焦點(diǎn)三角形中有t結(jié)論的研究及應(yīng)用

江蘇省泗洪中學(xué) 孫于閔

焦點(diǎn)三角形中有t結(jié)論的研究及應(yīng)用

江蘇省泗洪中學(xué) 孫于閔

一、焦點(diǎn)三角形中的有關(guān)結(jié)論的探究

1.焦點(diǎn)三角形的面積公式。設(shè)P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2為其焦點(diǎn),記∠F1P F2=θ,則 S△PF1F2=c|yP|=b2t a n。當(dāng)P點(diǎn)位于短軸頂點(diǎn)處時(shí),θ最大,此時(shí)S△PF1F2也最大,為b c。設(shè)P是雙曲線上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2為其焦點(diǎn),記∠F1P F2=θ,則S△PF1F2=c|yP|=。

3.通徑。過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑,對(duì)于橢圓或雙曲線來(lái)說(shuō),其長(zhǎng)度都為2p-,利用方程可探究出其結(jié)果。

二、焦點(diǎn)三角形中有關(guān)結(jié)論的應(yīng)用

反思:共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的交點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題,如何溝通兩個(gè)離心率倒數(shù)之和的關(guān)系,解法1采用定義、余弦定理和題設(shè)條件,這是面積公式推導(dǎo)中的通法;解法2利用兩個(gè)焦點(diǎn)三角形面積公式,使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在焦點(diǎn)三角形中,利用正弦定理、余弦定理及橢圓或雙曲線的第一定義進(jìn)行解題,行之有效。

解法1:在△F1P F2中,令∠F1F2P=α,∠P F1F2=β,且α+β=6 0°,由正弦定理得=|=。

反思:解法1借助正弦定理及三角函數(shù)的有界性來(lái)構(gòu)建關(guān)于a,c的不等式。解法2借助余弦定理及均值不等式來(lái)解決。它們有一個(gè)共同特點(diǎn)就是利用橢圓的第一定義充分挖掘焦點(diǎn)三角形的潛在條件。

(責(zé)任編輯 王福華)