基于壓縮感知和Contourlet變換的地震數(shù)據(jù)重建方法

張 良,韓立國(guó),劉爭(zhēng)光,李 宇

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130026)

張良,韓立國(guó),劉爭(zhēng)光,等.基于壓縮感知和Contourlet變換的地震數(shù)據(jù)重建方法[J].石油物探,2017,56(6):-811

ZHANG Liang,HAN Liguo,LIU Zhengguang,et al.Seismic data reconstruction based on compressed sensing and Contourlet transform[J].Geophysical Prospecting for Petroleum,2017,56(6):-811

基于壓縮感知和Contourlet變換的地震數(shù)據(jù)重建方法

張 良,韓立國(guó),劉爭(zhēng)光,李 宇

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130026)

基于壓縮感知技術(shù)的地震數(shù)據(jù)字典重建算法在訓(xùn)練字典時(shí)耗時(shí)較長(zhǎng),基于壓縮感知技術(shù)的稀疏變換重建算法對(duì)稀疏基的要求較高,權(quán)衡信噪比和時(shí)間,采用目前已應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)重建的Contourlet稀疏基,提出了一種基于壓縮感知技術(shù)和Contourlet變換的地震數(shù)據(jù)重建方法。首先根據(jù)設(shè)計(jì)的測(cè)量矩陣,在Contourlet域中采用快速迭代收縮閾值算法(Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm,FISTA)重建缺失的稀疏系數(shù),然后進(jìn)行Contourlet反變換完成地震數(shù)據(jù)的缺失重建。合成數(shù)據(jù)和實(shí)際地震數(shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果表明,基于壓縮感知技術(shù)的Contourlet變換能夠很好地完成地震數(shù)據(jù)的缺失重建;與壓縮感知技術(shù)中常用的短時(shí)傅里葉變換和小波變換方法相比,基于壓縮感知的Contourlet變換重建結(jié)果信噪比更高,并且增加的耗時(shí)有限,在可以接受的范圍之內(nèi)。

壓縮感知;Contourlet變換;測(cè)量矩陣;地震數(shù)據(jù)重建;快速迭代收縮閾值

地震數(shù)據(jù)的缺失重建是地震數(shù)據(jù)處理的主要任務(wù)之一。目前,地震數(shù)據(jù)缺失重建的方法有三大類:預(yù)測(cè)濾波法、波動(dòng)方程法以及數(shù)學(xué)變換法。預(yù)測(cè)濾波法有F-X域預(yù)測(cè)誤差濾波法[1]以及基于加權(quán)最小二乘回歸的F-X域預(yù)測(cè)濾波插值法等[2],該類方法不僅計(jì)算量偏大,而且較容易引入誤差。波動(dòng)方程法有AMO局部疊加法[3]以及NMO與逆DMO聯(lián)合法[4]等,該類方法需要地下介質(zhì)速度參數(shù)且計(jì)算量大。數(shù)學(xué)變換法有基于曲波變換的地震數(shù)據(jù)重建方法[5]、基于傅里葉變換的地震數(shù)據(jù)重建方法[6]以及字典學(xué)習(xí)地震數(shù)據(jù)重建方法[7-8],該類方法理論公式直觀,計(jì)算結(jié)果偏差較小,比較適用于實(shí)際生產(chǎn)。

由壓縮感知理論可知:倘若數(shù)據(jù)具有稀疏性,那么只要采集少量的數(shù)據(jù),就可以利用合適的重建算法準(zhǔn)確地重建原始數(shù)據(jù)[9-10]。而地震信號(hào)可以通過(guò)數(shù)學(xué)變換進(jìn)行稀疏表示,滿足壓縮感知應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)重建的先決條件,因此,壓縮感知技術(shù)在基于傅里葉變換[11]、小波變換[12]、曲波變換[13]和Shearlet變換[14]的地震數(shù)據(jù)重建中得到了較大發(fā)展。其中,選擇一個(gè)合適的稀疏基十分重要,它直接影響到地震數(shù)據(jù)的重建效果[15]。傅里葉變換缺乏描述地震信號(hào)局部時(shí)頻特征的能力;短時(shí)傅里葉變換能夠解決局部時(shí)頻問(wèn)題,但是窗口難以完全自適應(yīng);小波變換雖然彌補(bǔ)了窗口難以自適應(yīng)的缺陷,但是對(duì)于二維圖像中線性特征的描述能力較弱。DO等[16]提出了Contourlet變換,首先利用拉普拉斯金字塔結(jié)構(gòu)對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度分解并捕獲奇異點(diǎn),然后利用方向?yàn)V波器合成Contourlet域中的稀疏系數(shù)。相對(duì)小波變換和短時(shí)傅里葉變換,它能夠更好地描述地震信號(hào)中的線性特征。目前,Contourlet變換已被廣泛應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)處理,如:在Contourlet域中對(duì)地震數(shù)據(jù)的稀疏系數(shù)進(jìn)行閾值處理,從而完成地震數(shù)據(jù)重建[17];采用Contourlet和Curvelet相結(jié)合的方法對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏表示,再通過(guò)正則化方法對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪及重建[18];采用Contourlet變換來(lái)增強(qiáng)地震剖面的橫向連續(xù)性[19]。本文提出一種基于壓縮感知和Contourlet變換的地震數(shù)據(jù)重建方法,通過(guò)合成數(shù)據(jù)測(cè)試分析和實(shí)際地震數(shù)據(jù)重建驗(yàn)證了方法的有效性。

