基于MATLAB的多目標(biāo)規(guī)劃問題的理想點法求解

楊伍梅，劉陶文

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基于MATLAB的多目標(biāo)規(guī)劃問題的理想點法求解

楊伍梅1，劉陶文2

(1. 益陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南 益陽 413049；2. 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，長沙 410012)

針對生產(chǎn)、經(jīng)濟活動等實際中常見的多目標(biāo)規(guī)劃問題，在對現(xiàn)有的多目標(biāo)優(yōu)化方法進行一些比較的基礎(chǔ)上，重點對理想點法的基本思想、特點及發(fā)展過程進行了探究，并就工廠采購這類多目標(biāo)規(guī)劃的實際問題采用理想點法進行模型的構(gòu)建、轉(zhuǎn)化和求解，然后用MATLAB軟件對此問題進行了具體計算和結(jié)果分析﹒結(jié)果表明這類方法具有非常簡單、實用、高效的特點，在實際應(yīng)用中具有一定的優(yōu)越性﹒

多目標(biāo)規(guī)劃；評價函數(shù)法；理想點法；MATLAB

在生產(chǎn)、經(jīng)濟活動、工程設(shè)計和科學(xué)實驗中，往往需要同時考察多個指標(biāo)才能判斷某種決策(計劃、方案、配方)的優(yōu)劣，這些問題可歸結(jié)為多目標(biāo)規(guī)劃問題[1]﹒最初，關(guān)于多目標(biāo)問題中如何協(xié)調(diào)矛盾是由Franklin于1772年提出的，而第一次從數(shù)學(xué)角度提出多目標(biāo)規(guī)劃問題并且給出Pareto最優(yōu)解的概念的是Pareto﹒同時Kuhn等人也給出了向量極值問題具備有效解的必要條件﹒后來，A.Charnes等人做了許多工作，出現(xiàn)了如加權(quán)和法、目標(biāo)規(guī)劃法、－約束法等多目標(biāo)優(yōu)化方法[2]﹒我國對于多目標(biāo)規(guī)劃問題的研究主要是從20世紀(jì)70年代開始的，且研究的人越來越多，已逐步邁向世界先進水平[3]﹒當(dāng)前，關(guān)于多目標(biāo)規(guī)劃問題的研究，主要著重于其解的概念與性質(zhì)、求解方法、對偶問題、不可微等4個方面，其中研究最多的是關(guān)于多目標(biāo)規(guī)劃的求解方法問題﹒近年來引用次數(shù)較多，涉及知識面較廣的方法有最小偏差指標(biāo)賦權(quán)法、加權(quán)偏差平方和最小化方法、線性加權(quán)法和灰色關(guān)聯(lián)分析法的集成法等﹒

對上述多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解目前主要有約束法、功效系數(shù)法和評價函數(shù)法等方法﹒約束法要根據(jù)決策者的經(jīng)驗讓次要目標(biāo)在某一確定的范圍內(nèi)取值，所以其結(jié)果受人為因素影響較大[4]﹒功效系數(shù)法能較好的求解多目標(biāo)規(guī)劃問題，但往往會因為信息的非完備性和主觀判斷等因素導(dǎo)致功效系數(shù)不是很準(zhǔn)確，從而影響求解結(jié)果[5]﹒因此這里主要采用評價函數(shù)法來求解多目標(biāo)規(guī)劃問題，它的基本思想是由多目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造出某一個單目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)，并稱之為評價函數(shù)[6]，從而將求解多目標(biāo)規(guī)劃問題化為求解單目標(biāo)規(guī)劃問題﹒由于構(gòu)造評價函數(shù)時可用多種不同的方法，因此就有多種不同的評價函數(shù)法，其中最常見的評價函數(shù)法有理想點法、平方和加權(quán)法、線性加權(quán)和法和乘除法等[7]﹒文獻[8]采用平方和加權(quán)法和線性加權(quán)和法、乘除法對采礦法多目標(biāo)優(yōu)選進行了探討，取得了較好的效果，但該方法需要根據(jù)各個目標(biāo)的重要程度給予一組適當(dāng)?shù)臋?quán)重，而在實際應(yīng)用中要選取這樣一組權(quán)重往往存在一定的困難，所以只能假設(shè)在某種權(quán)重下進行計算，這樣會因所假設(shè)權(quán)重的不同而導(dǎo)致結(jié)果與實際問題存在一定偏差﹒為了避免個人選取權(quán)重的片面性，往往采用老手法選取權(quán)重，但這項工作量比較大﹒乘除法原理簡單，計算方便，不需要考慮各個目標(biāo)的權(quán)重受人為因素的影響較小，但它要求目標(biāo)函數(shù)在已有條件下的函數(shù)值都具有非負(fù)性，且要分為目標(biāo)函數(shù)值越小越好與目標(biāo)函數(shù)值越大越好兩組，因此在實際應(yīng)用中具有一定的局限性[9]﹒在文獻[10]中郭惠昕等人將理想點法用到多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計中，由正、負(fù)理想點與可行解之間的距離構(gòu)造出模糊判決，并由此提出了基于理想點的求解算法，但此法在工廠采購問題方面未見有關(guān)研究，本文主要采用理想點法對工廠采購問題進行一些探討﹒

