結(jié)合總變差和組稀疏性的壓縮感知重構(gòu)方法

朱 俊, 陳長(zhǎng)偉

(1.金陵科技學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程學(xué)院， 南京 211169； 2.南京曉莊學(xué)院 信息工程學(xué)院， 南京 2111711；3.江蘇省社會(huì)安全圖像與視頻理解重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南京理工大學(xué))， 南京 210094)

結(jié)合總變差和組稀疏性的壓縮感知重構(gòu)方法

朱 俊1,3, 陳長(zhǎng)偉2

(1.金陵科技學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程學(xué)院， 南京 211169； 2.南京曉莊學(xué)院 信息工程學(xué)院， 南京 2111711；3.江蘇省社會(huì)安全圖像與視頻理解重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南京理工大學(xué))， 南京 210094)

為了提高圖像重建的質(zhì)量，基于壓縮感知理論，提出了一種基于總變差和組稀疏性的圖像重建方法，同時(shí)考慮圖像像素灰度值的梯度稀疏性和重疊圖像塊的非局部相似性兩種先驗(yàn)知識(shí)。為了準(zhǔn)確挖掘先驗(yàn)知識(shí)，本文選擇非凸lp范數(shù)描述，并利用交替方向乘子法求解產(chǎn)生的重構(gòu)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與當(dāng)前主流的重建算法相比，所提算法能夠獲得更高的圖像重構(gòu)結(jié)果。

壓縮感知；總變差；組稀疏性；交替方向乘子算法

壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論[1]能夠以非常少的采樣數(shù)目準(zhǔn)確重構(gòu)出原始信號(hào)，采樣數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理所需求的數(shù)量(信號(hào)帶寬的兩倍以上)，因此CS技術(shù)逐漸取代了傳統(tǒng)的采樣和恢復(fù)方法，成為圖像處理領(lǐng)域的熱門研究方向，并且廣泛的應(yīng)用在衛(wèi)星遙感、醫(yī)學(xué)成像等多個(gè)領(lǐng)域。

圖像作為現(xiàn)實(shí)中頻繁使用、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一種二維信號(hào)，如何準(zhǔn)確重構(gòu)出圖像信號(hào)是近年來(lái)壓縮感知理論應(yīng)用的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。傳統(tǒng)的思路是挖掘圖像在某一字典下的稀疏性先驗(yàn)[2]。字典選擇的合適與否直接影響著圖像的重建質(zhì)量，自適應(yīng)字典可以好的重建結(jié)果，但是學(xué)習(xí)自適應(yīng)字典需要一定的復(fù)雜度開銷。圖像中都會(huì)存在或多或少的相似結(jié)構(gòu)，如果對(duì)圖像進(jìn)行分塊處理，那么對(duì)一個(gè)參考圖像塊來(lái)說(shuō)，在圖像中的不同位置上可以找到跟它相似的許多圖像塊。因此，許多學(xué)者基于上述先驗(yàn)設(shè)計(jì)出了許多更優(yōu)秀的壓縮感知算法[3-5]，實(shí)驗(yàn)也證明這些算法的有效性。董偉生等提出了一種基于非局部低秩約束的圖像壓縮感知重建算法，利用非局部相似圖像塊構(gòu)成的群組矩陣的低秩性，進(jìn)而重建圖像。張健等提出了一種基于組稀疏性的圖像復(fù)原方法，約束構(gòu)造的群組矩陣滿足組稀疏性，既考慮了單個(gè)圖像塊的稀疏性，又考慮了相似塊稀疏表示系數(shù)之間的關(guān)系，在圖像復(fù)原領(lǐng)域取得了很好的效果。

為了獲得高質(zhì)量的重建圖像，本文基于壓縮感知理論，提出了一種基于總變差和群組稀疏性的圖像重建方法，同時(shí)考慮圖像像素灰度值的梯度稀疏性和重疊圖像塊的非局部相似性兩種先驗(yàn)知識(shí)。為了準(zhǔn)確挖掘先驗(yàn)知識(shí)，本文選擇非凸lp范數(shù)描述，并利用交替方向乘子法求解產(chǎn)生的重構(gòu)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法可以顯著提高圖像重構(gòu)質(zhì)量，峰值信噪比優(yōu)于其他算法0.86 dB以上。

