構(gòu)建一般化電荷模型求解靜電物理問題

王浩川 余泓燁 金旭統(tǒng)

（浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高二（1）班 浙江 寧波 3152 00 ）

黃國龍

（浙江省鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江 寧波 3152 00 ）

解答某些特殊情形下靜電場競賽問題時(shí)，如果運(yùn)用特殊電荷模型對應(yīng)的理論和方法進(jìn)行解答，往往比較困難，有時(shí)容易發(fā)生錯(cuò)誤．事實(shí)上，物理模型及相對應(yīng)的理論之間往往存在特殊與一般的對應(yīng)關(guān)系，如果能根據(jù)物理模型間特殊與一般關(guān)系，構(gòu)建與特殊物理模型相對應(yīng)的一般化物理模型，并揭示物理模型間特殊和一般關(guān)系，運(yùn)用一般化物理模型所對應(yīng)的物理規(guī)律，常能求解疑難的特殊物理問題，使疑難問題得到創(chuàng)新解答．本文結(jié)合物理競賽中的具體靜電場問題實(shí)例，就構(gòu)建一般化靜電模型創(chuàng)新解答靜電物理問題作一小結(jié)．

1 構(gòu)建等量異種電荷模型創(chuàng)新解答勻強(qiáng)電場中感應(yīng)電荷問題

【例1】如圖1所示，在電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場中放置一個(gè)均勻金屬球，其半徑為R，感應(yīng)電荷在球上產(chǎn)生了面電荷密度為σ的電荷，σ和圖1中標(biāo)出的θ角有關(guān)系，試求σ和θ的關(guān)系式．

圖1

分析：解答這個(gè)問題常規(guī)的方法有兩種，在普通物理中運(yùn)用微積分方法求解，而在高中物理競賽中，通過構(gòu)建疊加的等量異種均勻分布球形電荷模型結(jié)合類比方法求解．下面運(yùn)用構(gòu)建一般化電荷模型求解這個(gè)問題．

構(gòu)建一般化電荷模型：現(xiàn)構(gòu)建如圖2所示的等量異種點(diǎn)電荷模型，在兩點(diǎn)電荷中點(diǎn)放置金屬球，當(dāng)滿足R d時(shí)，可以近似地認(rèn)為，金屬球所處區(qū)域電場為勻強(qiáng)電場，且滿足

因而，可以認(rèn)為，勻強(qiáng)電場是等量異種點(diǎn)電荷電場的中點(diǎn)區(qū)域的特殊電場．

圖2

等效構(gòu)建鏡像電荷模型：在一般化電荷模型中，金屬球電勢為零，球面上非均勻分布的感應(yīng)電荷可以等效為在球內(nèi)對稱的鏡像電荷＋q′和－q′．根據(jù)鏡像法得

移植運(yùn)用偶極子模型：在R d條件下，在求球面上和球面外區(qū)域激發(fā)電場時(shí)，由于a＝很小，可把兩鏡像電荷等效為偶極子，如圖3所示．

圖3

偶極子在球面上任意點(diǎn)P產(chǎn)生電場強(qiáng)度為

P點(diǎn)徑向電場強(qiáng)度滿足

由式（1）、（2）、（4）得

通過構(gòu)建勻強(qiáng)電場模型的一般化電荷模型（等量異種電荷模型），運(yùn)用近似、對稱、等效和移植等方法創(chuàng)新地解決了這個(gè)比較復(fù)雜的非均勻電荷問題．

2 構(gòu)建雙球面鏡像電荷模型創(chuàng)新解答雙平面感應(yīng)電荷問題

【例2】如圖4所示，兩塊無限大的接地導(dǎo)體平面相距為L，在兩板之間距離A板為d處放置一帶＋q電量的點(diǎn)電荷．試求每塊板上感應(yīng)電荷．

圖4

分析：直接運(yùn)用平面鏡像電荷法解答這個(gè)問題需要構(gòu)建無數(shù)個(gè)鏡像電荷，求解比較復(fù)雜和困難．相關(guān)物理競賽參考資料［1］上常構(gòu)建平面電容模型，運(yùn)用電容器知識(shí)求解這個(gè)問題．下面構(gòu)建一般化電荷模型求解這個(gè)問題．

（1）球面鏡像電荷模型和平面鏡像電荷模型的一般和特殊關(guān)系的論證

這兩種模型間的一般和特殊關(guān)系，證明如下．

球內(nèi)鏡像電荷情形：

當(dāng)x R時(shí)

與平面鏡像電荷規(guī)律相同，等效為平面鏡像電荷．

圖5

球外鏡像電荷情形：

圖6

如圖6所示，當(dāng)點(diǎn)電荷Q放在接地導(dǎo)體球內(nèi)時(shí)，內(nèi)球面上非均勻分布的感應(yīng)電荷等效為球外的鏡像電荷Q′，運(yùn)用鏡像方法同理可得

