天體力學(xué)問題求解的兩條基本思路及其運(yùn)用

河北

趙寶菊

天體有奧妙，求解有思路。

天體力學(xué)問題求解的兩條基本思路及其運(yùn)用

趙寶菊

天體之間的作用力，主要是萬有引力。而行星和衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，可近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力即是行星、衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。盡管萬有引力定律知識點(diǎn)不多,但需要用萬有引力定律處理的習(xí)題題型卻很多,如計(jì)算天體的質(zhì)量、天體的密度、天體的重力加速度、天體運(yùn)行的速度等，且綜合性較強(qiáng)。歷年來高考在天體力學(xué)中考查的重點(diǎn)主要是解決有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的問題，題型以選擇題居多，但近年也會(huì)出現(xiàn)計(jì)算題來考查這個(gè)知識點(diǎn)，考生往往感到很困難，故非常值得關(guān)注。

一、天體質(zhì)量、密度等基本物理量的計(jì)算

天體質(zhì)量、密度等是天體的基本物理量，對于研究天體的性質(zhì)以及應(yīng)用，具有重要的意義，所以確定天體的質(zhì)量、密度等基本物理量，是我們首先應(yīng)該掌握的。

【例1】在某星球上，宇航員用彈簧秤稱得質(zhì)量為m的砝碼重量為F，乘宇宙飛船在靠近該星球表面空間飛行，測得其環(huán)繞周期為T，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，得出該星球的質(zhì)量為

( )

而對砝碼有F=mg，

【答案】C

【點(diǎn)評】本題中，如果宇航員能夠測出其繞該星球運(yùn)動(dòng)的周期和離開該星球的高度，并已知該星球的半徑，即可求得飛船運(yùn)動(dòng)的速度大小，以及該星球的質(zhì)量和平均密度。但由于不知道飛船的質(zhì)量，故飛船運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力不能求得。類似地，已知某行星的半徑以及繞該行星表面運(yùn)行的衛(wèi)星周期，即可求得行星的質(zhì)量和行星表面的重力加速度，但不能求得行星的自轉(zhuǎn)周期和行星的同步衛(wèi)星的軌道半徑。同樣，已知月球繞地球運(yùn)行的周期T1及月球到地球中心的距離R1，或者已知人造地球衛(wèi)星在地面附近的運(yùn)行速度v和運(yùn)行周期T3，均可計(jì)算出地球的質(zhì)量M地(引力常數(shù)G為已知)，如果僅已知地球繞太陽運(yùn)行的周期T2及地球到太陽中心的距離R2或者地球“同步衛(wèi)星”離地面的高度，則不能完成地球質(zhì)量的計(jì)算。

【例2】某物體在地球赤道上受到的重力是它在兩極處受到重力的n倍(n<1)，設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G，地球可視為規(guī)則球體，求地球的平均密度。

二、地球同步衛(wèi)星問題

【例3】“神舟十一號”載人飛船于2016年10月17日7時(shí) 30分在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，經(jīng)過長達(dá)33天的飛行時(shí)間，于2016年11月18日下午順利返回著陸。與地球同步衛(wèi)星相比

( )

A.“神舟十一號”的軌道半徑大

B.“神舟十一號”的線速度大

C.“神舟十一號”的周期長

D.“神舟十一號”的加速度大

【答案】BD

三、變軌問題

【例4】探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道直奔月球，在距月球表面200 km的P點(diǎn)進(jìn)行第一次變軌后被月球捕獲，先進(jìn)入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，如圖1所示。之后，衛(wèi)星在P點(diǎn)又經(jīng)過兩次變軌，最后在距月球表面200 km的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。對此，下列說法不正確的是

( )

圖1

A.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)的速度小于月球的第一宇宙速度

B.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)周期比在軌道Ⅰ上短

C.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)的加速度大于沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度

D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種軌道運(yùn)行相比較，衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行的機(jī)械能最小

【答案】C

四、三種宇宙速度

1.第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：v1=7.9 km/s，是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度；

2.第二宇宙速度(脫離速度)：v2=11.2 km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度；

3.第三宇宙速度(逃逸速度)：v3=16.7 km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。

【例5】2016年8月16日，我國科學(xué)家自主研制的世界首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子號”成功發(fā)射并進(jìn)入預(yù)定圓軌道。已知“墨子號”衛(wèi)星運(yùn)行軌道離地面的高度約為500 km，地球半徑約為6 400 km，則該衛(wèi)星在圓軌道上運(yùn)行時(shí)

( )

A.速度大于第一宇宙速度

B.速度大于地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度

C.加速度大于地球表面的重力加速度

D.加速度大于地球同步衛(wèi)星的向心加速度

【解析】由于衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速度大小隨軌道半徑的增大而減小，而第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球表面運(yùn)動(dòng)的速度，所以第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度。由此可見，該衛(wèi)星在圓軌道上運(yùn)行時(shí)速度必定小于第一宇宙速度，同時(shí)大于地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；而衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)加速度大小隨軌道半徑的增大也減小，所以該衛(wèi)星在圓軌道上運(yùn)行時(shí)，加速度小于地球表面的重力加速度，但是大于地球同步衛(wèi)星的向心加速度，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

【答案】BD

五、雙星系統(tǒng)模型

如果兩顆星彼此相距較近，靠相互之間的萬有引力繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，稱為雙星。且兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期、角速度相等；圓心在兩顆行星的連線上，且兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離，兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與行星的質(zhì)量成反比。雙星系統(tǒng)的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質(zhì)量有關(guān)，而與雙星個(gè)體的質(zhì)量無關(guān)。

【例6】在天文觀測中，因?yàn)橛^測視角的問題，有時(shí)會(huì)看到一種比較奇怪的“雙星”系統(tǒng)：與其他天體相距很遠(yuǎn)的兩顆恒星，在同一直線上往返運(yùn)動(dòng)，它們往返運(yùn)動(dòng)的中心相同，周期也一樣。模型如圖2所示，恒星A在A1A2之間往返運(yùn)動(dòng)，恒星B在B1B2之間往返運(yùn)動(dòng)，且A1A2=a,B1B2=b，現(xiàn)觀測得它們運(yùn)動(dòng)的周期為T，恒星A、B的質(zhì)量分別為M、m，萬有引力常量G，則

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圖2

河北省故城縣育才中學(xué))

從價(jià)值觀的角度看科學(xué)概念的力量在于它具有解釋和概括一大類自然現(xiàn)象的能力。在這方面能量概念的作用十分獨(dú)特。