課本例題的理解與教學(xué)①

渠東劍

(南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心 南京市高中數(shù)學(xué)渠東劍工作室 210002)

課本，一定意義下是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，是教師教、學(xué)生學(xué)的最權(quán)威媒體，是教學(xué)研究、教學(xué)評(píng)價(jià)與各類考試命題的重要依據(jù).課本的編寫(xiě)，是眾多專家智慧的結(jié)晶，并經(jīng)過(guò)了教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn)，而不斷優(yōu)化與發(fā)展起來(lái)的.在教學(xué)實(shí)踐中，課本理應(yīng)得到高度重視.如果說(shuō)教學(xué)要“用教材教，而不是教教材”，那么首先要“用”課本，用好課本，而用好課本的前提是理解課本，尊重課本.

例題，是數(shù)學(xué)課本的重要組成部分；例題教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.按現(xiàn)代漢語(yǔ)詞曲，例，用來(lái)幫助說(shuō)明或證明某種情況或說(shuō)法的事物.數(shù)學(xué)課本例題，則是以題目(含解題過(guò)程)的形式，進(jìn)一步詮釋教學(xué)內(nèi)容、深化知識(shí)應(yīng)用與理解、突出分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程與方法、示范解題過(guò)程的書(shū)寫(xiě).課本例題具有基礎(chǔ)性、典型性與發(fā)展性：例題往往是初學(xué)知識(shí)的“第一次”應(yīng)用，是解決相關(guān)問(wèn)題的開(kāi)始，故一般難度不大，適宜學(xué)生學(xué)習(xí)；在寸土寸金的課本中，例題占有一席之地，其選擇一定是精挑細(xì)選的、典型的與必要的，隨后的練習(xí)題等大都有例題的影子，讓學(xué)生的解題從模仿開(kāi)始，一定意義下、一定程度地降低了客觀存在的學(xué)習(xí)難度；課本例題一般具有豐富的內(nèi)涵，因而具有發(fā)展性，例如，一些例題常被稱作“母題”，由此變式引申拓展，去解決一類問(wèn)題，幾乎每一套高考試卷，均有較大數(shù)量的題目來(lái)自課本例、習(xí)題的組合、改編，絕大多數(shù)題目都可以在課本例題中找到它的影子.所以，高度重視、深刻理解、認(rèn)真研究課本例題，并在實(shí)踐中努力教好課本例題，是數(shù)學(xué)教學(xué)的必然要求.重視課本必須重視課本例題，用課本教就要用好課本例題；重視課本例題就是重視課本，就是在“用課本教”.

然而，環(huán)顧當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，不重視課本、甚至遠(yuǎn)離課本已成為普遍現(xiàn)象.無(wú)論是新授課教學(xué)，還是高考復(fù)習(xí)教學(xué)，一些教師對(duì)課本例題不屑一顧，認(rèn)為其“基本”、“平?！薄ⅰ皢握{(diào)”，對(duì)課本例題教學(xué)敷衍了事，甚至置之不理.尤其是時(shí)下導(dǎo)學(xué)案教學(xué)風(fēng)靡一時(shí)，愈演愈烈，其中可能出現(xiàn)了背離教學(xué)規(guī)律的現(xiàn)象：教學(xué)設(shè)計(jì)服從于解題教學(xué)，解題教學(xué)追求題型模式，題型模式追求“高、大、上”——忽視學(xué)生學(xué)習(xí)的基本現(xiàn)實(shí)，肆意拔高教學(xué)要求，執(zhí)意強(qiáng)調(diào)題型全面，變式與拓展脫離實(shí)際，使學(xué)生的學(xué)習(xí)無(wú)法落地生根，……學(xué)生的學(xué)習(xí)深一腳淺一腳，教師的教學(xué)失去了定盤(pán)星.

有鑒于此，筆者選擇蘇教版教材上的一些典型例題為例，試圖去理解題目?jī)?nèi)涵，揣摩編者用意，挖掘題目?jī)r(jià)值，探索教學(xué)實(shí)踐，……思考例題教學(xué)的應(yīng)有之義，以期拋磚引玉，使課本例題的教學(xué)回到其應(yīng)有的、重要的位置上來(lái).

