隨機利率下標的資產(chǎn)價格波動率服從有限馬爾可夫鏈的歐式看漲期權定價*

王劍君

(湖南工程學院 理學院，湘潭 411104)

隨機利率下標的資產(chǎn)價格波動率服從有限馬爾可夫鏈的歐式看漲期權定價*

王劍君

(湖南工程學院 理學院，湘潭 411104)

設利率隨機，股價波動率為馬爾可夫過程，在綜合考慮利率和股價模型的基礎上，推導了隨機利率和隨機波動率下歐式看漲期權的定價公式.

隨機利率；隨機波動率；馬爾可夫鏈；歐式看漲期權

0 引言

眾所周知，在幾何布朗運動中，利率和波動率均為常數(shù)，Robert C.Merton、Myron S.Scholes、Fischer Black推導的歐式看漲期權的定價方法(即B-S模型)在經(jīng)濟學界引起了轟動，Merton和Scholes由于他們所做的巨大貢獻獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎這一殊榮.

但B-S模型與實際情況并不完全符合，為改進B-S模型，學者們提出了很多種方法：如引入隨機利率、引入隨機波動率，引入隨機跳，還有將布朗運動用分數(shù)布朗運動來代替以及假定期權具有隨機壽命等等.本文結(jié)合了前兩種方法，推導了隨機利率和隨機波動率下的歐式看漲期權的定價公式.

1 隨機利率模型

設借貸利率不是常數(shù)，而是隨機的，考查模型(Ⅰ):

為簡單起見，假定市場只有兩種證券，一種是無風險證券即債券，其價格滿足

dB(t,T)=B(t,T)[r(t)dt

(1)

另一種是風險證券即股票，作為標的資產(chǎn)，其價格滿足

dS(t)=S(t)[(μ(t)-q(t))dt

(2)

文獻[1]將模型(Ⅰ)轉(zhuǎn)化為模型(Ⅱ):

dB(t,T)=B(t,T)[r(t)dt

(3)

dS(t)=S(t)[(μ(t)-q(t))dt

(4)

dV(t)=α(t)dS(t)+β(t)dB(t,T)+q(t)α(t)S(t)dt

(5)

則稱此交易策略α(t),β(t)為自融資交易策略.

在文獻[1]中，令

(6)

(7)

θ(t)=

若定義Q,使得

則可證明以下引理.

引理 歐式未定權益V(t)=g(S(T))在t時刻的無套利價格為

V(t)=B(t,T)EQ[g((S(T))Ft]

2 隨機波動率模型

如果股價波動率不是常數(shù)，而是隨機的，服從時齊次馬爾可夫鏈.將過去某一時刻到現(xiàn)在的一個時間段作為考查的樣本期，均分該樣本期，分析每一時間區(qū)間中每天的股價和收益率從而推導出每一時間區(qū)間的股價波動率為σi(i=1,2,3…,m),得到這個馬爾可夫鏈的m個不同的狀態(tài)，進一步可得前一個時間區(qū)間股價波動率為σi，而后一個時間區(qū)間變?yōu)棣襧的概率pij(Δt)(i,j=1,2,…,m),那么一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

設到期日T=nΔt,根據(jù)Chapman-Kolmogorov方程求得pij(nΔt)=p(σ(t+nΔt)=σjσ(t)=σi),由全概率公式可得

記P(t)=(p1(t),p2(t),…,pm(t))，pi(t)為t時刻股價波動率為σi(i=1,2,…m)的概率，根據(jù)全概率公式可以計算出T時刻股價波動率的預測模型為：

3 隨機利率下標的資產(chǎn)價格波動率服從有限馬爾可夫鏈的期權定價

3.1 隨機利率下歐式看漲期權的定價

設利率滿足方程(1)，敲定價格為K,由引理知T時刻的股票價格為：

從而

因此

設S(T)和lnS(T)的分布函數(shù)分別為FS(T)(x)和FlnS(T)(x)，則

FS(T)(x)=P(S(T)

兩邊同時對x求導得：

C(t)=B(t,T)EQ[g(S(T))Ft]=

B(t,T)EQ[max(S(T)-K,0)Ft]=

dS(T)=

B(t,T)I1-KB(t,T)I2

N(d2)

d2=

N即為N(0,1)的分布函數(shù)Φ(x)，F(xiàn)1為N(μ*,σ*2)的分布函數(shù).

其中F2為N(μ*+σ*2,σ*2)的分布函數(shù)；d1=d2+v(t,T)

因此隨機利率下歐式看漲期權在t時刻的價格為

3.2 隨機利率下標的資產(chǎn)價格波動率服從有限馬爾可夫鏈的歐式看漲期權定價

與3.1條件相同，若股價波動率在T時刻的概率分布為(p1,p2,…pm)，即T時刻S(T)的概率密度為fi(S(T))的概率為pi(i=1,2,…,m)，由于該馬爾可夫鏈與相應的布朗運動相互獨立，從而可得T時刻S(T)的概率密度為

故隨機利率下標的資產(chǎn)價格波動率服從有限馬爾可夫鏈的歐式看漲期權在t時刻的價格為

C(t)=B(t,T)EQ[g(S(T))Ft]=

B(t,T)EQ[max(S(T)-K,0)Ft]=

C(t,σi)為T時刻股票價格波動率為σi時歐式看漲期權在t時刻的價格.由3.1知

d2=

因此可以得出結(jié)論：隨機利率下標的資產(chǎn)價格波動率服從有限馬爾可夫鏈的歐式看漲期權價格，是以T時刻股價波動率為σi的歐式看漲期權在t時刻的價格C(t,σi)的加權和，其權重就是T時刻股價波動率為σi的概率pi.

[1] 薛 紅.在隨機利率情形下有紅利支付的股票未定權益定價[J].西北紡織工學院學報，1999(3)：271-276.

[2] 陳松男.金融工程學[M].復旦大學出版社，2002.

[3] 靳紹禮.標的資產(chǎn)價格波動率服從有限馬爾可夫鏈的期權定價[J].重慶商學院學報，2002(5)：54-55.

[4] Merton,R.C.Theory of Rational Option Pricing[J].Bell Journal of Economics,1973,4(1):141-183.

[5] Musiela,M.&M.Rutkowski,Martingale Methods in Financial Modeling[M].Springer,Berin Heidelberg New York,1997.

[6] 劉 薇.服從離散有限馬爾可夫鏈的期權定價模型探討[J].2011,27(131)：104-106.

[7] 劉文平，李 萍.利率服從馬爾可夫過程時的期權定價[J].華中師范大學學報，2004,38(2)：153-155.

PricingofEuropeanCallOptionUnderStochasticInterestRatesAssumingVolatilityofPriceofUnderlyingAssetsFollowsaFiniteMarkovChain

WANG Jian-jun

(College of Science, Hunan Institute of Engineerning, Xiangtan 411104, China)

Assuming that the interest rates is a stochastic process and the volatility of stock price follows a Markov process,this paper derives the pricing formulas of the European call option under the stochastic interest rates and stochastic volatility,considering comprehensively the interest rates and the models of stock price.

stochastic interest rates; stochastic volatility; markov chain; the european call option

2017-05-17

王劍君(1973-)，女，碩士，副教授，研究方向：隨機分析及其應用.

F830.9；O211.6

A

1671-119X(2017)04-0048-04