巧用幾何性質(zhì) 優(yōu)化向量計(jì)算

文︳譚祖榮

巧用幾何性質(zhì) 優(yōu)化向量計(jì)算

文︳譚祖榮

通常我們把平面向量的運(yùn)算分為幾何運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算（坐標(biāo)運(yùn)算），其難點(diǎn)在運(yùn)用幾何定理建立關(guān)系式。靈活應(yīng)用圖形的幾何特點(diǎn)與性質(zhì)往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

一、在三角形中靈活應(yīng)用“四線(xiàn)”“四心”

三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)以及重心、內(nèi)心、垂心、外心都有很優(yōu)美的幾何性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)，并用向量形式表達(dá)出來(lái)，是解題的好途徑。

1.已知△ABC中，點(diǎn)D在AB上，CD平分∠ACB。若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，則CD=（ ）。

A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心

解析：如圖，因?yàn)閨AB|sinB=|AC|sinC，設(shè)它們等于 t，所以O(shè)P=OA+λ·（AB+AC），而AB+AC=2AD ，則λ·（AB+AC）表示與AD的共線(xiàn)向量AP，而點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以P的軌跡通過(guò)△ABC的重心，故選A。

二、利用向量模的幾何意義構(gòu)建幾何圖形

向量模本身就是線(xiàn)段，富有幾何意義。利用模的幾何意義，可以構(gòu)建圖形，再利用幾何圖形的幾何性質(zhì)找到解題的思路。

1.已知平面向量α ，β（α ≠0，α ≠β）滿(mǎn)足 |β|=1，且α 與β-α 的夾角為 120°，則 |α |的取值范圍是 。

解析：設(shè)OA=α ，OB=β ，如圖，由題意得：∠OAB=60°，所以 0°＜∠OBA＜120°，所以0＜sin∠OBA≤1，在△OAB中，由正弦定理有：|OA|=即 |α |的取值范圍是

A.2 B. 3C. 2D.1

解析：如圖，設(shè)OA= ，OB= ，OC= ，則CA=- ，CB=- 。

所以O(shè)，A，C，B四點(diǎn)共圓。當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)||最大。在△AOB中，AB=，△AOB的外接圓半徑為R，由2R=，所以||的最大值為2。

以上幾個(gè)示例啟示我們：在向量的幾何運(yùn)算及與模有關(guān)的問(wèn)題中，通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸，靈活應(yīng)用圖形的幾何特點(diǎn)與性質(zhì)可讓問(wèn)題迎刃而解。

衡陽(yáng)市一中）