1 從學(xué)生認(rèn)知視角理解課本例題

蘇教版必修1—1第三章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”，第3.3節(jié)“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”.在3.3.1 “單調(diào)性”中，給出“導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系”的結(jié)論之后就是例題1：

確定函數(shù)f(x)=x2-4x+3在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)；

在3.3.2“最大值與最小值”中，給出“求最大值與最小值的步驟”之后，接下來(lái)就是例題，其中第1道題是：

求函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[-1,4]上的最大值與最小值.

這兩道例題所研究的對(duì)象，是學(xué)生再熟悉不過(guò)的二次函數(shù)，所要解決的問(wèn)題(單調(diào)性、最大值與最小值)早已為學(xué)生所掌握，而且從初中到高中不止一次地研究過(guò)，可以說(shuō)這兩道題所要研究的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生而言是已經(jīng)解決的問(wèn)題，似乎在這里再出現(xiàn)已無(wú)必要.正因?yàn)槿绱耍恍┙處?、甚至一些學(xué)生對(duì)此有所不屑，教學(xué)要么一帶而過(guò)，要么棄之不用.然而，將題目放在例1的位置，明明是要突出其重要性的.那么，編者為什么要這樣安排呢？

其實(shí)，這要從學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的角度去理解.學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)的新知識(shí)，其認(rèn)識(shí)是膚淺的，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)固的，尚缺乏心理認(rèn)可.特別是，這里的單調(diào)性、最大值與最小值問(wèn)題，研究的方法變了，結(jié)論的形式是新的.面對(duì)新舊認(rèn)知的矛盾與沖突，學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生一些疑惑.例如，此單調(diào)性與彼單調(diào)性、此最值與彼最值相同嗎？若相同，為何對(duì)已研究過(guò)的問(wèn)題還要重新研究？這里的結(jié)論可信嗎？……按建構(gòu)主義理論，學(xué)生學(xué)習(xí)建構(gòu)新知識(shí)，要基于已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，打破已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將新知識(shí)納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.具體到這里，就需要打通單調(diào)性與最值新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，用已有的知識(shí)去理解新知識(shí)，并建立新舊知識(shí)間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的發(fā)展.此時(shí)，借用學(xué)生所熟悉的簡(jiǎn)單的二次函數(shù)作為載體，用剛剛得到的結(jié)論去研究其單調(diào)性與最值，自然會(huì)與原有的認(rèn)知相互印證，從而達(dá)到心理認(rèn)可，產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)效果.

因此，用聯(lián)系的觀點(diǎn)、比較的方法去教好這兩道“簡(jiǎn)單題”，讓學(xué)生“起好步”，是必要的、不可跳過(guò)的一步.如果我們借口題目簡(jiǎn)單，且屬于已經(jīng)解決了的問(wèn)題，將其舍棄，直接進(jìn)入較為復(fù)雜的例題教學(xué)，例如，選擇一些非用導(dǎo)數(shù)不能解決單調(diào)性或最值問(wèn)題的函數(shù)，則可能打破認(rèn)知的連續(xù)性，違反了循序漸進(jìn)的認(rèn)知規(guī)律.

當(dāng)然，基于這樣的認(rèn)知起點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的循序漸進(jìn)，還在于認(rèn)知的深化與發(fā)展.例如，課本緊接著上面的兩例，各自給出相應(yīng)的例2，對(duì)象為三次函數(shù)，即分別研究三次函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題.而三次函數(shù)就沒(méi)有了上述已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，相對(duì)學(xué)生而言是陌生的，相對(duì)于問(wèn)題的解決，已有的知識(shí)與方法不能解決新的問(wèn)題了，怎么辦？矛盾的沖突自然開(kāi)啟“非用導(dǎo)數(shù)不可”的話題.而這個(gè)新的方法則是剛剛學(xué)過(guò)的、為已有認(rèn)知所檢驗(yàn)過(guò)的、深信不疑的.這正是認(rèn)知的自然發(fā)展、學(xué)習(xí)新知識(shí)的動(dòng)力所在.從這一點(diǎn)看，編者這樣的安排，由淺入深，自然而然，確是匠心獨(dú)運(yùn)的了.