當(dāng)x R時(shí)

x′≈x Q′≈－Q

如今工業(yè)產(chǎn)業(yè)運(yùn)用的電氣化系統(tǒng)中，數(shù)字技術(shù)最突出的一種應(yīng)用就是現(xiàn)場總線技術(shù)，借助這一技術(shù)可以讓信息數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)雙向傳輸，讓生產(chǎn)效率得到顯著提升。該技術(shù)可以讓電氣化系統(tǒng)與智能設(shè)備實(shí)現(xiàn)連接，然后借助光纖等網(wǎng)絡(luò)媒介，讓數(shù)據(jù)傳輸更加高效，這種傳輸系統(tǒng)是雙向的，對于控制平臺(tái)的操作人員來說，可以通過這一系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行傳遞，也可以通過平臺(tái)接收各類反饋信息，一旦發(fā)現(xiàn)問題可以采取有效的措施進(jìn)行應(yīng)對，這樣可以避免由于故障造成嚴(yán)重的損失，讓系統(tǒng)運(yùn)行的質(zhì)量以及效率得到提升。

球面鏡像電荷模型近似為平面鏡像電荷模型．

（2）構(gòu)建一般化雙球面模型

如圖7所示，將左側(cè)的導(dǎo)體面等效為接地導(dǎo)體球（內(nèi)球），半徑為R（R d），將右側(cè)的導(dǎo)體面等效為包裹內(nèi)球的接地球殼，且表面與內(nèi)球面距離為L，而點(diǎn)電荷被夾在中間．設(shè)外側(cè)感應(yīng)電荷總量為Q1，內(nèi)側(cè)感應(yīng)電荷總量為Q2，由外球面接地可得

圖7

由于內(nèi)球接地，因此在球心處的電勢為零．即

由式（6）、（7）解得

（3）特殊化推理

當(dāng)d R，L R時(shí)，雙球面接地電荷模型近似為雙平面接地電荷模型，由式（8）、（9）解得

由上述分析可知，通過構(gòu)建平面接地電荷模型的一般化電荷模型（雙球面接地電荷模型），運(yùn)用接地球面電勢規(guī)律，創(chuàng)新地解答這個(gè)疑難問題．

3 構(gòu)建橢圓運(yùn)動(dòng)模型創(chuàng)新解答復(fù)雜直線運(yùn)動(dòng)問題

【例3】如圖8所示，質(zhì)量為m，帶電量為Q的點(diǎn)電荷放在離無限大導(dǎo)電板r處．現(xiàn)釋放該點(diǎn)電荷，求它經(jīng)過多長時(shí)間到達(dá)板上．不計(jì)點(diǎn)電荷重力．

圖8

分析：解答這個(gè)問題的常規(guī)思路是，先運(yùn)用等效方法構(gòu)建平面鏡像電荷，然后，運(yùn)用牛頓第二定律和庫侖定律列出微分方程，最后，解微分方程求解結(jié)果，解題過程比較復(fù)雜．下面運(yùn)用構(gòu)建一般化運(yùn)動(dòng)模型方法創(chuàng)新求解這個(gè)問題．

（1）等效方法構(gòu)建固定鏡像電荷模型

先根據(jù)等效方法構(gòu)建對稱的鏡像電荷－Q，如圖9所示，在等效構(gòu)建鏡像電荷－Q的基礎(chǔ)上，把運(yùn)動(dòng)的鏡像電荷－Q等效為處于導(dǎo)體板上O點(diǎn)固定不動(dòng)點(diǎn)電荷Q′，根據(jù)

圖9

（2）構(gòu)建一般化橢圓運(yùn)動(dòng)模型

由于點(diǎn)電荷受到平方反比力的作用，因而，可以構(gòu)建此直線運(yùn)動(dòng)一般化模型，即把點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)近似為很扁的橢圓運(yùn)動(dòng)，長半軸．

（3）類比推理求解時(shí)間

與天體運(yùn)動(dòng)模型相似，運(yùn)用類比思維方法得

根據(jù)開普勒第三定律得扁橢圓運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)周期滿足

通過等效、類比思維方法構(gòu)建直線運(yùn)動(dòng)的一般化模型（扁橢圓運(yùn)動(dòng)），進(jìn)行類比推理簡化解題過程，降低了求解復(fù)雜直線運(yùn)動(dòng)的靜電問題．

1 程稼夫．中學(xué)奧林匹克競賽物理教程（電磁學(xué)篇）．北京：中國科技大學(xué)出版社，2005