基于Hellinger距離的判斷矩陣排序方法

詹婉榮， 于 海

(洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 河南洛陽(yáng) 471934)

基于Hellinger距離的判斷矩陣排序方法

詹婉榮， 于 海

(洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 河南洛陽(yáng) 471934)

本文基于Hellinger距離提出了一種判斷矩陣排序方法， 并研究了該排序方法的保序性、 置換不變性、 相容性等性質(zhì).最后通過(guò)實(shí)例將基于Hellinger距離的排序方法與特征向量法、 和積法以及方根法進(jìn)行比較， 理論分析和數(shù)值結(jié)果均表明該方法是有效的.

層次分析法；判斷矩陣；Hellinger距離；排序方法

層次分析法(AHP)是系統(tǒng)分析與決策中的一種有效的綜合評(píng)價(jià)方法[1-6].這種方法能夠統(tǒng)一處理決策中的定性和定量因素,具有實(shí)用性、 系統(tǒng)性、 簡(jiǎn)潔性等優(yōu)點(diǎn),特別適合在社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的決策分析中使用.與此同時(shí), 有關(guān)層次分析法中的判斷矩陣排序理論和方法也在不斷發(fā)展, 傳統(tǒng)的、 單一的特征向量排序方法已不能滿足理論的發(fā)展和應(yīng)用的需要， 大量具有良好性能的最優(yōu)化排序方法不斷出現(xiàn).這些方法大致可分為近似計(jì)算和最優(yōu)化排序兩大類.其中和積法和方根法是最常用的兩種近似算法. 本文基于Hellinger距離， 提出了一種判斷矩陣的排序方法,并從保序性及合理的排序方法應(yīng)具有的性質(zhì)等幾個(gè)方面對(duì)該方法進(jìn)行了討論.理論分析和仿真結(jié)果表明， 它是用于判斷矩陣排序的一種好方法.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 正互反矩陣和排序向量

aik·akj=aij,i,k,j=1,2,…,n， 則稱A為一致性正互反矩陣.

全體n階正互反矩陣構(gòu)成的集合記作Pn, 全體排序向量構(gòu)成的集合記作Δn， 即

若A為一致性正互反矩陣， 將A歸一化后， 列向量均是該判斷矩陣的排序向量.然而在實(shí)際問(wèn)題中， 給出的判斷矩陣一般不滿足一致性條件， 而只能近似滿足.層次分析法所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一就是， 如何對(duì)這樣的判斷矩陣給出一種近似計(jì)算排序向量的方法.在層次分析法中， 用對(duì)應(yīng)判斷矩陣的最大特征根的特征向量作為排序向量， 然而計(jì)算矩陣的特征根和特征向量是相當(dāng)困難的， 特別是矩陣的階數(shù)較高的時(shí)候.所以計(jì)算排序向量可以采用近似算法.目前最常用的近似算法是和積法與方根法.

和積法的計(jì)算公式為

方根法的計(jì)算公式為

和積法實(shí)際上是將判斷矩陣A的列向量歸一化后取算術(shù)平均值， 作為A的排序向量.因?yàn)楫?dāng)A為一致陣時(shí)， 它的每一列向量都是排序向量. 所以若A的不一致性不嚴(yán)重， 則取A的列向量的算術(shù)平均值作為近似排序向量是合理的. 而方根法是對(duì)列向量取幾何平均值， 再歸一化得到的向量作為近似排序向量.

1.2 Hellinger距離定義

在概率論和統(tǒng)計(jì)理論中， Hellinger距離被用來(lái)度量?jī)蓚€(gè)概率分布的相似度[7].

對(duì)于連續(xù)概率分布， 設(shè)f(x)和g(x)分別為兩個(gè)連續(xù)分布P和Q的概率密度函數(shù)， 則這兩個(gè)分布之間的Hellinger距離定義為

對(duì)于兩個(gè)離散概率分布P=(p1,p2,…,pn)和

Q=(q1,q2,…,qn)， 它們的Hellinger距離定義為

Hellinger距離具有如下性質(zhì)：

(1) 0≤H(P,Q)≤1;

(2)H(P,Q)=H(Q,P);

(3)H(P,Q)=0當(dāng)且僅當(dāng)P=Q.

兩個(gè)分布之間的Hellinger距離是非負(fù)和對(duì)稱的.

2 判斷矩陣排序方法

由Hellinger距離的性質(zhì)可知， Hellinger距離可以作為兩個(gè)離散分布相似程度的一個(gè)度量， 本節(jié)就以Hellinger距離作為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)， 提出一種判斷矩陣的排序方法.

設(shè)W=(w1,w2,…,wn)為判斷矩陣A的排序向量， 由于W是歸一化的， 因而可以視為一個(gè)離散分布.

判斷矩陣A的排序向量W為滿足下面最優(yōu)化模型的解.