1 理想點法

理想點法是指根據(jù)決策者的先驗信息構(gòu)造出理想點，再在指定條件下去尋求與此理想點最為接近的可行解[11]﹒在實際情況中，問題本身可能含有多個不等式約束條件和多個等式約束條件，但在實際問題中剛好滿足等式約束條件的問題局限性較大﹒因此，本文只針對式(2)的僅含有不等式約束的多目標(biāo)優(yōu)化問題進行探討﹒

根據(jù)評價函數(shù)法的基本思想，理想點法的主要思路是在多目標(biāo)規(guī)劃問題(見式(2))中，首先將多目標(biāo)規(guī)劃問題分解為個單目標(biāo)規(guī)劃問題，可得表達(dá)式(3)﹒

求解單目標(biāo)規(guī)劃問題(見式(4))就可以得到兼顧多個目標(biāo)的滿意解﹒

2 實例

2.1 工廠采購問題

某工廠需要采購某種生產(chǎn)原料，該原料市場上有A、B、C三種，單價分別為3元/kg、2元/kg、4元/kg﹒現(xiàn)要求所花的總費用不超過400元，所購得的原料總質(zhì)量不少于150 kg，其中A原料不得少于40 kg，B原料不得少于50 kg，C原料不得少于20 kg﹒問如何確定最佳采購方案，花最少的錢采購最多數(shù)量的原料﹒

2.2 建立模型

綜合以上分析得最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型見式(6)﹒

2.3 模型轉(zhuǎn)化與求解

注意到在多目標(biāo)規(guī)劃問題中極大化目標(biāo)函數(shù)是極小化目標(biāo)函數(shù)的相反數(shù)，因此，上述最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型式(6)可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式式(7)﹒

很明顯，這是一個多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以采用約束法、功效系數(shù)法和評價函數(shù)法等方法進行求解﹒本文采用評價函數(shù)法進行求解，即根據(jù)理想點法的求解思路，可將上述問題分解為兩個單目標(biāo)規(guī)劃問題(P1)和(P2)進行求解，見式(8)﹒

2.4 實值求解與結(jié)果分析

由模型(P1)可以看出，它的評價函數(shù)為一個線性函數(shù)，且約束條件也為線性函數(shù)，所以可以利用MATLAB優(yōu)化工具箱中所提供的linprog函數(shù)進行求解，其運行代碼和結(jié)果如下：

>>=[3;2;4];

=[2,3,4;-1,-1,-1];

=[400;-150];

=[40;50;20];

>>[,fval]=linprog(,,,[],[],);

Optimization terminated.

60.000 0

20.000 0

fval=410.000 0

采用類似方法可求解單目標(biāo)規(guī)劃問題(P2)，利用MATLAB軟件求解，其運行代碼和結(jié)果如下：

>>=[-1;-1;-1];

=[2,3,4;-1,-1,-1];

=[400;-150];

=[40;50;20];

>>[,fval]=linprog(,,,[],[],);

Optimization terminated.

50.000 0

20.000 0

fval=-155.000 0

利用MATLAB軟件求解，其運行結(jié)果如下：

59.615 4

20.000 0

3 結(jié)論

多目標(biāo)規(guī)劃在生產(chǎn)、經(jīng)濟活動、科學(xué)實驗和工程設(shè)計中有著非常廣泛的運用，但多目標(biāo)規(guī)劃在實際應(yīng)用過程中，由于存在多個目標(biāo)，要求各目標(biāo)同時取得較優(yōu)的值，從而使得求解的方法與過程都相對復(fù)雜﹒利用理想點法將多目標(biāo)規(guī)劃問題化為單目標(biāo)規(guī)劃問題，借助MATLAB軟件計算可以達(dá)到對多目標(biāo)規(guī)劃問題求解更為簡便、高效、準(zhǔn)確的目標(biāo)，從而可將此問題推廣到更高維的情形，也可以將此方法推廣到更多領(lǐng)域，更好地利用多目標(biāo)規(guī)劃解決實際問題﹒

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(責(zé)任編校：龔倫峰)

Research on the Ideal Point Method of Multi-objective Programming Based on MATLAB

YANG Wumei1, LIU Taowen2

(1. Department of Basic Courses, Yiyang Vocational and Technical College, Yiyang, Hunan 413049, China; 2. School of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha, Hunan 410012, China)

The common multi-objective programming problems in production and economic activities are analyzed in this paper. The basic idea, feature and development process of the ideal point method on the basis of comparing, the exising multi-objective optimizing methods are investigated. Based on the ideal point method, the model construction, transformation and solution of the multi-objective planning of the factory procurement are executed, and then the problem is calculated and analyzed with MATLAB. Experimental results show that the proposed method is simple, practical and highly efficient, and outperforms the classical multi-objective programming methods.

multi-objective programming; evaluation function method; ideal point method; MATLAB

O1

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2017.04.0013

1672–7304(2017)04–0060–04

2017-06-18

湖南省教育廳科研項目(15C1382)

楊伍梅(1981- )，女，湖南益陽人，講師，碩士，主要從事最優(yōu)化理論與算法研究﹒E-mail: 40748054@qq.com