1 基本原理

1.1 壓縮感知

根據(jù)壓縮感知理論,地震數(shù)據(jù)的缺失重建是將M維不完整的地震數(shù)據(jù)f(f∈RM)恢復(fù)為N維完整的地震數(shù)據(jù)y(y∈RN,N>M):

(1)

式中,φ(φ∈RM×N)為測(cè)量矩陣算子。壓縮感知技術(shù)針對(duì)稀疏信號(hào),因此將y在可變域上變稀疏:

(2)

式中:φ為稀疏變換算子,s為y在可變域上的稀疏系數(shù)。將(1)式和(2)式合寫為:

(3)

式中:φH為稀疏逆變換算子。引入重構(gòu)算子A=φφH,將其代入(3)式中,有如下表示:

(4)

公式(4)中的未知量個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)(N>M),所以為病態(tài)方程,無(wú)法進(jìn)行求解。CANDES等[20]指出,在s具有稀疏性和A滿足有限等距性質(zhì)(restricted isometry property,RIP)的情況下,可以對(duì)欠定方程(4)進(jìn)行求解。即對(duì)于稀疏度為k的任意稀疏信號(hào)s,存在常數(shù)νk∈(0,1),使A滿足:

(1-νk)‖s‖2≤‖As‖2≤(1+νk)‖s‖2

(5)

一般情況下,A是否滿足RIP很難由(5)式判定。BARANIUK[21]提出,當(dāng)φH與φ不相干時(shí),A很大概率上滿足RIP。因?yàn)锳=φφH,φH與φ的相干性可以定義為[22]:

(6)

式中,ai為A的第i列向量。在地震數(shù)據(jù)采集中,因?yàn)楦鱾€(gè)方位的檢波器采集的是點(diǎn)震源發(fā)出的脈沖,所以φ是一個(gè)單位矩陣,它與φH不相干。當(dāng)該地震道未采集到數(shù)據(jù)時(shí),φ的ai列元素為0,采集到數(shù)據(jù)時(shí),φ的ai列元素為1[23]。

此時(shí),求解方程(4)等價(jià)于求解下述模型:

(7)

(8)

(8)式是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題,可改寫為:

(9)

(10)

在壓縮感知技術(shù)中,稀疏變換階段及重建階段的算法選擇十分重要,直接影響到重建效果。

1.2Contourlet變換

本文在壓縮感知的稀疏變換階段選擇Contourlet變換[26]。該變換主要由拉普拉斯金字塔分解和方向?yàn)V波器組采集兩部分組成。拉普拉斯金字塔分解即將待分解的地震數(shù)據(jù)y與低通濾波算子d卷積,第l層的低頻信息yl可以表示為:

(11)

式中:F為金字塔分解總層數(shù),Al為地震數(shù)據(jù)的行,Bl為地震數(shù)據(jù)的列。第l層的高頻信息ylh可以表示為:

(12)

(13)

式中:p為方向角度。方向?yàn)V波器組對(duì)每一層的ylh進(jìn)行分解,得到相應(yīng)的稀疏系數(shù)sl,以內(nèi)積形式表示為:

(14)

式中:γ為Contourlet系數(shù)空間RZ(Z=0,1,…,2l-1)的基函數(shù)。

1.3 快速迭代收縮閾值算法

本文在壓縮感知的重建階段采用快速迭代收縮閾值算法(FISTA)[27-28],它是ISTA[29]的一種改進(jìn)算法。ISTA的迭代形式為:

(15)

(16)

參數(shù)Ωn+1作為初始點(diǎn),它表示前兩次迭代的線性組合:

(17)

式中:βn+1是一個(gè)迭代更新的參量,定義為:

(18)

(19)

2 合成數(shù)據(jù)測(cè)試及分析

本文采用信噪比RSN來(lái)衡量地震數(shù)據(jù)的重建效果:

(20)

采用壓縮感知技術(shù)對(duì)圖1b中隨機(jī)缺失50%地震道的合成炮集數(shù)據(jù)進(jìn)行重建。圖2a至圖2c分別為采用傅里葉稀疏基、小波稀疏基和Contourlet稀疏基重建的結(jié)果。重建過(guò)程中90%較小的稀疏系數(shù)被閾值濾除,前后兩次迭代的信噪比相對(duì)誤差小于1%時(shí)停止迭代。

從圖2可以看出,基于壓縮感知技術(shù)的各稀疏基都可以完成合成數(shù)據(jù)的重建。其中傅里葉稀疏基的重建用時(shí)最短,為10.003s,但是重建結(jié)果稍差,含有部分分布在同相軸周圍的噪聲,能量較弱的同相軸湮沒(méi)在噪聲之中,勉強(qiáng)能識(shí)別出來(lái)。小波稀疏基的重建用時(shí)為11.193s,重建結(jié)果比傅里葉稀疏基好,只含有微量噪聲,同相軸幾乎都能識(shí)別。而Contourlet稀疏基重建的結(jié)果最好,同相軸清晰可見(jiàn),幾乎不含噪聲,重建用時(shí)為14.751s。圖3對(duì)比了本文方法不同迭代次數(shù)重建的合成炮集數(shù)據(jù)Contourlet域中最外層稀疏系數(shù);圖4為不同稀疏基重建的合成炮集數(shù)據(jù)采樣率和信噪比關(guān)系曲線;表1對(duì)比了本文方法不同迭代次數(shù)重建隨機(jī)缺失50%地震道的合成炮集數(shù)據(jù)信噪比。

圖1 原始合成炮集數(shù)據(jù)(a)和隨機(jī)缺失50%的合成炮集數(shù)據(jù)(b)

圖2 不同稀疏基重建的合成炮集數(shù)據(jù)對(duì)比 a 傅里葉稀疏基; b 小波稀疏基; c Contourlet稀疏基

圖3 本文方法不同迭代次數(shù)重建的合成炮集數(shù)據(jù)Contourlet域中最外層稀疏系數(shù) a 5次迭代; b 10次迭代; c 15次迭代; d 20次迭代

從圖3可以看出,隨著迭代次數(shù)的增加,Contourlet域中最外層稀疏系數(shù)顯示的信息逐漸增加,對(duì)數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)的描述越來(lái)越清晰。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到15次后,最外層稀疏系數(shù)不再有明顯變化。

圖4 不同稀疏基重建的合成炮集數(shù)據(jù)采樣率和信噪比關(guān)系曲線

迭代次數(shù)/次信噪比/dB514．87151025．94821534．57952034．6012

利用壓縮感知技術(shù)對(duì)隨機(jī)缺失20%～70%地震道的合成炮集數(shù)據(jù)進(jìn)行重建的結(jié)果均表明,采用Contourlet稀疏基比采用傅里葉稀疏基和小波稀疏基重建的結(jié)果信噪比高。

3 實(shí)際地震數(shù)據(jù)重建及分析

采用如圖5a所示實(shí)際炮集數(shù)據(jù)測(cè)試了本文方法對(duì)實(shí)際地震數(shù)據(jù)的重建性能。該炮集有100個(gè)地震道,每道有1000個(gè)采樣點(diǎn),時(shí)間采樣率為0.001s。圖5b為隨機(jī)缺失50%地震道的實(shí)際炮集數(shù)據(jù)。

采用壓縮感知技術(shù)對(duì)圖5b中隨機(jī)缺失50%地震道的實(shí)際炮集數(shù)據(jù)進(jìn)行重建。圖6a至圖6c分別為采用傅里葉稀疏基、小波稀疏基和Contourlet稀疏基重建的結(jié)果,重建過(guò)程中90%較小的稀疏系數(shù)被閾值濾除,前后兩次迭代的信噪比相對(duì)誤差小于1%時(shí)停止迭代。

