尺子上行走的螞蟻

文/林 革

尺子上行走的螞蟻

文/林 革

這是一道與螞蟻有關(guān)的令數(shù)學(xué)家興奮的妙題.

有100只螞蟻分布在一把l米長的尺子上，尺子不僅離開地面有相當(dāng)距離，而且尺子很窄，不能讓兩只螞蟻并排前進(jìn)或交叉通過.已知這些螞蟻都在尺子上或向左或向右沿直線爬行，始終保持每分鐘1米的爬行速度.比較奇特的是，任何兩只螞蟻只要碰頭，就會立刻掉頭向相反的方向爬行.當(dāng)然，這些個性固執(zhí)的螞蟻結(jié)局相同——爬到尺子的盡頭時一只只相繼掉落.現(xiàn)在的問題是：最多經(jīng)過多長時間，所有100只螞蟻都會從尺子的盡頭落下去？

可以確信的是，絕大多數(shù)人在解答之前，都預(yù)想螞蟻的現(xiàn)實場景：一般情形下，總會有許多相向而行的螞蟻，有的向左有的向右，碰頭就轉(zhuǎn)向，這樣一來，尺子上的情形就變得非常復(fù)雜.即使只有3只螞蟻，要計算出它們走多久才掉下去，似乎就不容易了，更不用說是100只.

只有一種極端情形例外，那就是所有螞蟻都朝一個方向前進(jìn)，因為它們的速度完全相同，皆為1米／分，就不會產(chǎn)生你追我趕的局面，那么這些螞蟻朝同一方向依次掉落的情況并不難解決.只要考慮落在最后的那只螞蟻，那怕它處在尺子的最末端，走到尺子的最前端也不過1米，那么最多經(jīng)過1分鐘，100只螞蟻都會從尺子的盡頭掉落.由此引發(fā)的理想情形是：如果螞蟻不都朝著一個方向前進(jìn)，但只要它們碰面后不掉頭，各自繼續(xù)前行，那么這些螞蟻就會從尺子的兩端紛紛掉落，最長的時間仍可用位于最左端或最右端的一只螞蟻來考慮，結(jié)果仍是最多1分鐘.

相信你會皺著眉頭感嘆：哪有這樣的好事啊!題目已經(jīng)交待得很清楚，螞蟻或左或右，而且尺子很窄，不能讓兩只螞蟻并排前進(jìn)或交叉通過.也難怪，當(dāng)一位非常聰明善于思考的天體物理學(xué)家面對這個問題時，本能的反應(yīng)就是需要立刻進(jìn)行一次超復(fù)雜的模擬，使自己能夠在數(shù)百萬種不同的場景中找到其中的規(guī)律.真的需要這么做嗎？回答是否定的，因為這位智者過高估計了這道螞蟻問題的難度.

事實上，我們只要把兩只螞蟻迎面相撞進(jìn)行合理的想象或轉(zhuǎn)化，問題就會變得極其簡單.想一想，當(dāng)兩只相向而行的螞蟻A、B碰面時立刻掉頭，并且速度始終保持不變，那么，你只要一眨眼再觀察時，一切都沒有發(fā)生改變，向左的螞蟻依然向左，向右的螞蟻仍舊向右，相遇似乎并沒有對它們產(chǎn)生任何影響.當(dāng)然，這是錯覺，因為真實的情況是你現(xiàn)在看到的螞蟻A已經(jīng)變成了螞蟻B，只是外觀和速度的一致性決定了螞蟻連續(xù)行進(jìn)的錯覺，但這種錯覺導(dǎo)致了一個顯而易見的合理事實：尺子上兩只螞蟻相遇掉頭與兩只螞蟻交叉通過的情形完全等同.

因此，尺子上的100只螞蟻，無論哪一只與另一只碰頭，都會進(jìn)行瞬間替換.不妨假設(shè)替換的時間忽略不計，所以就整體而言，每只螞蟻都在沿著自己原先的路線前進(jìn)，自然流暢不受任何阻礙，個個都直奔尺子的邊緣掉落.

如此一來，螞蟻問題就自然轉(zhuǎn)化為上面提到的理想模式，解答也變得清晰直觀.一只螞蟻需要走過的最長距離，顯然不會超過尺子的長度1米.因為螞蟻的行進(jìn)速度是1米／分，而且每只螞蟻都一條道走到黑，那么最多經(jīng)過1分鐘，100只螞蟻都會從尺子的盡頭掉落下去.

可以肯定，解答如此簡捷是許多人沒有想到的，可答案就是這么簡單.當(dāng)然這種簡單是建立在不拘泥于細(xì)節(jié)的全局審視的前提下，并充分反映出數(shù)學(xué)中的整體思維與轉(zhuǎn)化思維的應(yīng)用.這正是“螞蟻問題”的內(nèi)涵意義.

王二喜