在限定條件下圓錐曲線的內(nèi)接梯形的作法

吳 波 鄧茂生

(1.重慶市長壽龍溪中學(xué) 401249；2. 重慶市長壽區(qū)國土局 401220)

文[1]對在限定條件下頂點(diǎn)均在雙曲線上的梯形作了探究，結(jié)果如下(表述與原文略有不同)：

命題1[1]如圖1，設(shè)A1是雙曲線C上給定的一點(diǎn)，M是雙曲線C外部且不在漸近線上的任一點(diǎn)，若直線A1M與雙曲線C的同一支交于另一點(diǎn)A2，則存在以A1為頂點(diǎn)的梯形A1A2A3A4，且其余三頂點(diǎn)均在雙曲線上，M為梯形兩腰所在直線的交點(diǎn)．

圖1

命題2[1]如圖1，設(shè)A1是雙曲線C上給定的一點(diǎn)，M′是雙曲線C外部且不在漸近線上的任一點(diǎn)，若直線A1M′與雙曲線C的另一支交于另一點(diǎn)A3，且M′不是A1A3的中點(diǎn)，則存在以A1為頂點(diǎn)的梯形A1A2A3A4，且其余三頂點(diǎn)均在雙曲線上，M′為梯形對角線的交點(diǎn)．

當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線內(nèi)部時，文[1]還有兩個類似結(jié)論，此處略．

在這之前，文[2]對橢圓和拋物線也證明了類似結(jié)論．

如圖1，如果將命題2中的“梯形A1A2A3A4”替換為“對邊A1A4∥A2A3的蝶形A1A3A2A4”(“蝶形”是指有一組對邊相交的四邊形)，那么命題1、2就可以得到統(tǒng)一．具體地說就是：兩個命題中的四邊形都是有一組對邊平行的四邊形，而M和M′都是相應(yīng)四邊形的不平行的那一組對邊所在直線的交點(diǎn)．

文[1]的解析法證明比較復(fù)雜，運(yùn)算量頗大．本文將給出在上述限定條件下圓錐曲線的有一組對邊平行的內(nèi)接四邊形(如前所述，包含梯形和有一組對邊平行的蝶形)的統(tǒng)一而簡單的作法．

注：本文中圓錐曲線的“內(nèi)接四邊形”意指頂點(diǎn)均在圓錐曲線上的四邊形，但并不一定要求四邊形的邊也在圓錐曲線內(nèi)部．

先將此作圖問題明確地表述如下：

求作圓錐曲線C的內(nèi)接四邊形A1A2A3A4，使A1A2、A3A4所在直線相交于點(diǎn)M，而邊A1A4∥A2A3．

注：與圓錐曲線的一對共軛直徑分別平行的兩個方向互為對方的共軛方向[3]．

先看在非退化的有心圓錐曲線情形下的作法．

作圖的關(guān)鍵在于：已知點(diǎn)O、M、A1，作出滿足上述條件的點(diǎn)A4．下面的作法簡單地解決了這個問題．

步驟1如圖2， 過O、M作直線l．

步驟2如圖2，作直線A1O交圓錐曲線C于點(diǎn)N，過N作直線k∥l交C于點(diǎn)A4．連接A1A4．

由對稱性易知：中心O平分A1N．再結(jié)合k∥l知：l平分A1A4，即直線l過A1A4的中點(diǎn)Q．

若直線k與圓錐曲線C相切，則A4與N重合．

步驟3如圖2，作直線MA1交圓錐曲線C于點(diǎn)A2，作直線MA4交C于點(diǎn)A3．連接A2A3．

如圖2，點(diǎn)M是邊A1A2和A3A4所在直線的交點(diǎn)．下面我們將證明：A1A4∥A2A3．

圖2

圖3

由作法知：直線l過點(diǎn)M、C的中心O、A1A4的中點(diǎn)Q．又A2A3′∥A1A4，而平行弦的中點(diǎn)連線必過中心O，因此A2A3′的中點(diǎn)必在直線OQ上，也即在直線l上．也就是說：A2A3′與直線l的交點(diǎn)是其中點(diǎn)，即點(diǎn)P是A2A3′的中點(diǎn)．這樣，A2A3′的中點(diǎn)P也在直線l上．

