非等間距GM(1,1)建模方法對(duì)比分析及應(yīng)用

尹 暉，周曉慶，張曉鳴

(1.武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079)

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非等間距GM(1,1)建模方法對(duì)比分析及應(yīng)用

尹 暉1,2，周曉慶1，張曉鳴1

(1.武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079)

非等間距GM(1,1)模型為實(shí)際工程變形監(jiān)測(cè)中不等間距觀測(cè)數(shù)據(jù)的處理提供較好的解決途徑。文中以兩種非等間距GM(1,1)建模方法為研究對(duì)象，通過(guò)工程實(shí)例的對(duì)比分析與實(shí)際應(yīng)用，討論兩種模型的建模差異，給出模型精度與預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)，提出選擇非等間距GM(1,1)建模方法的參考建議。

變形監(jiān)測(cè)；非等間距；GM(1,1)模型；建模方法；對(duì)比分析

監(jiān)測(cè)工程建筑物的變形狀態(tài)及大小，采用周期性的高精度重復(fù)觀測(cè)是監(jiān)測(cè)建筑物安全狀態(tài)的有效方法。由于受工程現(xiàn)狀、觀測(cè)條件及突發(fā)因素等影響，變形觀測(cè)所獲得的數(shù)據(jù)不一定是大樣本的長(zhǎng)期觀測(cè)序列，而是小樣本、非等間距的變形觀測(cè)數(shù)據(jù)，因此，針對(duì)小樣本數(shù)據(jù)處理的灰色系統(tǒng)理論就具有優(yōu)越性[1]。但傳統(tǒng)GM(1,1)建模要求數(shù)據(jù)序列是等間距的，對(duì)此不少學(xué)者就非等間距GM(1,1)建模方法進(jìn)行研究，歸納起來(lái)大致可以分為兩類：一類是基于賦權(quán)處理的建模方法[3-5]，另一類是基于等距處理的建模方法[6-10]。本文以上述兩種非等間距GM(1,1)建模方法為研究對(duì)象，通過(guò)工程實(shí)例[4,6]對(duì)比分析，討論兩種建模方法的建模差異，并以某建筑物沉降觀測(cè)為例，采用不同維數(shù)的建模策略對(duì)上述兩種方法進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，最后提出選擇建模方法的參考建議。

1 非等間距GM(1,1)的兩種建模方法

1.1 基于賦權(quán)處理的建模方法

基于賦權(quán)處理的非等間距GM(1,1)建模是以相鄰觀測(cè)時(shí)間間隔為權(quán)，對(duì)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)一次累加處理，再建立非等間距GM(1,1)模型的一種建模方法。

設(shè)非等間距原始觀測(cè)序列為X(0)={x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，x(0)(ti)為ti時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)；以相鄰觀測(cè)時(shí)間間隔為權(quán)，對(duì)X(0)進(jìn)行加權(quán)一次累加處理：

(1)

得到序列X(1)={x(1)(t1),x(1)(t2),…,x(1)(tn)}。

對(duì)加權(quán)一次累加序列X(1)建立白化微分方程：

(2)

(3)

將求得的參數(shù)a,b帶入微分方程式，求得x(1)的預(yù)測(cè)方程為

(4)

(5)

1.2 基于等距處理的建模方法

基于等距處理的非等間距GM(1,1)建模思想：采用單位時(shí)段系數(shù)法將非等間距序列處理為等間距序列[6-10]，再按照等間距序列建立GM(1,1)模型。

設(shè)T(0)={t1,t2,…,tn}為原始觀測(cè)序列X(0)的觀測(cè)時(shí)段，其平均觀測(cè)時(shí)距為

(6)

各期觀測(cè)間距與平均觀測(cè)時(shí)距的單位時(shí)段系數(shù)為

(7)

各觀測(cè)期的差值為

(8)

則重新構(gòu)造的等間距觀測(cè)序列值為

(9)

即得等重新構(gòu)造的等間距序列：

利用序列Z(0)的一次累加序列Z(1)建立模型的白化微分方程：

(10)

(11)

求得序列Z(1)(k)和Z(0)(k)的預(yù)測(cè)式為

(12)

(13)

則處理為非等間距序列的預(yù)測(cè)式：

(14)

2 非等間距GM(1,1)模型的精度評(píng)定

灰色模型的精度通常用后驗(yàn)差方法檢驗(yàn)[1,11]，它是對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn)，由后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P共同描述。

設(shè)原始序列的預(yù)測(cè)值為

計(jì)算殘差：

(15)

(16)

(17)

后驗(yàn)差比值：

(18)

小誤差概率：

(19)

根據(jù)C,P取值的模型精度等級(jí)見(jiàn)表1，模型精度等級(jí)=max{P所在的級(jí)別，C所在的級(jí)別}。

表1 模型精度評(píng)價(jià)表[1]

除了用表1評(píng)價(jià)模型精度之外，通過(guò)殘差絕對(duì)值的平均值以及模型預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ湍M和預(yù)測(cè)結(jié)果。

(20)

(21)

3 實(shí)例分析

3.1 兩種建模方法的對(duì)比分析

文獻(xiàn)[4]是采用基于賦權(quán)處理的建模方法(簡(jiǎn)稱模型1)，而文獻(xiàn)[6]采用的是基于等距處理的模型(簡(jiǎn)稱模型2)，本文首先就2篇文獻(xiàn)的實(shí)際案例，采用兩種建模方法分別進(jìn)行對(duì)比分析，兩種方法的建模結(jié)果如表2和表3所示。其中表2中模型1的結(jié)果直接取自文獻(xiàn)[4]；表3中模型2的結(jié)果直接取自文獻(xiàn)[6]。

