噪聲相關(guān)情況下的卡爾曼濾波

趙長勝

（江蘇師范大學(xué)測繪學(xué)院，江蘇徐州 221113）

一、標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是基于一組觀測序列L1，L2，…，Lk及系統(tǒng)的動力學(xué)模型信息來求解狀態(tài)向量估值的一種算法。卡爾曼濾波分別采用狀態(tài)方程和觀測方程來描述動力學(xué)模型和觀測模型，設(shè)狀態(tài)方程和觀測方程為

式中，xk-1、xk分別表示第k-1時刻和k時刻的狀態(tài)向量；Φk，k-1稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Lk為k時刻的觀測向量；Bk為系數(shù)矩陣；wk、Δk分別為系統(tǒng)的動態(tài)噪聲向量和觀測噪聲向量。

假設(shè)wk、Δk是零均值白噪聲序列，且誤差互不相關(guān)，即有

白噪聲條件下的卡爾曼濾波狀態(tài)預(yù)測值和協(xié)方差分別為

觀測向量帶來的新的信息（稱為新息）及其協(xié)方差矩陣為

增益矩陣為

狀態(tài)估計向量及其協(xié)方差矩陣為

二、噪聲互相關(guān)情況下卡爾曼濾波的最小二乘解

系統(tǒng)的動態(tài)噪聲wk和觀測噪聲Δk雖然是高斯白噪聲系列，但動態(tài)噪聲與觀測噪聲相關(guān)，即在式（2）中

即

由式（1）中的觀測方程可以列出觀測值的誤差方程

這時狀態(tài)向量可用最小二乘原理獲得直接解為

三、噪聲互相關(guān)情況下卡爾曼濾波的相關(guān)變換解

所謂相關(guān)變換解，實際是將動力學(xué)模型預(yù)測向量與觀測向量的互協(xié)方差陣轉(zhuǎn)變?yōu)榱?。先將狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

式中，Jk為待定矩陣。令

因此有

四、噪聲互相關(guān)情況下卡爾曼濾波的改化解

則誤差方程變換為

組成法方程并求逆得

由矩陣恒等變換可得

或由矩陣恒等式得

由式（24）經(jīng)協(xié)方差傳播律可得的協(xié)方差矩陣為

或為

［1］ 楊元喜.自適應(yīng)動態(tài)導(dǎo)航定位［M］.北京:測繪出版社，2006.

［2］ 趙長勝.有色噪聲濾波理論與算法［M］.北京:測繪出版社，2006.

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［4］ 趙長勝，陶本藻.有色噪聲作用下的卡爾曼濾波［J］.武漢大學(xué)學(xué)報:信息科學(xué)版，2008，33（2）:180-182.