2 從整體結(jié)構(gòu)視角理解課本例題

蘇教版必修4第一章“三角函數(shù)”第1.4節(jié)“三角函數(shù)的應(yīng)用”，課本給出2道例題和一個(gè)探究案例，其中例2是：

一半徑為3m的水輪如圖1所示，水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

(1)將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；

(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？

圖1

按照本節(jié)標(biāo)題分析該例題的教學(xué)，似乎主要是體現(xiàn)“三角函數(shù)的應(yīng)用”，具體地，就是正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的應(yīng)用，教學(xué)也應(yīng)圍繞如何“用”知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題去展開(kāi).其實(shí)不盡然.

首先，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是描述較為復(fù)雜周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型：從函數(shù)關(guān)系分析，可以認(rèn)為是由正弦函數(shù)、一次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)；從幾何背景觀察，相對(duì)于點(diǎn)(cosα,sinα)刻畫(huà)單位圓上質(zhì)點(diǎn)的勻速運(yùn)動(dòng)(角速度為1，從點(diǎn)A(1,0)出發(fā))而言，可以刻畫(huà)更為一般的圓周運(yùn)動(dòng)(半徑A≠1，角速度ω≠1，可以從一般位置出發(fā))；從生活背景理解，富有豐富的現(xiàn)實(shí)意義，例如刻畫(huà)潮汐現(xiàn)象的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+K，其中的A,ω,φ,K都有明確的現(xiàn)實(shí)意義.因此，研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)，自然要明白它的來(lái)龍去脈.

其次，圍繞函數(shù)y=Asin(ωx+φ)知識(shí)的發(fā)展線索，我們整體把握課本組織結(jié)構(gòu)：以“摩天輪情境”引入課題，建立三角函數(shù)的概念，在研究函數(shù)y=sinx,y=cosx的圖象與性質(zhì)時(shí)，偶有涉及正弦型函數(shù)，主要是“五點(diǎn)法”作圖、換元法求其單調(diào)區(qū)間與最值，等；爾后，專門用一節(jié)的篇幅研究了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)，不過(guò)用“告知”的方式交代了該函數(shù)的生活、物理與工程等背景，故而這個(gè)函數(shù)怎么來(lái)的，為什么會(huì)是這種形式，似乎還缺乏應(yīng)補(bǔ)的一課.

第三，從課程標(biāo)準(zhǔn)“內(nèi)容與要求”分析.課程標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)“內(nèi)容與要求”是：“結(jié)合具體事例，了解y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義……會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是周期現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.”筆者認(rèn)為，具體到該例題的教學(xué)，應(yīng)從以下幾個(gè)方面去把握：例題教學(xué)就是“結(jié)合具體事例”的絕好機(jī)會(huì)，而且就整體把握教材而言是最后的機(jī)會(huì)了；問(wèn)題的解決過(guò)程，正是“用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題”的過(guò)程；例題的教學(xué)過(guò)程，既是用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，是在教學(xué)生“會(huì)用……”，又是通過(guò)解決問(wèn)題的建模過(guò)程，達(dá)到 “結(jié)合具體事例，了解……”的目的.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法是親身經(jīng)歷建立模型的過(guò)程，讓學(xué)生從實(shí)際背景出發(fā)，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，去經(jīng)歷一系列探究活動(dòng)過(guò)程：怎樣想到建立坐標(biāo)系的，如何建立坐標(biāo)系，并聯(lián)系回顧周期概念……就顯得十分重要.至于三角函數(shù)的應(yīng)用，自然融合在上述過(guò)程中了.

第四，立足于學(xué)生能力的發(fā)展，該例題的教學(xué)，必然要突出建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程，體現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一般方法，促進(jìn)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的提高.即從審題開(kāi)始，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題(數(shù)學(xué)模型)，回應(yīng)回答現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.這樣的過(guò)程，既要讓學(xué)生親歷親為，又要在“小結(jié)與拓展”階段，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生去感悟、總結(jié)，以期達(dá)到對(duì)知識(shí)的再回顧，對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的再建構(gòu)，對(duì)研究方法認(rèn)識(shí)的再深化.