定理1 在上面的最優(yōu)化模型中， 函數(shù)J(W)在Δn中可以確定W的一組最優(yōu)解W=(w1,w2,…,wn),且W可以表示為下式

(1)

證明 用拉格朗日乘數(shù)法將條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值. 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

令

從(1)式可以看出， 基于Hellinger距離排序方法得到的排序向量實(shí)際上可以這樣得到： 首先將判斷矩陣A按列歸一化， 對(duì)每一行的元素取根號(hào)， 然后將每一行求和， 再平方， 得到一個(gè)列向量， 最后將該向量歸一化得到的向量就是排序向量.

3 排序方法的性質(zhì)

一種排序方法， 可以看作由全體n階正互反矩陣構(gòu)成的集合Pn到全體排序向量構(gòu)成的集合Δn的一個(gè)映射， 記作W=T(A)， 稱W是判斷矩陣A確定的排序向量.

定義2[8]一個(gè)排序方法稱為強(qiáng)條件下保序的， 如果akj≥alj(?j),能得到排序權(quán)值wk≥wl， 且當(dāng)前者所有等式嚴(yán)格成立時(shí)， 有wk=wl.

定理2 基于Hellinger距離的排序方法是強(qiáng)條件下保序的.

證明 設(shè)W=(w1,w2,…,wn)是A=(aij)的基于Hellinger距離排序方法得到的排序向量， 則有

若akj≥alj(?j)， 由wk，wl的表達(dá)式易見wk≥wl；若akj=alj時(shí)，wk=wl.因此， 基于Hellinger距離排序方法是強(qiáng)條件下保序的.

定義3[9]設(shè)T(·)是一種排序方法，A是任一個(gè)給定的判斷矩陣，W=T(A).如果對(duì)于任一個(gè)置換矩陣P， 均有PW=T(PAPT)， 則稱這種排序方法是置換不變的.

定理3 基于Hellinger距離排序方法具有置換不變性.

證明 設(shè)P是置換矩陣，B=(bij)=PAPT， 其中A為判斷矩陣.設(shè)W=(w1,w2,…,wn)，X=(x1,x2,…,xn)分別是A,B的基于Hellinger距離排序向量， 經(jīng)置換后A的第i行變?yōu)锽的第k行，A的第i列變成了B的第k列. 于是

所以基于Hellinger距離的排序方法具有置換不變性.

定義4[9]設(shè)T(·)是一種排序方法，W=T(A).如果A是一致的，W必是A的固有排序向量， 則稱這種排序方法是相容的.

定理4 基于Hellinger距離排序方法具有相容性.

由于W=(w1,w2,…,wn)是A的基于Hellinger距離的排序向量， 故

所以基于Hellinger距離的排序方法具有相容性.

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)HDM排序方法的排序有效性, 我們?nèi)∥墨I(xiàn)[10]中的判斷矩陣A如下：

四種排序方法計(jì)算A的排序向量， 結(jié)果見表1.

對(duì)于矩陣A， 此時(shí)RI=1.12， 容易計(jì)算CR=0.0282<0.1， 一致性檢驗(yàn)通過(guò).

其中EM表示特征向量法；ANC表示和積法；HDM表示基于Hellinger距離排序方法；NGM表示方根法.

表1 矩陣A

從以上排序結(jié)果可以看出, 在判斷矩陣滿足一致性要求的情況下,基于Hellinger距離排序方法(HDM ) 取得了與特征向量排序方法完全一致的排序結(jié)果, 而且不同的方法所得排序權(quán)值很相近.由于HDM方法計(jì)算簡(jiǎn)單,是一種簡(jiǎn)易算法， 同另外兩種簡(jiǎn)易算法ANC和NGM相比， 由HDM得到的結(jié)果總是介于由ANC和NGM得到的結(jié)果之間， 是這兩種方法的折中.這些事實(shí)充分說(shuō)明運(yùn)用基于Hellinger距離排序方法對(duì)判斷矩陣進(jìn)行排序是可行且有效的.

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于Hellinger距離的判斷矩陣排序方法,豐富和發(fā)展了層次分析法的排序理論.理論分析和數(shù)值結(jié)果均表明, 這種排序方法與特征向量排序方法的排序結(jié)果是完全一致的, 與和積法、 方根法所得排序權(quán)值很相近， 而且具有簡(jiǎn)潔、 可行、 且易于計(jì)算器或計(jì)算機(jī)上實(shí)施等優(yōu)點(diǎn).

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Judgment Matrix Sorting Based on Hellinger Distance

ZHAN Wan-rong, YU Hai

(College of Mathematics and Science, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China)

This paper provides a sorting method of judgment matrix, studies its isotonicity, consistency and compatibility. Lastly, Hellinger distance based sorting method is illustrated with examples and compared with eigenvector method, sum-product method and square root method. Theoretical analysis and calculation have proved the effectiveness of the title method.

analytic hierarchy process; judgment matrix; Hellinger distance; sorting method

N945.1

A

1009-4970(2017)11-0004-04

2016-11-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61272015)； 河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15A520087，16A520064)； 校青年科研基金項(xiàng)目(2013-QNJJ-002)

詹婉榮(1981—)，女，陜西西安人，碩士，講師. 研究方向：模糊邏輯，粗糙集; 于海(1979—)，男，河南開封人，碩士，講師. 研究方向：機(jī)器學(xué)習(xí)，粗糙集.

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]