基于Matlab的靜電場電場線和等勢線（面）的數(shù)值模擬

王紅兵

摘要：利用Matlab軟件模擬描繪了靜電場的電場線和等勢線（面），以電偶極子、均勻帶電線段和等量異號平行直線電荷為例，導出了電場線和等勢線方程并給出了數(shù)值模擬的相應結果，使教學內容更形象和直觀，也更深刻地揭示了物理現(xiàn)象的內涵。

關鍵詞：大學物理；Matlab；電場線；等勢線（面）；數(shù)值模擬

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）49-0193-03

在大學物理的教學中，除理論分析、實驗研究外，計算機數(shù)值模擬也是一種很重要的研究方法。Matlab是一套高性能的數(shù)值計算和可視化數(shù)學軟件，集數(shù)值分析、矩陣運算、信號處理和圖形顯示等功能于一體[1]。其豐富的數(shù)學函數(shù)使得用Matlab進行數(shù)值模擬時程序變得簡潔易懂，不像其他高級語言那樣要從底層開始編寫復雜的程序[2]。在研究如電磁學等的同類問題時，只需將Matlab代碼稍加改動即可，類似的代碼可重復使用，減輕了編程工作量。Matlab強大的功能為大學物理教學的數(shù)值化和可視化提供了強有力的手段。用這種語言編程可以方便地用圖形、圖像、動畫等形象直觀地描述物理過程和物理現(xiàn)象，有助于學生對物理問題的深刻理解[3]。本文用Matlab軟件在大學物理電磁學的教學中進行了一些有益的嘗試，用這種軟件以電偶極子、均勻帶電線段和等量異號平行直線電荷的靜電場為例分析了數(shù)值模擬的過程并給出了模擬的結果。

一、電偶極子的電場

如圖1所示為兩個相距為2a的等量異號點電荷+q和-q組成的點電荷系，稱為電偶極子。由點電荷的電勢公式及電勢的疊加原理，可求得場點P（x，y）處產生的電勢為V= - ，式中，r 和r 是場點P到兩點電荷的距離r = ，r = 。若取a為坐標單位，且令V = ，x′= ，y′= （V 為點電荷q在原點處產生的電勢），則電勢可表示為V=V （ - ），當場點P到電偶極子的距離比兩點電荷的間距大得多時，即x>>a，則有r ≈r+acosθ，r ≈r-acosθ。于是可得電偶極子在遠處產生的電勢為V=V ，這就是電偶極子的等勢面方程，由此式可模擬描繪電偶極子的三維等勢面。

由以上數(shù)值分析，在進行數(shù)值模擬時只需用幾個Matlab函數(shù)即可描繪電場線和等勢線。Matlab的梯度函數(shù)gradient可以直接計算電場強度的數(shù)值分量，電偶極子等勢面可由網線曲面函數(shù)mesh描繪，等勢線可用等高線函數(shù)contour描繪，電場線可用流線函數(shù)streamline描繪。數(shù)值模擬的結果如圖3、圖4所示。

二、均勻帶電線段的電場

如圖4所示為長為2a的均勻帶電線段，電荷線密度為λ。在線段l處取線元dl，電荷元dq=λdl到P點的距離為r= ，電荷元在P點產生的電勢為dV= ，由電勢的疊加原理對上式積分可得P點的電勢為V= λln +C，式中C為積分常數(shù)，由零勢點的坐標決定，可取C=0，即P點的電勢為V= λln ，若令

V = λ，x′= ，y′= ，則電勢可表示為：

V=V ln 。

電場強度矢量在平面上的兩個分量由電勢梯度計算可得。數(shù)值模擬時只需將上述模擬電偶極子電場的Matlab代碼稍加改動即可，其中等勢線可用三維等高線指令contour3繪制。數(shù)值模擬的結果如圖5、圖6所示。

三、等量異號平行直線電荷的電場

若將圖1中的兩點電荷分別替換為無限長直線電荷的線密度±λ，即可得到等量異號平行直線電荷的坐標系，兩帶電直線間距為2a并與Oxy平面垂直。計算可得等勢線是圓心在橫軸上且半徑為r= 的圓，而電場線是圓心在縱軸上且半徑為R= 的圓。其中，C是待定常數(shù)。數(shù)值模擬的結果如圖7所示。

四、結論

本文通過實例闡述了利用Matlab對靜電場進行數(shù)值模擬的具體方法。上述討論表明，在大學物理教學中適當引入計算機數(shù)值模擬的研究方法可以對物理規(guī)律和物理現(xiàn)象的描述更加全面和完整，有助于學生對這些規(guī)律和現(xiàn)象的深刻認識和理解，同時也可以成為實驗室真實實驗的重要補充。

參考文獻：

[1]王家文，王皓，劉海.Matlab7.0編程基礎[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

[2]占君，張倩，滿謙.Matlab函數(shù)查詢手冊[M].北京：機械工業(yè)出版社，2011.

[3]張星輝.在大學物理教學中使用Matlab制作圖像和動畫的幾個實例[J].大學物理，2004，23（9）：59-62.