氣體邊界層對平面液膜的穩(wěn)定性影響

衣 然，覃粒子

(北京航空航天大學 宇航學院， 北京100191)

氣體邊界層對平面液膜的穩(wěn)定性影響

衣 然，覃粒子

(北京航空航天大學 宇航學院， 北京100191)

利用線性化方程處理，分別以線性型、二次函數(shù)型以及修正的Stokes型3種不同的氣體速度型對自由平面液膜進行了穩(wěn)定性分析，并與無黏氣體進行了對比；結(jié)果表明，修正的Stokes速度型與已有文獻中的實驗結(jié)果吻合最好，且液膜的穩(wěn)定性隨邊界層的厚度增大而提高?？紤]氣體黏性能夠提高對平面液膜穩(wěn)定性分析的準確性。

平面液膜；黏性氣體；邊界層速度型模型；線性穩(wěn)定性分析

自由平面液膜進入氣體環(huán)境下的穩(wěn)定性研究在造紙[1]、薄膜淋涂[2]等行業(yè)中有廣泛的應用價值，并對發(fā)動機燃燒室中的噴霧燃燒[3]有著重要的基礎研究意義。這是由于噴霧質(zhì)量對發(fā)動機燃燒效率尤為重要，而液流破碎霧化的先期就是由射流的不穩(wěn)定性所引發(fā)。平面液膜擁有較為簡單的幾何結(jié)構(gòu)，其不受視線遮擋的特點使其更易在實驗中展現(xiàn)其表面的波動情況及破裂階段與相應特征。對于更常見的環(huán)形液膜來說，平面液膜是其曲率半徑趨近于無窮大時的極限情況，但從不穩(wěn)定的發(fā)展階段和破裂特點來看，二者并沒有本質(zhì)的區(qū)別[4]。因此，理論分析的相對簡單性和實驗觀測的清晰性導致平面液膜的不穩(wěn)定性自20世紀50年代以來一直是眾多學者的研究方向[5-8]。通過總結(jié)前人的研究結(jié)果，可以對平面液膜的穩(wěn)定性給出以下簡要的結(jié)論：① 平面液膜的失穩(wěn)狀態(tài)分為反對稱和對稱兩種模式，而失穩(wěn)的主導模式是要根據(jù)流體的物性參數(shù)及流動條件決定的；② 平面液膜失穩(wěn)的主要原因是氣、液界面的速度差異引致的；③ 液體的黏性對液膜的穩(wěn)定性具有重要影響，且在大多常見物性條件下，黏性主要起到了抑制失穩(wěn)的作用；④ 氣體的可壓縮性會對液膜的失穩(wěn)有促進作用，尤其是在氣體馬赫數(shù)超過0.3后，這一促進作用愈加明顯。

為了簡化計算，氣體的黏性常在理論計算中被忽略，這是由于液體的黏性與之相比對液膜的穩(wěn)定性影響顯著[9]。但實際上氣體的黏性仍會對氣液界面的相互作用產(chǎn)生一定影響，且更能反映真實的物理情況。但受到實驗手段的制約，難以精確得到氣體的邊界層速度型，因此需要對氣體速度型進行理論建模。本文考慮了氣體的黏性，并針對3種不同的氣體邊界層速度型分析它們對平面液膜穩(wěn)定性的影響。其中，在利用修正的Stokes速度型時，改進了Tammisola等[1]提出的速度型方程從而使邊界層隨空間的變化更能符合實際的物理意義。在求解控制方程及邊界條件時，采用譜方法進行數(shù)值編程計算，得到了相應氣體速度型下液膜的色散曲線。最后比較了無黏氣體下的結(jié)果，并與文獻中的實驗結(jié)果進行對比分析。

1 物理模型及控制方程

取圖1所示的液膜反對稱擾動物理模型，由于本文所討論的氣體速度范圍遠小于聲速，因此氣、液兩相均視為不可壓縮流體。

圖1 二維平面液膜物理擾動模型

(1)

