高壓氧療法應(yīng)用于慢性傷口問題解的存在唯一性

邵少霞，馮兆永，衛(wèi)雪梅

(1. 廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520；2. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275)

高壓氧療法應(yīng)用于慢性傷口問題解的存在唯一性

邵少霞1，馮兆永2，衛(wèi)雪梅1

(1. 廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520；2. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275)

研究一個高壓氧治療對慢性傷口愈合問題的數(shù)學(xué)模型。該模型包含了描述氧擴(kuò)散濃度的非線性二階拋物型方程、關(guān)于毛細(xì)管尖端密度的非線性一階雙曲型方程以及一個描述血管密度的常微分方程。通過應(yīng)用雙曲方程的特征理論、Lp估計、H?lder估計以及Banach不動點(diǎn)定理證明了這個問題整體解的存在唯一性。

高壓氧治療；慢性傷口；局部解；整體解；存在唯一性

許多生物生長的基本規(guī)律都可以用偏微分方程的數(shù)學(xué)模型來表示[1-14]。近年來，據(jù)統(tǒng)計中國目前的糖尿病患者大約2.4億，隨之而來的糖尿病相關(guān)慢性難愈性傷口，尤其是糖尿病足的發(fā)生率顯著上升，更為嚴(yán)重的是15% 的糖尿病足患者最終只能接受截肢治療，因此對如何治療慢性傷口具有非常深遠(yuǎn)的研究意義。慢性傷口的愈合是一個極其復(fù)雜的過程，而局部缺血是傷口難愈合過程中的一個重要因素。Friedman等[3-6]建立了關(guān)于局部皮膚缺血性慢性傷口的數(shù)學(xué)模型，并研究了在自由邊界條件下其解的存在性和唯一性。此后，隨著科學(xué)的發(fā)展，一系列關(guān)于血管生成的慢性傷口愈合模型被Pettet等[7-10]提出，這些學(xué)者根據(jù)各自的生物實驗和臨床數(shù)據(jù)模擬慢性傷口愈合的過程，從而從實驗角度上說明已建立模型的合理性。在之前工作的基礎(chǔ)上，F(xiàn)legg等[11-14]提出了用高壓氧療法來治療慢性傷口，通過模擬高壓氧療法在慢性傷口愈合中的作用，預(yù)測間歇性高壓氧療法將有助于慢性傷口的愈合，而正常氧氣在治療這樣的慢性傷口時沒有明顯的效果。此外，那些動脈供血充足的患者對高壓氧療法具有良好的傷口愈合反應(yīng)。本文將研究由Flegg等[14]在2012年提出的一個高壓氧療法應(yīng)用于慢性傷口的數(shù)學(xué)模型，具體模型如下：

0≤x≤L，t>0

(1)

(2)

w(x,0)=w0(x)，0≤x≤L

(3)

k5bH(w-wL)H(wH-w)，

0≤x≤L，t>0

(4)

n(x,0)=0，0≤x≤L

(5)

(6)

b(x,0)=b0(x)，0≤x≤L

(7)

和

k2、k4、k5、k6、χ、wL、wH、Dw均為正常數(shù)(具體含義詳見文獻(xiàn)[14])。

顯然w0(x)≥0且有界，w0(x)∈C2+α([0，L])，H(u)為有界連續(xù)函數(shù)，記H(u)∞≤M，而b0(x)≥0且有界，b0(x)∈C1([0，L])。

本文的主要結(jié)論如下：

定理1 對?t≥0，問題(1)-(7)存在唯一的整體解。

1 預(yù)備引理

下面我們將介紹一些引理，首先引入一些記號。

其中

下面介紹幾個本文研究過程中所用到的引理。

0≤z≤1， 0≤t≤T

(8)

z=0，1：Bc=φ， 0≤τ≤T

(9)

c(z，0)=c0(z)， 0≤z≤1

(10)

(11)

引理2[16]假設(shè)D是一個正常數(shù)

當(dāng)(2)α=1，β≥0時，成立

0≤ρ≤L， 0≤τ≤T

(12)

α(ρ，0)=α0(ρ)， 0≤ρ≤L

(13)

(14)

(15)

進(jìn)一步，若對任意的0≤ρ≤L，0≤τ≤T，若增加

α0≥0，f(ρ，τ)≥0

(16)

則有

α(ρ，τ)≥0， 0≤ρ≤L， 0≤τ≤T

(17)

證明類似于文獻(xiàn)[18]。

2 局部解的存在唯一性

將運(yùn)用Banach不動點(diǎn)定理證明問題(1)-(7)存在局部唯一解。對于給定的T和正整數(shù)M，引進(jìn)度量空間(XT，d)：XT是由所有的向量函數(shù)(w(x，t)，n(x，t)，b(x，t))(0≤x≤L，0≤t≤T)組成，且它們滿足如下條件

(i)

對任意的0≤x≤L， 0≤t≤T；

(ii)

對任意的0≤x≤L， 0≤t≤T；

(iii)

