高考中數(shù)列求和題型歸納與方法總結(jié)

薛寶娜

數(shù)列求和是數(shù)列的一個重要內(nèi)容，雖然教材中只講解了兩類特殊數(shù)列，即等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和，但數(shù)列求和問題能考查學(xué)生對數(shù)列的整體認(rèn)識，對通項公式的理解，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化這一重要數(shù)學(xué)思想，同時還可以考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，故本文重點(diǎn)歸納2017年高考中數(shù)列求和問題的解決方法.

一、公式法

對于一個普通的數(shù)列，若通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造后，可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，則直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列求和公式求和.

例1 （2017年全國1卷·文）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求an的通項公式；

（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列。

解析（1）an=a1·qn-1=-2n

（2）由（1）得sn=a1（1-qn）1-q=-21--2n1--2=23-2n-1.

點(diǎn)評：本題求解的關(guān)鍵是求出數(shù)列an的通項公式，由于an為等比數(shù)列，直接利用等比數(shù)列求和公式求和.

二、錯位相減法

錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的新數(shù)列求和問題，這種方法運(yùn)算過程復(fù)雜，運(yùn)算量大，學(xué)習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)對解題過程的訓(xùn)練，重視運(yùn)算能力的培養(yǎng).

例2 （2017年天津卷·文）已知an為等差數(shù)列，前n項和為sn（n∈N*），bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，s11=11b4.

（1）求an和bn的通項公式；

（2）求數(shù)列a2nbn 的前n項和（n∈N*）.

解析（1）an的通項公式為an=3n-2，bn的通項公式為bn=2n.

（2）設(shè)數(shù)列a2nbn的前n項和為Tn，由an=3n-2，有

Tn=4×2+10×22+16×23+···+（6n-2）×2n，2Tn=4×22+10×23+16×24+···+（6n-8）×2n+（6n-2）×2n+1.上述兩式相減，得-Tn=4×2+6×22+6×23+···+6×2n-（6n-2）×2n+1=12×（1-2n）1-2-4-（6n-2）×2n+1=-3n-42n+2+16.所以，數(shù)列a2nbn的前n項和為-3n-42n+2+16.

點(diǎn)評 錯位相減法也是等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法.利用此方法求解由等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn對應(yīng)項之積組成的數(shù)列的前n項和. 通過對求和公式同乘以數(shù)列bn的公比，再與原式錯位相減后，左邊化為Sn的形式，右邊化為可求和的形式.

三、裂項相消法

裂項相消法主要用于通項為1anan+1型數(shù)列的前n項和問題，其中an若為等差數(shù)列，變形可得1anan+1=1d1an-1an+1，從而將通項分裂成2項之差，通過相加過程使部分項相互抵消，最后剩下有限項的和.

例3 （2017年全國2卷？理）等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，則∑nk=11Sk=.

解析 設(shè)an首項為a1，公差為d.則a3=a1+2d=3，s4=4a1+6d=10.解得a1=1，d=1，則an=n，sn=nn+12.

∑nk=11sk=21×2+22×3+···+2nn-1+2nn+1=21-12+12-13+···+1n-1-1n+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.

點(diǎn)評 利用裂項相消的方法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩2項，后面也剩2項，再就是將通項公式裂項后與原不等式不等，需要調(diào)整前面的系數(shù)，如1n（n+2）=12（1n-1n+2）.

四、分組求和法

有些數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但對其通項進(jìn)行拆分或變形后可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見數(shù)列的和或差的形式，可對各特殊數(shù)列分別求和，然后再合并.2017年高考沒有考查分組求和，2016年只在一道證明題證明的過程中考查到，但這種求和方法很好，在此選了2015年的一道高考題，對這種方法進(jìn)行歸納總結(jié).

例4 （2015福建卷）等差數(shù)列an中，a2=4，a4+a7=15.

（1）求數(shù)列an的通項公式；

（2）設(shè)bn=2an-2+n，求b1+b2+b3+···+b10.

解析（1）數(shù)列an的通項公式為an=n+2.

（2）由（1）得，bn=2n+n，所以b1+b2+b3+···+b10=（2+1）+（22+2）+（23+3）+···+（210+10）=（2+22+23+···+210）+（1+2+3+···+10）=2（1-210）1-2+（1+10）×102=（211-2）+55=2101.

點(diǎn)評 求數(shù)列前n項和，首先考慮其通項公式，根據(jù)通項公式的不同特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的求和方法，本題bn=2n+n為“等比+等差”型，故可采取分組求和法求其前10項和.

數(shù)列求和的方法靈活多變，還有一些方法在高考中出現(xiàn)的較少，如倒序相加法、數(shù)學(xué)歸納法等.總之，數(shù)列求和是高考重點(diǎn)內(nèi)容之一，能有效考查考生對數(shù)列的整體把握及解題中的轉(zhuǎn)化能力，靈活把握數(shù)列的數(shù)字特點(diǎn)，活用各種方法是順利解決問題的關(guān)鍵.

（作者單位：甘肅省鎮(zhèn)原縣平泉中學(xué) 744500）endprint