(2)

(3)

對于氣體，即ylt;-1 orygt;1時，無量綱線性控制方程為：

(4)

(5)

(6)

設擾動表面的位置為y=(-1)j+1+ηj(x,t)，其中j=1與j=2分別代表液膜的上下表面。則氣、液界面的無量綱線性運動邊界條件為

(7)

(8)

(9)

氣、液界面的無量綱線性切向應力邊界條件為

(10)

氣、液界面的無量綱線性法向應力邊界條件為：

(11)

其中，無量綱數(shù)如表1所示。

表1 無量綱數(shù)定義

2 氣體邊界層的速度型

圖2給出了氣體在邊界層內(nèi)的速度型示意圖，仿照平板邊界層中的邊界層位移厚度定義，液膜上氣體邊界層的厚度定義為

(12)

2.1 線性速度型

將氣液界面的邊界層視作二維平板來流經(jīng)典問題的解的特殊形式。此時可根據(jù)卡門動量積分方法對不同邊界層進行求解計算。設線性速度型下的邊界層厚度為δ*，液膜兩側(cè)的氣體軸向速度為

(13)

根據(jù)邊界條件

(14)

圖2 氣體邊界層速度型示意圖

根據(jù)卡門動量積分方法，將均勻來流與靜止平板間的邊界層增長規(guī)律轉(zhuǎn)化為氣體與平面液膜間的邊界層增長規(guī)律，且平面液膜的上下兩面對稱。此時，由邊界層厚度表達式可以得到

(15)

(16)

其中t*為特征時間，與氣液相對速度有關。

2.2. 二次函數(shù)速度型

設邊界層內(nèi)二次函數(shù)型的氣體軸向速度表達式為

(17)

在計算邊界條件時，除了要滿足式(14)外，還需滿足

(18)

其中t*為特征時間，也與氣液相對速度有關，即給出。

2.3 修正的Stokes速度型

S?derberg等[10]將Stokes第一類問題的解延伸，并給出氣體速度型為

(19)

其中：erf代表誤差函數(shù)；η為無量綱數(shù)，即

(20)

(21)

3 線性穩(wěn)定性分析

采用線性穩(wěn)定性方法進行求解。線性流體力學方程組具有簡正模態(tài)形式的解：

(22)

其中：k為實數(shù)，代表液膜擾動波數(shù)；ω=ωr+iωi為復數(shù)，其中實部ωr代表增長率，虛部ωi代表了波動頻率。注意，由于在計算中取反對稱擾動模式，則有η1=η2。

3.1 氣體無黏

D(ω,k)x=0

(23)

則問題的實質(zhì)為求解方程具有非零解的條件特征值問題，即令|D(ω,k)|=0。在正弦模式下，解得無量綱色散方程為

(24)

3.2 氣體有黏

仍采用式(22)所示的擾動形式。當氣體有黏時，由于氣體速度型的存在，使得此時無法獲得解析解，而只能依靠數(shù)值計算的方法進行計算。這里采用Ye等[11]所述的譜方法，并基于Matlab實現(xiàn)數(shù)值計算過程，從而求解出給定K下對應的Ω值。

4 結(jié)果分析

圖3為按照Tammisola等[1]給出的實驗工況參數(shù)下的3種氣體速度型的色散曲線對比圖，其中散點為實驗數(shù)據(jù)，虛線為氣體無粘時的計算結(jié)果。在液膜軸向距離x=600下，當考慮氣體粘性時，線性型對應的增長率最小，二次函數(shù)型次之，修正的Stokes型最大。且Stokes速度型對應的色散曲線與實驗測量結(jié)果最為接近，這與Tammisola等[1]給出的結(jié)論一致，因此本文以Stokes速度型作為理論計算結(jié)果的最準確解。相比較氣體無黏情況，可以發(fā)現(xiàn)，氣體黏性能夠抑制液膜的失穩(wěn)，且氣體速度型的區(qū)別所帶來的色散曲線的差異遠小于忽略氣體黏性時所帶來的差別，即考慮氣體黏性時不論采用何種的速度型，都會減小氣體無黏時的計算誤差。因此在計算中采取形式較為簡單的線性、二次函數(shù)型速度型[12]也能取得與實驗計算接近的計算結(jié)果。