對任意的0≤x≤L， 0≤t≤T。

定義XT中的度量空間d為

d((w1，n1，b1)，(w2，n2，b2))=

易知度量空間(XT，d)是一個完備的度量空間。

(18)

(19)

(20)

k5bH(w-wL)H(wH-w)， 0≤x≤L，t>0

(21)

(22)

(23)

(24)

首先證F映XT到XT自身。

結(jié)合引理3可得

(25)

且滿足

(26)

其中

G(x，ξ，t)=

(27)

(28)

(29)

(Ⅲ) 考慮問題(23)-(24)，直接計算可得

0≤t≤T

(30)

接下來證F是壓縮映射。

0≤x≤L，0≤t≤T

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

其中

G(x，ξ，t)=

則

(36)

0≤x≤L， 0≤t≤T

(37)

(38)

其中

F1(x，t)=k5(b1H1(w-wL)H1(wH-w)-

b2H2(w-wL)H2(wH-w))+

由(28)式和(29)式可推出

(39)

(40)

(41)

0≤x≤L， 0≤t≤T

(42)

(43)

其中

直接計算可得

(44)

(45)

所以，結(jié)合(35)、(41)和(45)式有

因此，取T充分小使得C(T)M≤1時，F(xiàn)為壓縮映射。根據(jù)Banach不動點(diǎn)定理， 定義在映射F上的一個固定點(diǎn)(w(x，t)，n(x，t)，b(x，t))∈XT，使得對任意的0≤t≤T，問題(1)-(7)有唯一古典解(w(x，t)，n(x，t)，b(x，t))，注意到T依賴于w0(x)在C2+α([0，L])空間和b0(x)在C1([0，L])空間上范數(shù)的上確界。

由上述證明可總結(jié)為如下定理：

定理2 存在T>0，使得所有t∈[0，T]，問題(1)-(7)存在唯一解，其中T依賴于w0(x)在C2+α([0，L])空間和b0(x)在C1([0，L])空間上范數(shù)的上確界。

3 整體解的存在唯一性

引理5 問題(1)-(7)的解有如下結(jié)論

w(x，t)≥0，n(x，t)≥0，b(x，t)≥0

證明現(xiàn)在考慮方程組 (1)-(7)。

(i) 當(dāng)b(x，t)≥0時，根據(jù)上下解原理可知w(x，t)≥0，結(jié)合(17)式可推得n(x，t)≥0。

事實上，當(dāng)b(x，t)≥0時，若w(x，t)<0或n(x，t)<0之一成立，由上下解原理易知w(x，t)<0，n(x，t)≥0；w(x，t)≥0，n(x，t)<0和w(x，t)<0，n(x，t)<0的情況不成立。

(ii) 當(dāng)b(x，t)<0時，若w(x，t)≥0或n(x，t)≥0之一成立，由上下解原理易推出w(x，t)<0，n(x，t)≥0；w(x，t)≥0，n(x，t)<0和w(x，t)≥0，n(x，t)≥0的情況不成立。

當(dāng)b(x，t)<0，w(x，t)<0，n(x，t)<0時，顯然問題(1)-(3)的解為

其中

G(x，ξ，t)=

由以上結(jié)果可推出

而

結(jié)合(i),(ii)可知w(x，t)≥0，n(x，t)≥0，b(x，t)≥0。引理5得證。

引理6 存在依賴于時間T的常數(shù)C(T)，滿足

(46)

(47)

(48)

(50)

綜上所述，由(48)、(49)和(50)式可知，引理6得證。

根據(jù)定理2、引理5和引理6 以及時間T的任意性可證得本文的主要結(jié)論定理1。

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Existenceofglobalsolutionforchronicwoundbyhyperbaricoxygentherapy

SHAOShaoxia1,FENGZhaoyong2,WEIXuemei1

(1.School of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520, China;2. School of Mathematics, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

A mathematical model of hyperbaric oxygen therapy for chronic wound healing is studied. This model contains a nonlinear second-order parabolic equation describing the concentration of oxygen diffusion，a nonlinear first-order hyperbolic equation for capillary tip density and an ordinary differential equation for blood vessel density. The existence and uniqueness of the global solution is proved by applying the characteristic theory of hyperbolic equation, theLp-theory，H?lder-estimate theory and Banach fixed point theorem.

hyperbaric oxygen therapy; chronic wound; local solution; global solution; existence and uniqueness

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.06.006

2017-03-13

國家自然科學(xué)基金(11101095, 11471339)；廣東省高校特色創(chuàng)新類項目(2016KTSCX028)；廣東省高層次人才項目(2014011)；研究生教育創(chuàng)新項目(2014QTLXXM17)

邵少霞(1992年生)， 女；研究方向偏微分方程；E-mail：2271567652@qq.com

衛(wèi)雪梅(1972年生)，女；研究方向偏微分方程；E-mail：wxm_gdut@163.com

O175

A

0529-6579(2017)06-0048-07