而由作法知：A3A4也過點(diǎn)M．因此A3′與A3重合．

而A2A3′∥A1A4，所以A2A3∥A1A4．

這表明：蝶形A1A2A3A4就是所要求作的四邊形．

而且作法本身就表明了這種四邊形存在且唯一．

當(dāng)點(diǎn)M在橢圓C外部時，如圖3，作出的四邊形是梯形．

當(dāng)圓錐曲線C為雙曲線時，由于雙曲線有兩支，所求作的四邊形的分類要復(fù)雜一些，文[1]中四個命題對應(yīng)的配圖只是分類中的一部分．需要注意的是：文[1]中命題2、3對應(yīng)圖中的點(diǎn)“A2”、“A3”的下標(biāo)要互換方與本文表述相符．

但前述作法和證明對上述諸種情形均適用．

在通常的歐氏平面上，拋物線是沒有中心的．但是在仿射平面上，據(jù)文[3]第六章“二次曲線的仿射理論和度量理論”：拋物線的中心就是它與無窮遠(yuǎn)直線的切點(diǎn)，也即是拋物線直徑的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)．在歐氏平面上，拋物線直徑就是與其對稱軸平行(或重合)的直線．則“知圓錐曲線C的中心O”這個條件可替換為“知拋物線C對稱軸的方向”，類似地可得如下作法：

圖4

圖5

步驟1如圖4，過點(diǎn)M作直線l平行于拋物線C的對稱軸x．

步驟2如圖4，作點(diǎn)A1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)N．過N作直線k∥x，交拋物線C于點(diǎn)A4．連接A1A4．

步驟3如圖4，作直線MA1交拋物線C于點(diǎn)A2，作直線MA4交拋物線C于點(diǎn)A3．連接A2A3．

四邊形A1A2A3A4就是所要求作的四邊形．證略．

如圖4，當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C內(nèi)部時，作出的四邊形是蝶形．

圖6

如圖6，當(dāng)點(diǎn)M在圓錐曲線C外且MA1與C相切時，A1與A2重合．而A2A3∥A1A4，則A3、A4也重合，四邊形A1A2A3A4被“壓成”了一條線段．但OM平分弦的結(jié)論仍成立，由此可得常見結(jié)論：

命題3一個點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的切點(diǎn)弦被過該點(diǎn)的直徑平分．

當(dāng)圓錐曲線為拋物線時，“過該點(diǎn)的直徑”意即“過該點(diǎn)且平行于其對稱軸的直線”．

如圖7(各字母含義同圖2)，當(dāng)圓錐曲線C退化為一對相交直線時作法仍成立．此時可以將其表述為如下平面幾何命題：

圖7

命題4如圖7，直線l1、l2相交于點(diǎn)O，A1、N在l1上且關(guān)于點(diǎn)O對稱．過點(diǎn)N作直線NA4∥OM且交直線l2于點(diǎn)A4，作直線MA1、MA4分別交l2、l1于點(diǎn)A2、A3，則A2A3∥A1A4．

命題4不必使用同一法就可直接證明．有興趣的讀者不妨一試．

當(dāng)圓錐曲線C退化為圓或者退化為一對平行線時，比較簡單，此處不再贅述．

最后說明一點(diǎn)：“知圓錐曲線C的中心O”這個條件是不必要的．因為圓錐曲線的平行弦的中點(diǎn)軌跡必過其中心，因此只需作出兩組平行弦的中點(diǎn)軌跡，那么其交點(diǎn)就是中心．但為表述方便，題目中保留了這個條件．