sl2?C[t]的一類模

譚海軍

(1.長春理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，吉林 長春 130022； 2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024)

sl2?C[t]的一類模

譚海軍1，2

(1.長春理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，吉林 長春 130022； 2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024)

研究了流代數(shù)sl2?C[t]的表示理論，對流代數(shù)sl2?C[t]在一元多項式代數(shù)C[x]上的一類模進(jìn)行了分類，并確定了所得到的模的結(jié)構(gòu).

流代數(shù)sl2?C[t]；多項式代數(shù)；不可約模

1 預(yù)備知識

分別用C，Z，Z≥0，N表示復(fù)數(shù)集，整數(shù)集，非負(fù)整數(shù)集和正整數(shù)集.本文中所有的向量空間是C上的向量空間.

令C[t]是以t為未定元的C上的一元多項式代數(shù)，則sl2的流代數(shù)定義為sl2?C[t]，其李括號定義為 [y1?tn，y2?tm]=[y1，y2]?tn+m，?y1，y2∈sl2，?m，n∈Z≥0.為研究問題的方便，?y∈sl2，?n∈Z≥0，將y?tn記作y(n)，并將y?1與y等同起來.這樣，sl2可以看作是sl2?C[t]的一個子代數(shù).對于更多有關(guān)李代數(shù)的理論，可見文獻(xiàn)[3-4].

本文研究流代數(shù)sl2?C[t]的一類表示，即sl2?C[t]在以x為未定元的一元多項式代數(shù)C[x]上的模結(jié)構(gòu)，其中，sl2的元素h的作用是x的左乘.

2 sl2?C[t]在C[x]上的模結(jié)構(gòu)

這里主要對sl2?C[t]在C[x]上的模結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入研究，其中，h的作用是x左乘，并對這類模進(jìn)行分類，確定這類模的結(jié)構(gòu).

將sl2看作是sl2?C[t]的子代數(shù)，則每一個sl2?C[t]模的結(jié)構(gòu)限制到sl2上，就是一個sl2模.那么，若C[x]作為sl2?C[t]模滿足h的作用是x左乘這個條件，則C[x]作為sl2模也滿足相同的條件.

為描述sl2在C[x]上的模結(jié)構(gòu)，令σ是將x映成x-1的C[x]的代數(shù)自同構(gòu)，則σ-1是將x映成x+1的C[x]的自同構(gòu).C[x]到自身的恒等映射記為Id.那么，對于sl2在C[x]的這類模的結(jié)構(gòu)，引用Nilsson[5]的結(jié)果：

引理1[5]設(shè)C[x]是以x為未定元的C上的一元多項式代數(shù).則sl2在C[x]上滿足h的作用是x左乘的模結(jié)構(gòu)，在不考慮非零常數(shù)倍的情況下，有如下三類互不同構(gòu)的類型：

其中g(shù)(x)∈C[x]，a，b∈C是常數(shù)，且a≠0.此外，sl2模C[x]不可約，當(dāng)且僅當(dāng)2b?Z≥0或(Ⅱ)與(Ⅲ)之一成立.

從sl2在C[x]上的模結(jié)構(gòu)出發(fā)，可以定義sl2?C[t]在C[x]上的模結(jié)構(gòu).通過簡單計算，有下面結(jié)論成立.

引理2任取λ∈C，?y∈sl2，?n∈Z≥0，令y(n)·g(x)=λn(y·g(x))，?g(x)∈C[x]，y·g(x)是由sl2在C[x]上的模結(jié)構(gòu)確定的.則C[x]成為sl2?C[t]模.

按照引理2定義的sl2?C[t]的模記作C[x]λ.當(dāng)λ=0時，流代數(shù)sl2?C[t]在C[x]上的作用退化為sl2的作用.

定理1設(shè)C[x]是以x為未定元的C上的一元多項式代數(shù)，則流代數(shù)sl2?C[t]在C[x]上的模結(jié)構(gòu)就是C[x]λ，λ∈C.其中h的作用是x左乘；C[x]是sl2模，其結(jié)構(gòu)由引理1中(Ⅰ)—(Ⅲ)式確定.并且sl2?C[t]模C[x]λ是不可約的，當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)的sl2模C[x]是不可約的.

為完成定理1的證明，需要下面一些結(jié)論.

由于sl2?C[t]是由sl2和h(1)生成的，而sl2在C[x]上的作用是清楚的，所以只需確定h(1)的作用.