表2 兩種建模方法對(duì)比1

從表2、表3可見(jiàn)，兩種建模方法對(duì)文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[6]的實(shí)際案例進(jìn)行建模預(yù)測(cè)的結(jié)果表明，基于等距處理的模型2，其擬合預(yù)測(cè)結(jié)果要略優(yōu)于基于賦權(quán)處理的模型1。

3.2 實(shí)際工程應(yīng)用

泰安市某居民樓J6號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的實(shí)際沉降觀測(cè)的非等間距數(shù)據(jù)如表4所示，根據(jù)灰色系統(tǒng)理論的建模要求，本文將J6號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的9期觀測(cè)數(shù)據(jù)劃分為四、五、六、七、八、九維進(jìn)行建模，其中四維表示用前4期數(shù)據(jù)建模，這樣按維數(shù)大小可以建立6組不同數(shù)據(jù)序列的模型，并分別采用上述兩種建模方法進(jìn)行非等間距GM(1,1)模型的求解，不同維數(shù)建立的兩種模型精度結(jié)果如表5所示，同理，模型1為基于賦權(quán)處理建立的模型，模型2為基于等距處理建立的模型。

表4 J6號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)

表5 模型精度評(píng)價(jià)

從表5計(jì)算結(jié)果可知，采用兩種建模方法所建立的非等間距GM(1,1)模型，均具有較高的模型精度；但不同維數(shù)所建立的模型，其精度與建模維數(shù)大小有一定關(guān)系；整體比較而言，模型2的模型精度要比模型1的模型精度略好一些。

為進(jìn)一步比較兩種方法對(duì)不同維數(shù)數(shù)據(jù)建模預(yù)測(cè)的效果，本文以四、五、六維數(shù)據(jù)為例分別采用兩種建模方法對(duì)后續(xù)各期觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表6所示。

由表6預(yù)測(cè)結(jié)果可知，①兩種建模方法的預(yù)測(cè)結(jié)果與預(yù)測(cè)外推步數(shù)有關(guān)，隨著預(yù)測(cè)步數(shù)的增加，模型預(yù)測(cè)的殘差變大，表明GM(1，1)模型不適用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)；②兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與建模的數(shù)據(jù)維數(shù)有關(guān)，不同維數(shù)建模的預(yù)測(cè)結(jié)果差距明顯，從表6可見(jiàn)，五維和六維模型的預(yù)測(cè)結(jié)果較好，四維模型的預(yù)測(cè)效果較差，表明選取合適的建模數(shù)據(jù)維數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果有明顯的影響；③兩種建模方法比較而言，不論數(shù)據(jù)維數(shù)的長(zhǎng)度變化，模型2的預(yù)測(cè)結(jié)果都比模型1的預(yù)測(cè)結(jié)果好，表明采用等距處理的建模方法其模型精度和預(yù)測(cè)效果要優(yōu)于賦權(quán)處理的建模方法。

表6 兩種建模方法用于不同維數(shù)模型的沉降量預(yù)測(cè)對(duì)比

4 結(jié) 語(yǔ)

非等間距GM(1,1)模型為實(shí)際工程變形監(jiān)測(cè)中不等間距觀測(cè)數(shù)據(jù)的處理提供較好的解決方案。本文以參考文獻(xiàn)中的工程案例和實(shí)際工程應(yīng)用為數(shù)據(jù)來(lái)源，對(duì)兩種建模方法進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明：兩種針對(duì)非等間距GM(1,1)模型的建模方法均能獲得較好的模擬和預(yù)測(cè)結(jié)果；采用等距處理的建模方法其模型精度和預(yù)測(cè)效果要優(yōu)于賦權(quán)處理的建模方法；兩種建模方法的模型精度和預(yù)測(cè)結(jié)果均與建模數(shù)據(jù)維數(shù)有關(guān)，需要選取合適的數(shù)據(jù)維數(shù)建模，且不適合長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

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[責(zé)任編輯：李銘娜]

Non-equidistant GM(1,1) modeling comparison and application

YIN Hui1,2, ZHOU Xiaoqing1, ZHANG Xiaoming1

(1.School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079,China;2.Collaborative Innovation Center for Geospatial Technology, Wuhan 430079,China)

Non-equidistant GM (1,1) modeling is an efficient solution to the non-equidistant data process for the engineering deformation monitoring projects. This paper focuses on two different non-equidistant GM (1,1) modeling methods and discuses their differences with real practical engineering applications. Both models’ precision and prediction evaluation are compared and the reference for non-equidistant GM (1,1) modeling is given.

deformation monitoring; non-equidistant; GM(1,1) model; modeling methods; comparison analysis

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.02.001

2015-12-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51077105)；大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(SKLGED2013-3-6-E)；國(guó)家電網(wǎng)公司總部科技項(xiàng)目(SGSX0000YJJS(2014)457)

尹 暉(1962-)，女，博士，教授.

TU196

A

1006-7949(2017)02-0001-04

引用著錄：彭少磊，趙冬青，黃志勇.非等間距GM(1,1)建模方法對(duì)比分析及應(yīng)用[J].測(cè)繪工程，2017，26(2)：01-04.