從圖6可以看出,基于壓縮感知技術(shù)的各稀疏基都能完成實(shí)際地震數(shù)據(jù)的重建。其中傅里葉稀疏基的重建用時(shí)為11.848s,重建結(jié)果一般,含有微量噪聲,重建同相軸能量較弱,模糊不清。小波稀疏基的重建用時(shí)為13.786s,重建結(jié)果稍好,所含噪聲較少,能識(shí)別出能量較強(qiáng)的同相軸。Contourlet稀疏基的重建用時(shí)為18.044s,重建結(jié)果比前兩者好,幾乎不含噪聲,能量很弱的同相軸也可以識(shí)別出來(lái)。圖7對(duì)比了本文方法不同迭代次數(shù)重建的實(shí)際炮集數(shù)據(jù)Contourlet域中最外層稀疏系數(shù),圖8為不同稀疏基重建的實(shí)際炮集數(shù)據(jù)采樣率和信噪比關(guān)系曲線,表2對(duì)比了本文方法不同迭代次數(shù)重建隨機(jī)缺失50%地震道的實(shí)際炮集數(shù)據(jù)信噪比。

從圖7可以看出,隨著迭代次數(shù)的增加,Contourlet域中最外層稀疏系數(shù)對(duì)實(shí)際地震數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)描述越來(lái)越豐富,當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到18次后,Contour-let域中最外層稀疏系數(shù)不再有明顯增加。

圖5 實(shí)際炮集數(shù)據(jù)(a)和隨機(jī)缺失50%地震道的炮集數(shù)據(jù)(b)

圖6 不同稀疏基重建的實(shí)際炮集數(shù)據(jù)對(duì)比 a 傅里葉稀疏基; b 小波稀疏基; c Contourlet稀疏基

迭代次數(shù)/次信噪比/dB106．23271511．72551816．41072016．4183

圖7 本文方法不同迭代次數(shù)重建的實(shí)際炮集數(shù)據(jù)Contourlet域中最外層稀疏系數(shù) a 10次迭代; b 15次迭代; c 18次迭代; d 20次迭代

圖8 不同稀疏基重建的實(shí)際炮集數(shù)據(jù)采樣率和信噪比關(guān)系曲線

利用壓縮感知技術(shù)對(duì)隨機(jī)缺失20%～70%地震道的實(shí)際地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建的結(jié)果均表明,采用Contourlet稀疏基比采用傅里葉稀疏基和小波稀疏基重建的結(jié)果信噪比高。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在壓縮感知技術(shù)框架下引入Contourlet稀疏基,提出了一種基于壓縮感知和Contourlet變換的地震數(shù)據(jù)重建方法。

合成數(shù)據(jù)和實(shí)際地震數(shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果表明,在隨機(jī)缺失20%～70%地震道時(shí),利用壓縮感知技術(shù)能夠完成地震數(shù)據(jù)的重建,Contourlet稀疏基相比傅里葉稀疏基和小波稀疏基具有更好的重建效果,所增加的耗時(shí)有限,在可接受的范圍之內(nèi)。

雖然本文方法重建的地震數(shù)據(jù)信噪比要比壓縮感知技術(shù)常用的稀疏基高,但還不能令人完全滿意,因此,我們下一步的研究方向是構(gòu)造重建效果更好的稀疏基。

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(編輯：戴春秋)

SeismicdatareconstructionbasedoncompressedsensingandContourlettransform

ZHANG Liang,HAN Liguo,LIU Zhengguang,LI Yu

(CollegeofGeo-explorationScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130026,China)

Training a dictionary is time-consuming when using a standard algorithm for the reconstruction of dictionary learning based on compressed sensing.The algorithm for the reconstruction of sparse transforms based on compressed sensing is also problematic,as it has high requirements for sparse basis.Therefore,weighing the signal-to-noise ratio (SNR) and time consumption,introducing the Contourlet sparse basis which could be used in seismic data reconstruction,the paper proposes seismic data reconstruction using Contourlet transform based on compressed sensing.The method uses the fast iterative shrinkage-thresholding algorithm (FISTA) to reconstruct the missing sparse coefficients in the Contourlet domain according to the designed measurement matrix,and then performs a Contourlet inverse transform to reconstruct the missing seismic data.Testing on both synthetic data and field data indicates that the proposed method is effective.In comparison with the short-time Fourier transform and the wavelet transform,the proposed Contourlet transform based on compressed sensing has a higher SNR,and improved time efficiency.

compressed sensing,Contourlet transform,measurement matrix,seismic data reconstruction,fast iterative shrinkage-thresholding

2016-10-12;改回日期2017-03-27。

張良(1991—),男,碩士在讀,主要從事地震數(shù)據(jù)重建及去噪方法研究工作。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41304086)資助。

This research is financially supported by the Natural Science Foundation of China (Grant No.41304086).

P631

A

1000-1441(2017)06-0804-08

10.3969/j.issn.1000-1441.2017.06.005