探索關(guān)系 相互轉(zhuǎn)換

仇招成

在豐富的圖形世界里，“點(diǎn)”的靈動(dòng)輕盈成就柔和的曲線之美，“線”的柔美形態(tài)造就“面”的恢弘大氣，點(diǎn)、線、面的完美集成構(gòu)就“體”的不同性格：可以剛硬、可以柔美、可以開(kāi)放、可以封閉……在此，讓我們一起來(lái)回顧三視圖的解題要點(diǎn).

探索關(guān)系 相互轉(zhuǎn)換

仇招成

例1（2017·揚(yáng)州）經(jīng)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面的形狀可能是（ ）.

例2（2004·宿遷）圖1是一塊帶有圓形空洞和方形空洞的木板，則下列物體中既可以堵住圓形空洞，又可以堵住方形空洞的是（ ）.

圖1

根據(jù)三視圖知識(shí)，圓柱的主視圖（左視圖）是矩形，可以堵住方形空洞，圓柱的俯視圖是圓，可以堵住圓形空洞，故例2中B正確.

【說(shuō)明】三視圖就是主視圖、左視圖、俯視圖的總稱.一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀.

一個(gè)平面與一個(gè)幾何體相交所截得的圖形叫做截面.截面的形狀隨截法的不同而改變，一般的截面與幾何體的幾個(gè)面相交就得到幾條交線，截面就是幾邊形.

三視圖和截面在方法、角度上是不同的.我們需要根據(jù)具體要求來(lái)確定平面圖形的“形狀”.

例3圖2為一幾何體的三視圖：

圖2

（1）寫(xiě)出這個(gè)幾何體的名稱；

（2）任意畫(huà)出這個(gè)幾何體的一種表面展開(kāi)圖；

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（3）若俯視圖中正三角形的邊長(zhǎng)為4cm，左視圖中長(zhǎng)方形的高為10cm，求這個(gè)幾何體的側(cè)面積.

【解析】（1）只有棱柱的主視圖和左視圖才能出現(xiàn)長(zhǎng)方形，根據(jù)俯視圖是三角形，可得到此幾何體為三棱柱；

（2）應(yīng)該會(huì)出現(xiàn)3個(gè)長(zhǎng)方形，2個(gè)三角形；（圖略）

（3）側(cè)面積為3個(gè)長(zhǎng)方形，計(jì)算出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，乘3即可（3×10×4＝120cm2）.

【說(shuō)明】以“簡(jiǎn)單幾何體的三個(gè)視圖”為中心，我們通過(guò)想象、模擬、分析、推理，感受三視圖與簡(jiǎn)單幾何體之間的相互轉(zhuǎn)化，體驗(yàn)二維與三維空間相互轉(zhuǎn)換關(guān)系.我們除了要關(guān)注“形狀”“位置”（方位）外，還需關(guān)注“數(shù)量”關(guān)系，即主視圖和俯視圖的長(zhǎng)相等；主視圖和左視圖的高相等；左視圖和俯視圖的寬相等.

例4把邊長(zhǎng)為2cm的6個(gè)相同正方體擺成如圖3的形狀.

圖3

（1）畫(huà)出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖；

（2）試求出其表面積；

（3）如果在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖不變，那么最多可以再添加________個(gè)小正方體.

【解析】（1）

（2）計(jì)算出三視圖（平面圖形）的面積和，然后乘2，再加2個(gè)正方形的面積（從三個(gè)方向都看不見(jiàn)的部分）即可：2×［2×2×（4+3+5）］+2×2×2=104cm2.

（3）利用左視圖和俯視圖不變，得出可以添加小正方體的位置.故最多可以再添加2個(gè)小正方體.

【說(shuō)明】幾何體的三視圖從微觀和局部反映了幾何體的結(jié)構(gòu)和大小，對(duì)于簡(jiǎn)單的幾何體或組合體的表（側(cè)）面積，可利用三視圖中隱含的幾何條件，直接計(jì)算幾何體表面的所有平面圖形的面積和即可（注意：避免重復(fù)計(jì)算和漏算）.

一般來(lái)說(shuō)，已知三視圖可以確定一個(gè)幾何體，但已知兩個(gè)視圖不一定能確定幾何體.在三個(gè)視圖中，俯視圖最重要，它可以直接確定底層有幾個(gè)正方體，再由主視圖、左視圖確定幾層數(shù)及每層的個(gè)數(shù).具體方法如下：

（1）由俯視圖、左視圖（主視圖）來(lái)確定小正方體個(gè)數(shù)：

以例4第（3）問(wèn)為例：①先復(fù)制一張俯視圖，俯視圖的左方（下方）標(biāo)注左視圖（主視圖）所看到的小正方體的最高層數(shù)；將這些數(shù)字填入所在行（列）的每一個(gè)方格，則可得到這個(gè)幾何體所需最多的小正方體的塊數(shù)；②將每行（列）上數(shù)字只留一個(gè)，其余的均改為1，這樣就可以確定最少需要的小正方體的塊數(shù).

（2）由主視圖、左視圖來(lái)確定小正方體個(gè)數(shù)：

還是以例4的主視圖、左視圖為例：

①先根據(jù)主視圖和左視圖確定俯視圖最大是2×3的方格；

圖2

在方格下方、左方分別標(biāo)上主視圖、左視圖所看到的小正方體的最高層數(shù).然后，在方格中填入所在行、列上的較小數(shù)字，那么就可以確定這個(gè)幾何體所需最多小正方體的塊數(shù)（如圖2所示）.

圖3

②在方格中尋找所在行和列方向上的數(shù)字一樣的方格，取相同的數(shù)字填入方格，這樣就可以確定最少需要的小正方體的塊數(shù)（如圖3所示）.

江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部）