基于上述分析，我們對(duì)該例題的教學(xué)就不那么茫然、輕率了.相反，該例題的教學(xué)要承載更多的內(nèi)涵，教學(xué)具有挑戰(zhàn)性，也將大有可為.

3 從思想方法視角理解課本例題

蘇教版必修5第三章“不等式”第3.2節(jié)“一元二次不等式”，課本首先以具體的一元二次不等式的例子，利用數(shù)形結(jié)合方法，借助于一元二次函數(shù)圖象，探究出解一元二次不等式的一般步驟：第一步，解方程；第二步，畫(huà)出拋物線的草圖；第三步，觀察圖象，得不等式的解集.緊隨其后，給出例1：

解下列不等式：

(1)x2-7x+12>0； (2)-x2-2x+3≥0；

(3)x2-2x+1<0； (4)x2-2x+2>0 .

其后的解題示范過(guò)程就是重復(fù)上述的解一元二次不等式的步驟.

這組不等式是較為簡(jiǎn)單的，也是學(xué)生所熟悉的.雖然此前沒(méi)有課本相關(guān)章節(jié)去專題解決這類問(wèn)題，但是，就求解這類不等式問(wèn)題來(lái)說(shuō)，學(xué)生可能并無(wú)困難.他們?cè)凇岸魏瘮?shù)”、“集合”、“函數(shù)”等有關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)過(guò)程中，已多次遇到這類不等式，也掌握了因式分解、畫(huà)圖象觀察等解題方法.那么，怎樣認(rèn)識(shí)這些簡(jiǎn)單的問(wèn)題出現(xiàn)在這里，特別是在第一個(gè)例題的位置，且其解法一成不變地重復(fù)上述步驟呢？

首先，這幾個(gè)問(wèn)題雖然簡(jiǎn)單，但類型各異：二次項(xiàng)系數(shù)有正有負(fù)，不等號(hào)有大于(大于或等于)有小于，其判別式有正有負(fù)……但其解法都可以利用本課伊始探究的一般步驟.因而這個(gè)一般步驟具有一般的“算法”的特點(diǎn)，具有較強(qiáng)的可操作性，是學(xué)生應(yīng)該掌握的.

其次，更為重要的，該解題步驟突出了函數(shù)、方程與不等式的數(shù)學(xué)思想：解不等式——解方程——畫(huà)函數(shù)圖象，這分明是將不等式的研究統(tǒng)一到函數(shù)的大背景下，即將不等式、函數(shù)與方程聯(lián)系起來(lái)、統(tǒng)一起來(lái)，進(jìn)而用函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)函數(shù)、方程與不等式研究全局.這正是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心知識(shí)、觀點(diǎn)與方法.

再次，問(wèn)題解決的過(guò)程蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法：函數(shù)、方程與不等式、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論，等.看似簡(jiǎn)單，實(shí)則寓意深遠(yuǎn).

具體到這幾道問(wèn)題的解決，也許上述三個(gè)步驟與因式分解相比沒(méi)有多大優(yōu)勢(shì)，一成不變地強(qiáng)調(diào)三個(gè)步驟沒(méi)有太多意義，但從課本的整體結(jié)構(gòu)把握，尤其是突出函數(shù)這一大觀點(diǎn)、大方法去考慮，也許結(jié)論就是相反的了.因此在這里，突出解不等式的三個(gè)步驟，并一以貫之地執(zhí)行，既是問(wèn)題解決自身的需要，更是突出核心觀點(diǎn)方法的必然，還有著眼于知識(shí)發(fā)展的眼光——當(dāng)后面遇到含有參數(shù)的一元二次不等式問(wèn)題，特別是需要多層級(jí)分類討論的問(wèn)題時(shí)，將更加凸顯函數(shù)思想方法的優(yōu)越性，甚至是不二的選擇.

4 從解題示范視角理解課本例題

蘇教版必修2第一章“立體幾何初步”第1.2.2節(jié)“空間兩直線的位置關(guān)系”，在公理4后給出例1及其證明過(guò)程：

如圖2，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證：

EF∥A1C1.

證明：連結(jié)AC，在△ABC中，因?yàn)镋,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC.

又因?yàn)锳A1BB1，BB1CC1，所以AA1CC1，

從而四邊形AA1C1C是平行四邊形，所以AC∥A1C1.