引理3存在λ∈C，使h(1)·1=λ(h·1)=λx，e(1)·1=λ(e·1)，f(1)·1=λ(f·1).

證明當(dāng)sl2?C[t]模C[x]看作sl2模時，由引理1必有(Ⅰ)—(Ⅲ)式之一成立，從而

e·g(x)=σ(g(x))(e·1)，

f·g(x)=σ-1(g(x))(f·1)，?g(x)∈C[x].

記h(1)·1=φ(x)∈C[x]，則由[h，h(1)]=0，有

h(1)·g(x)=g(x)(h(1)·1)=g(x)φ(x).

從而

e(1)·1=h(1)·e·1-e·h(1)·1=(e·1)(φ(x)-φ(x-1))=(e·1)(Id-σ)(φ(x))，

進(jìn)一步有

e(1)·x=e(1)·h·1=h·e(1)·1-e(1)·1=(x-1)(e(1)·1)=σ(x)(e(1)·1).

對C[x]中元素的指數(shù)利用歸納法可得

e(1)·g(x)=e(1)·g(h)·1=σ(g(x))(e(1)·1)，?g(x)∈C[x]，

從而

設(shè)φ(x)的次數(shù)為k，首項為λxk，則(Id-σ)(φ(x))的首項為λkxk-1.由引理1(Ⅰ)—(Ⅲ)式，

σ(f·1)(e·1)=-(x2-x-b(b+1))，

若λ=0，則h(1)·1=0=0x；若λ≠0且k=1，則

綜上，h(1)·1=λ(h·1)=λx，從而

e(1)·1=h(1)·e·1-e·h(1)·1=(e·1)(Id-σ)(h(1)·1)=λ(e·1)，

f(1)·1=f·h(1)·1-h(1)·f·1=(f·1)(σ-1-Id)(h(1)·1)=λ(f·1).

定理1的證明設(shè)M=C[x]是sl2?C[t]的一個模，其中h的作用是x左乘.由引理3，?y∈sl2，有y(1)·1=λ(y·1)，其中y·1是將M=C[x]看作sl2模時確定的.利用sl2的單性可知存在y1，y2∈sl2，使y=[y1，y2].則有

[y1(n)，y2(1)]=y(n+1)，?n∈Z≥0.

利用對非負(fù)整數(shù)n的歸納法易證y(n)·1=λn(y·1).注意到?k∈Z≥0，

y(n)·xk+1=y(n)·h·xk=h·y(n)·xk-[y(n)，h]·xk=h·y(n)·xk-[y，h](n)·xk.

對C[x]中元素的指數(shù)利用歸納法，有

y(n)·xk=λn(y·xk)，?n，k∈Z≥0.

從而y(n)·g(x)=λn(y·g(x))，?g(x)∈C[x]，即M=C[x]就是C[x]λ.

顯然sl2?C[t]模C[x]λ的不可約性是由對應(yīng)的sl2模C[x]的不可約性所決定的，所以C[x]λ作為sl2?C[t]模不可約，當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)的sl2模C[x]是不可約的.

[1] STEPHEN GELBART.An elementary introduction to the Langlands program[J].American Mathematical Society.Bulletin.New Series，1984，10(2)：177-219.

[2] SCHOTTENLOHER MARTIN.A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory[M].Berlin，Heidelberg:Springer-Verlag，1997:47-75.

[3] HUMPHREYS JAMES E.Introduction to Lie algebras and representation theory[M].Berlin：Springer，1972:15-40.

[4] CARTER ROGER.Lie algebras of finite and affine type[M].London：Cambridge University Press，2005：121-151.

[5]NILSSON JONATHAN.Simplesln+1-module structures onU(h)[J].J Algebra， 2015，424：294-329.

Aclassofsl2?C[t]modules

TAN Hai-jun1，2

(1.Department of Applied Mathematics，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022，China； 2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

The representation theory of the current algebrasl2?C[t] is studied and a class ofsl2?C[t] modules on the algebraC[x] is classified. Thesl2?C[t] structures onC[t] are also determined.

current algebrasl2?C[t]；polynomial algebra；irreducible module

1000-1832(2017)04-0007-03

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.002

2017-10-21

中國博士后基金資助項目(111900302，111900350)；吉林省青年科學(xué)基金資助項目(20160520111JH).

譚海軍(1980—)，男，博士，主要從事李代數(shù)表示理論研究.

O 152.5學(xué)科代碼110·21

A

(責(zé)任編輯：李亞軍)