圖3 平面液膜進入靜止氣體環(huán)境下，理論色散曲線與實驗對比結(jié)果，包括考慮氣體粘性的3種速度型以及無粘氣體的計算結(jié)果。其中Rel=2 910，液膜無量綱軸向距離為x=600

由于主導波數(shù)對應的最大增長率代表了此波長在液膜表面波動中的增長速率最快，因此常被作為一個重要的特征參數(shù)。圖3給出了在不同軸向距離(x=200,400,…,1 800,2 000)下，3種速度型所對應的最大增長率Ωrm與其無量綱邊界層厚度δ的關系?？梢钥吹?，3種速度型下，Ωrm均與δ-1/2基本成正比關系，表明對同一種速度型而言，邊界層越厚，增長率越小，液膜越穩(wěn)定，且Stokes速度型對應的斜率最小，在對應x較小處(此工況下約為x=100)時，其最大增長率會被二次函數(shù)型反超。從這一角度來說，只有給出液膜軸向位置(或邊界層厚度)的前提下，討論線性、二次函數(shù)型相比理論準確解Stokes速度型而言的穩(wěn)定性，才是有意義的。

圖4 平面液膜進入靜止氣體環(huán)境下，3種氣體速度型下的最大增長率與不同軸向位置處(x=200,400,…,1 800,2 000)對應的邊界層厚度δ的關系其中Rel=2 910。

5 結(jié)論

1) 修正的Stokes速度型與文獻實驗對比結(jié)果最好。

2) 在氣體有黏情況下，速度型模型之間帶來的增長率的差異遠小于與氣體無黏結(jié)果的差異，證明了氣體黏性在準確計算色散曲線時的重要作用。

3) 同一種速度型下，液膜的穩(wěn)定性隨著氣體邊界層厚度的增大而提高。

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(責任編輯周江川)

TheEffectofGasBoundaryLayerontheInstabilityofaLiquidSheet

YI Ran， QIN Lizi

(School of Astronautics, Beihang University, Beijing 100191, China)

The effect of viscous air on the stability of a planar liquid sheet was studied. Three velocity profiles (linear, quadratic and modified Stokes models) were combined separately with linear instability analysis. Dispersion curves of the three conditions were compared with experimental data in former literature, and the inviscid air result was referenced as well. It is shown that the modified Stokes velocity profile yields excellent agreement with experimental data. Besides, for all three boundary velocity profiles, the instability of liquid sheet improves with the increase of the boundary thickness. Taking the gas viscosity into consideration can stabilize the sheet and improve the accuracy of the calculation result.

planar liquid sheet; viscous gas; boundary velocity profiles; linear stability analysis

2017-06-29；

2017-07-25

衣然(1993—)，女，碩士研究生，主要從事流體穩(wěn)定性分析及霧化研究。

覃粒子(1978—)，男(土家族)，副教授，主要從事氣液兩相流流動、超聲速噴管內(nèi)流動與型面設計、脈動燃燒與脈沖噴氣推進研究。

基礎理論與應用研究

10.11809/scbgxb2017.11.043

本文引用格式：衣然,覃粒子.氣體邊界層對平面液膜的穩(wěn)定性影響[J].兵器裝備工程學報，2017(11):197-200.

formatYI Ran，QIN Lizi.The Effect of Gas Boundary Layer on the Instability of a Liquid Sheet[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(11):197-200.

O659

A

2096-2304(2017)11-0197-04