從而EF∥A1C1.

圖2

一些教師認(rèn)為，該題非常簡(jiǎn)單：圖形直觀，位置關(guān)系清楚，推理過(guò)程簡(jiǎn)單，學(xué)生學(xué)習(xí)沒(méi)有困難，故在教學(xué)中不愿著力，甚至對(duì)該例題置之不理.這是沒(méi)有深刻理解題目的表現(xiàn).

筆者認(rèn)為，該例題意在做出兩個(gè)示范：一是用演繹推理方法去證明立體幾何問(wèn)題，展示嚴(yán)密的邏輯推理鏈條，體現(xiàn)推理方法，明確哪些是條件，哪些是結(jié)論，從條件推得結(jié)論有何依據(jù)；二是規(guī)范的書(shū)寫(xiě)表達(dá)過(guò)程，即將每一個(gè)推理的邏輯段串連而成邏輯鏈，處在中間位置的，既是上一個(gè)邏輯段的結(jié)論，又是下一個(gè)邏輯段的條件，推理步步有據(jù)，環(huán)環(huán)相扣.須知，這是蘇教版“立體幾何初步”例題中的第一道證明題，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生執(zhí)果索因，尋找推理的源頭，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言規(guī)范表達(dá)交流，重視演繹推理，學(xué)習(xí)理性精神，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，無(wú)疑具有積極的、重要的意義.

聯(lián)想這些年高考數(shù)學(xué)江蘇卷閱卷情況，對(duì)學(xué)生的書(shū)寫(xiě)表達(dá)有較高的要求，特別是立體幾何證明問(wèn)題，要求學(xué)生必須思路清楚、推理嚴(yán)謹(jǐn)、表達(dá)規(guī)范.一些教師在高三復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，比較重視學(xué)生的書(shū)寫(xiě)表達(dá)，立體幾何證明題尤甚.但學(xué)生的答卷卻不能令人滿意.究其原因，可能與平時(shí)教學(xué)沒(méi)有落實(shí)到位有關(guān).例如，在本例題中，雖然AA1CC1是顯而易見(jiàn)的，但卻是不能直接利用的現(xiàn)成結(jié)論，需要根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，應(yīng)用公理4去論證.因此，在本題教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生經(jīng)歷并體會(huì)一般的解題過(guò)程：怎樣分析問(wèn)題，已知什么，要證什么；而要完成這樣的證明，又要做什么；明確哪些是條件，哪些是結(jié)論，由條件推得結(jié)論的依據(jù)在哪里，為什么；怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言規(guī)范表達(dá)……

5 從知識(shí)發(fā)展視角理解課本例題

蘇教版必修4第二章“平面向量”第2.2.3節(jié)“向量的數(shù)乘”，先以例題形式給出“三角形中位線定理”背景下的向量共線問(wèn)題情境，然后給出向量共線定理及其證明，緊接著呈現(xiàn)了如下例題：

圖3

這是一道內(nèi)涵豐富、聯(lián)系廣泛、生長(zhǎng)潛力巨大的題目.教學(xué)不應(yīng)該就題論題，可以視學(xué)情允許，關(guān)注后續(xù)課程發(fā)展，適時(shí)進(jìn)行可能的探究學(xué)習(xí).要充分挖掘該題的價(jià)值，突出知識(shí)聯(lián)系與發(fā)展，提高學(xué)生思維能力.這里，僅就知識(shí)層面，給出該題的拓展與可能的探究方向.

圖4

圖5

(5)定比分點(diǎn)公式.該結(jié)論實(shí)際上是向量形式的定比分點(diǎn)公式，若在隨后學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示時(shí)，以坐標(biāo)代入，即可得到坐標(biāo)形式的定比分點(diǎn)公式

總之，課本例題蘊(yùn)含著豐富的寶藏，需要我們?nèi)ラ_(kāi)發(fā).用好課本例題的前提在于讀懂例題；讀懂例題需要從多個(gè)視角，立足于教材的整體把握，著眼于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展利益.在讀懂課本例題的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)適合的、屬于自己的、屬于所教學(xué)生的教材.“沒(méi)有最好，只有更好.”讓我們一道努力探索下去.