淺談輔助函數(shù)在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

辛小剛

摘 要：通過構(gòu)造輔助函數(shù)對(duì)初等數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的分解因式、證明整除性問題、確定參數(shù)的取值范圍以及解方程與方程解的個(gè)數(shù)討論等四類一般問題給予巧妙解答或證明。

關(guān)鍵詞：輔助問題；輔助函數(shù)；解題

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，人們往往會(huì)碰到各種各樣的障礙，不能簡潔地給出答案。數(shù)學(xué)教育家G.波利亞指出：“人的高明之處就在于當(dāng)他碰到一個(gè)不能直接克服的障礙時(shí)，他就會(huì)繞過去；當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時(shí)，就想出一個(gè)合適的輔助問題”。構(gòu)造輔助的問題，并不是只是為了它本身，而是要通過輔助問題來幫助我們解決原來的問題，這才是我們要達(dá)到的目的，而輔助問題就只是我們用來達(dá)到目的的手段，是將原來的問題轉(zhuǎn)化的橋梁。

輔助函數(shù)是數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造的輔助問題中的一種，它是在數(shù)學(xué)問題提供的信息的基礎(chǔ)上構(gòu)造的函數(shù)，然后再利用這個(gè)函數(shù)的特性來進(jìn)行求解。構(gòu)造輔助函數(shù)，就是把原來的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成容易解決的輔助函數(shù)問題，其解題過程是：

數(shù)學(xué)問題M輔助問題G解決F解決M

全面把握數(shù)學(xué)問題所提供的信息：即問題本身的特點(diǎn)、背景、需要以及與其他問題之間的聯(lián)系，運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想，通過認(rèn)真地觀察，深入地思考，然后構(gòu)造出輔助函數(shù)，這是解題的關(guān)鍵。這個(gè)構(gòu)造過程是一個(gè)從特殊到一般的過程。反過來，運(yùn)用輔助函數(shù)返回去解決原來的數(shù)學(xué)問題又是一個(gè)從一般到特殊的過程。

利用輔助問題解決數(shù)學(xué)問題，也表明不少數(shù)學(xué)問題從一般化入手更容易得到解決?！耙话恪北取疤厥狻备鼮樯羁痰胤从持挛锏谋举|(zhì)，啟發(fā)我們從普通的聯(lián)系中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解題的途徑。

在初等數(shù)學(xué)問題中，有不少問題是用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法求解的，我們通過對(duì)一些典型命題在證明中構(gòu)造的輔助函數(shù)，討論構(gòu)造輔助函數(shù)的一些技巧。

一、 分解因式

【例5】和【例6】把題目中已知的條件或者要證結(jié)論重新組合成一種新的關(guān)系，即構(gòu)造輔助函數(shù)，然后借助函數(shù)圖象的直觀性以及相關(guān)性，將抽象或隱含的條件清晰化，從而化難為易，解決問題。

構(gòu)造輔助函數(shù)可沿以下兩條思路去思考：一是如果考查的問題有明顯的幾何意義，那可憑借幾何直觀引出必然聯(lián)系來構(gòu)造函數(shù)；二是通過恒等變形，將原問題轉(zhuǎn)化成等價(jià)的更加簡潔的形式，從中找出必然聯(lián)系，構(gòu)造輔助函數(shù)，這種“執(zhí)果索因”的方法比之前的方法更為廣泛適用。

由于函數(shù)的內(nèi)涵極為豐富，蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想，因而用輔助函數(shù)將問題轉(zhuǎn)為函數(shù)問題，借助函數(shù)思想方法來解決這些問題有很大的應(yīng)用空間，通過引進(jìn)輔助函數(shù)還可以解決其他大量相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。輔助函數(shù)解題法是解題的一個(gè)常用且十分有效的方法，只要我們用心分析各類數(shù)學(xué)問題與函數(shù)的直接或間接聯(lián)系，大膽聯(lián)想、猜測、推理，然后利用轉(zhuǎn)化運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，就可構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，創(chuàng)造出巧妙簡捷的解題方法。

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