓學(xué)生理解為什么可以把二階非齊次線性常微分方程（14）的通解寫成式子（16）.

通過上面一階和二階線性常微分方程的常數(shù)變易法的學(xué)習(xí)，學(xué)生就可以很好地體會(huì)其基本含義，并且這種方法可以推廣到高階線性常微分方程，也對(duì)于偏微分方程的求解具有一定借鑒意義.

〔1〕王高雄，周之銘，朱思銘，王濤松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1983.

〔2〕丁同仁.常微分方程定性方法的應(yīng)用[M].北京:北京大學(xué)出版社,1987.

〔3〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.高等數(shù)學(xué)[M]北京：高等教育出版社，2003.

〔4〕李姝菲，趙明.二階線性微分方程解的討論[J].吉林師范學(xué)院學(xué)報(bào),1998(19):21-24.

〔5〕王奕挺,胡良根,張曉敏.常數(shù)變易法的探究式教學(xué)研究[J].高等數(shù)學(xué)研究,2015(18):7-9.

O175.1

A

1673-260X（2017）12-0007-02

2017-09-19

嘉興學(xué)院科研啟動(dòng)項(xiàng)目（70515020）