可補形為長方體計算的棱錐外接球問題

河南省洛陽市河南科技大學(xué)附屬高級中學(xué)(471003) 李昭輝

河南省洛陽市洛陽理工學(xué)院數(shù)學(xué)與物理教學(xué)部(471023) 童新安

可補形為長方體計算的棱錐外接球問題

河南省洛陽市河南科技大學(xué)附屬高級中學(xué)(471003) 李昭輝

河南省洛陽市洛陽理工學(xué)院數(shù)學(xué)與物理教學(xué)部(471023) 童新安

近年來,棱錐的外接球問題作為高考的熱點問題,對學(xué)生的空間想象能力和邏輯分析能力提出了較高要求.而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》中指出[1]：“在立體幾何初步部分,學(xué)生將先從對空間幾何體的整體觀察入手,認識空間圖形;再以長方體為載體,直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系......”.所以在求解棱錐的外接球問題時,如果能發(fā)現(xiàn)棱錐滿足的某些特征,將其補形成長方體再進行計算,則往往能達到事半功倍的效果.本文介紹了幾種常見的能補形為長方體計算的棱錐外接球模型,并給出了示例.

一、長方體的外接球模型

定理 已知長方體ABCDA1B1C1D1,記其長AB=a,寬AD=b,高AA1=c,則其外接球的球心位于該長方體對角線的中心O處,如圖1所示;其外接球的半徑為

圖1

證明長方體的體對角線交于中點O處,由對稱性可知,O點到各頂點的距離相等,則O即外接球的球心;由勾股定理,在Rt△ABD中,AB=a,AD=b,所以所以故其外接球的半徑為r=

二、可補形為長方體計算的棱錐外接球模型

模型1“三垂直”模型

如圖2.1所示,若三菱錐D-ABC滿足DA⊥平面ABC,∠BAC=90?,AB=a,AC=b,AD=c,則該三菱錐的外接球的半徑為

圖2.1

圖2.2

分析該三棱錐的特點為一頂點A處的三條棱AB、AC、AD兩兩互相垂直.可簡記該模型為“三垂直”.將該三棱錐補形為以該三條棱分別為長、寬、高的長方體,如圖2.2所示.則由上述定理可知,該三棱錐外接球的半徑為

例 1 (2017年廣元模擬)如圖 3.1,邊長為 2的正方形ABCD中,點E、F分別是AB、BC的中點,將△ADE,△EBF,△FCD分別沿DE,EF,FD折起,使得A、B、C三點重合于點A′,如圖3.2.若四面體A′EFD的四個頂點在同一個球面上,則該球的半徑為___

圖3.1

圖3.2

解 四面體A′EFD中,在A′點處的三條棱A′E、A′F、A′D兩兩互相垂直,符合“三垂直”模型特征,又A′E=A′F=1,A′D=2,故該三棱錐外接球的半徑為

對模型1作適當(dāng)擴展,可得如下推論1.

推論1如圖4.1所示,若四棱錐P-ABCD滿足PA⊥平面ABCD,平面ABCD為矩形,AB=a,AD_=b,AP=c,則該三棱錐的外接球的半徑為

圖4.1

圖4.2

分析該四棱錐的底面矩形ABCD可看作補形而成.由模型1可知,該四棱錐仍可補形為如圖4.2所示的長方體,則其外接球半徑為

例2(2017年重慶模擬)某幾何體的三視圖如圖5.1所示,則該幾何體的外接球的表面積為( )

A.24πB.12πC.8πD.6π

圖5.1

圖5.2

解 畫出該幾何體的直觀圖如圖5.2所示,底面ABCD為邊長為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,PA=2.根據(jù)推論1,該四棱錐可補形為以AB、AD、AP分別為長、寬、高的長方體,所以其外接球半徑為其外接球表面積為S表=4πr2=6π,答案選D.

模型2“直角+垂”模型

如圖6.1所示,若三棱錐D-ABC滿足DC⊥平面ABC,∠BAC=90?,AB=a,AC=b,CD=c,則該三棱錐的外接球的半徑為

圖6.1

圖6.2

分析 該三棱錐的特點為底面三角形ABC為一直角三角形,在其非直角頂點C處有一條棱CD⊥底面ABC.可簡記該模型為“直角+垂”.可將該三棱錐補形為以底面ABC的兩條直角邊AB、AC和垂線CD分別為長、寬、高的長方體,如圖6.2所示.則由上述定理可知,該三棱錐的外接球的半徑為

例 3(2008年浙江卷)如圖 7,已知球O的面上四點A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=則球O的體積等于___

圖7

解 該三棱錐中,AB⊥BC,故底面三角形ABC為直角三角形,

在其非直角頂點A處有一條棱DA⊥底面ABC.根據(jù)前述“直角+垂”模型,則可將其補形為以DA、AB、BC為邊長的長方體.故外接球半徑所以外接球的體積

對模型2作適當(dāng)擴展,可得如下推論2.

推論2如圖8.1所示,若四棱錐A-BCDE滿足矩形BCDE⊥平面ABC,在△ABC中,∠BAC=90?,AB=a,AC=b,CD=c,則該四棱錐的外接球的半徑為

圖8.1

圖8.2

分析 該四棱錐的側(cè)面矩形BCDE可看作Rt△BCD補形而成.由模型2可知,該四棱錐仍可補形為如圖8.2所示的長方體,則其外接球半徑為

例 4 (2016年河南模擬)如圖 9,已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AD=2,則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為()

A.2πB.4πC.8πD.12π

圖9

其外接球表面積為S表=4πr2=12π,答案選D.

模型 3“對相等”模型如圖 10.1所示,若三棱錐A-BCD滿足AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=p,則該三棱錐的外接球的半徑為r=

圖10.1

圖10.2

分析 該三棱錐的特點為三組相對的棱AB與CD、AC與BD、AD與BD分別相等.可簡記該模型為“對相等”.可將該三棱錐補形為如圖10.2所示的長方體,其中三組相對的棱分別位于長方體的六個面的面對角線上.若仍記長方體的長、寬、高分別為a、b、c,則由勾股定理可知,

所以其外接球半徑

例5(2017年鄭州三模)四面體A-BCD中,AB=則四面體A-BCD外接球的表面積為()

A.50πB.100πC.200πD.300π

解 很明顯,該四面體滿足“對相等”模型特征.記

若在模型3中,令三棱錐的邊長都相等,可得如下：

推論3 若正四面體的邊長為a,則其外接球半徑為

分析 正四面體的所有邊長均相等,故在模型3中,取m=n=p=a,則其外接球半徑為的四面體的四個頂點在同一球面上,則此球的表面積為( )

A.3πB.4πC.D.6π

例6(2003年全國卷)棱長都為

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].人民教育出版社,2003.