解直角三角形的應用

文 /陳德前

解直角三角形的應用

文 /陳德前

解直角三角形的應用是中考命題的熱點素材.解決這類問題的基本思路是從具體情境中抽象出數(shù)學問題，建立數(shù)學模型并求出結果.下面以2017年中考題為例，對解直角三角形的題型進行歸類，供你學習時參考.

一、仰角與俯角問題

例1如圖1所示，一架水平飛行的無人機AB，在尾端點A測得正前方橋的左端點P的俯角為α，其中無人機的飛行高度AH為米，橋的長度為1255米．

（1）求點H到橋左端點P的距離；

（2）若在無人機前端點B測得橋的右端點Q的俯角為30°，求這架無人機的長度AB．

解：（1）在Rt△AHP中，

圖1

答：點H到橋左端點P的距離為250米.

（2）作BC⊥HQ于點C．在Rt△BCQ中，

∵PQ=1255米，∴CP=CQ-PQ=245米.

∵HP=250米，∴AB=HC=HP-PC=250-245=5（米）．

答：這架無人機的長度AB為5米．

方法歸納：這類問題通常涉及到多個仰角與俯角.要準確理解仰角、俯角的概念，在已知仰角與俯角的直角三角形中求出相關線段的長度，利用線段解決問題.

二、方位角問題

例2一艘漁船位于港口A北偏東60°方向，距離港口20海里的B處，它沿北偏西37°方向航行至C處突然出現(xiàn)故障，在C處等待救援.B，C之間的距離為10海里，救援艇從港口A出發(fā)20分鐘到達C處，求救援艇的航行速度.（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，，結果取整數(shù)）

圖2

解：如圖2所示，作BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF.

由題意可知，∠FAB=60°，∠CBE=37°，∴∠BAD=30°.

∵AB=20海里，∴BD=10海里.

在Rt△BCE中，CE=BC·sin37°≈0.6×10=6（海里），

EB=BC·cos37°≈0.8×10=8（海里）.

易知四邊形ADEF是矩形，

∴EF=AD=17.32海里，

∴FC=EF-CE=11.32（海里），AF=ED=EB+BD=18（海里）.

答：救援艇的航行速度是64海里/時．

方法歸納：添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.構造不同的直角三角形，解題過程有簡繁之分，注意從不同的解法中選取最佳解法.

三、坡度、坡角問題

例3為做好防汛工作，防汛指揮部決定對某水庫的水壩進行加高加固.專家提供的方案是：水壩加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1∶1（即DB∶EB=1∶1），如圖 3所 示，已知 AE=4米，∠EAC=130°.求水壩原來的高度BC．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）

圖3

解：設BC=x米.

在Rt△EBD中，∵i=DB∶EB=1∶1，∴BD=BE，

答：水壩原來的高度為12米．

方法歸納：將坡度、坡比轉化為線段的比，構造直角三角形求解.當關系比較復雜時，可設未知數(shù)，用未知數(shù)表示不同的量，列方程求解．

四、其他問題

例4圖4是太陽能熱水器裝置的示意圖，利用玻璃吸熱管可以把太陽能轉化為熱能，玻璃吸熱管與太陽光線垂直時，吸收太陽能的效果最好.假設某用戶要求根據(jù)本地區(qū)冬至正午時刻太陽光線與地面水平線的夾角（θ）確定玻璃吸熱管的傾斜角（太陽光線與玻璃吸熱管垂直），請完成以下計算：如圖5，AB⊥BC，垂足為點B，EA⊥AB，垂足為點A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，F(xiàn)G⊥DE，垂足為點G.

（1）若∠θ=37°50′，則AB的長約為_______cm；

（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的長．

（參考數(shù)據(jù)：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）

圖4

圖5

圖6

解：（1）如圖6，作EP⊥BC于點P，作DQ⊥EP于點Q，則CD=PQ=10，∠2+∠3=90°.

∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2，∴∠3=∠θ=37°50′，則EQ=DE·sin∠3=120×sin37°50′，

∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50′+10=83.2（cm）.

（2）如圖6，延長ED、BC交于點K，由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°.

方法歸納：將實物（或剖面圖）轉化為數(shù)學圖形求解.

王二喜