一道解析幾何定值題的解法探究

安徽省蕪湖市第一中學(xué) 范宗標(biāo) (郵編：241000)

一道解析幾何定值題的解法探究

安徽省蕪湖市第一中學(xué) 范宗標(biāo) (郵編：241000)

1 解法探究

生1：通過(guò)畫(huà)圖,我猜想此定值為1,即NC⊥ND.

(大家會(huì)意地笑,贊同)

師：如何證明呢?

生3：隨M變化而變化,可以設(shè)M的坐標(biāo)為(x0,y0),然后用(x0,y0)來(lái)表示

總結(jié) 揭示不同量之間的聯(lián)系,是破解問(wèn)題的關(guān)鍵.要用聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)理解數(shù)學(xué)問(wèn)題,要善于用“函數(shù)思想”來(lái)分析問(wèn)題.

師：還可以考慮設(shè)M(2cosθ,2sinθ),通過(guò)“一元化”來(lái)解決.還有不同的思路嗎?

生4：設(shè)直線AM的斜率為k(k≠0)!我想正是因?yàn)閗(k≠0)的變化,才引起其它各個(gè)量的變化.把其它的量都用k表示即可.

師：這也是運(yùn)用了“函數(shù)思想”,只不過(guò)選取的變量不同而已.

學(xué)生板演

總結(jié) 聯(lián)立直線方程和曲線方程消元得到二次方程,這是解析幾何中獲得方程的重要方式之一.這種方式大家比較熟悉(學(xué)生稱(chēng)其為“聯(lián)立方程法”).

師：從這個(gè)證法中,我們發(fā)現(xiàn)kMA·kMB＝.而要證的目標(biāo)是kNC·kND＝－1,二者之間有什么聯(lián)系呢?

生5(激動(dòng)地)：N點(diǎn)可以看成是M點(diǎn)沿x軸方向壓縮得到的,可以試著從二者的坐標(biāo)關(guān)系來(lái)考慮.

板演

總結(jié) “點(diǎn)在曲線上,則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線方程”是一個(gè)很重要的原理.這也是解析幾何中得到方程的重要方法之一,我們可以稱(chēng)之為“代點(diǎn)法”.

2 背景分析

師：你能發(fā)現(xiàn)本題中,橢圓和圓的關(guān)系嗎?

生7：圓O以橢圓的短軸為直徑!

師：這個(gè)問(wèn)題的結(jié)論可以推廣到一般情況嗎?如何表述?大家討論：

板 演 設(shè) M(x0,y0)、C(0,y1)、D(0,y2),

師：如果A、B不限定是橢圓的左、右頂點(diǎn),而是只限定弦AB過(guò)橢圓中心(此時(shí)稱(chēng)AB為橢圓的直徑),那么結(jié)論還成立嗎?

生8：只要能證明此時(shí)仍然有kMA·kMB＝

通過(guò)探究,我們發(fā)現(xiàn)了原問(wèn)題的一般背景,掌握了一類(lèi)問(wèn)題的求解;此外,在探究的過(guò)程中,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、運(yùn)算能力得到了培養(yǎng),合作意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)也得到了增強(qiáng).

2017-09-29)