1 基于總變差和組稀疏性的圖像壓縮感知重建算法

1.1模型構(gòu)造

令圖像為x∈Rn，測(cè)量矩陣為Φ∈5m×n(mlt;lt;n), 壓縮感知旨在從少量的測(cè)量值y∈Rm恢復(fù)出圖像x。因?yàn)閙lt;lt;n，因此存在無(wú)數(shù)多解x∈Rn滿足y=Φx。為了準(zhǔn)確重構(gòu)出圖像，需要利用圖像的先驗(yàn)知識(shí)。本文提出了一種基于總變差和組稀疏性的圖像壓縮感知方法，同時(shí)考慮圖像像素灰度值的梯度稀疏性和重疊圖像塊的非局部相似性兩種先驗(yàn)知識(shí)，重建模型為

s.t.y=Φx,Pix=Ψiαi

(1)

其中Pix=[Pi1x,Pi2x,…,Pihx]表示由圖像塊xj∈Rd的h個(gè)相似塊組成的群組矩陣，αi是群組矩陣在變換域Ψi下的稀疏表示系數(shù)，η是正則化參數(shù)。本文選擇l0范數(shù)的總變差||x||TV=||Dx||0約束圖像局部信息，其中D=[D1,D2]，D1和D2分別是橫軸和縱軸的有限差分算子。因此，上式可以重新定義為：

s.t.y=Φx,Pix=Ψiαi

(2)

1.2 數(shù)值求解算法

由于式(2)很難直接求解，選擇交替方向乘子算法將上述復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單子問(wèn)題，然后迭代求解這些子問(wèn)題。添加輔助變量g，式(2)重新定義為：

s.t.y=Φx,Pix=Ψiαi,g=Dx

(3)

引入拉格朗日乘子，上述約束問(wèn)題的等價(jià)形式為

(4)

由于式(4)包含l0范數(shù)，它是一個(gè)非確定多項(xiàng)式問(wèn)題，因此選擇lq范數(shù)近似l0范數(shù)，上式轉(zhuǎn)化為

(5)

式(5)的優(yōu)化包含如下三個(gè)子問(wèn)題:

(6)

(7)

(8)

(9)

1.2.1g子問(wèn)題

g子問(wèn)題是一個(gè)非凸問(wèn)題，無(wú)法獲得全局最優(yōu)解，但可以通過(guò)一種迭代加權(quán)方法去求解。令

(10)

(11)

1.2.2Ψi子問(wèn)題

由于固定的字典不能保證對(duì)所有的圖像最優(yōu)，因此，構(gòu)造自適應(yīng)的字典。受文獻(xiàn)[15]的啟發(fā)，對(duì)每個(gè)群組矩陣的估計(jì)值Pixk進(jìn)行奇異值分解

Pixk=URV

(12)

1.2.3αi子問(wèn)題

類似于g子問(wèn)題，采用相同的處理方式，可以得到如下的迭代解析解：

(13)

1.2.4x子問(wèn)題

對(duì)x求導(dǎo)，令其導(dǎo)數(shù)為0，則圖像x重建問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

(14)

因此，可以獲得圖像估計(jì)值xk+1。

(15)

算法流程總結(jié)如下：

算法1 基于總變差和組稀疏性的圖像壓縮感知重建算法輸入：測(cè)量矩陣Φ，測(cè)量向量y；初始化：x0=g0=b0=e0=c0=zeros(n，1)，Li=zeros(d，h)。主迭代：當(dāng)圖像x不滿足收斂 (a)利用估計(jì)圖像xk對(duì)每個(gè)圖像塊xki計(jì)算提取矩陣Pi；(b)通過(guò)式(11)估計(jì)gk+1；(c)通過(guò)式(12)估計(jì)Ψk+1i；(d)通過(guò)式(13)估計(jì)αk+1i；(e)通過(guò)式(15)估計(jì)xk+1；(f)更新拉格朗日乘子； bk+1←bk-τβ3(gk+1-Dxk+1)； ek+1←ek-τβ1(y-Φxk+1)； ck+1←ck-τβ2(Ψk+1iαk+1i-Pixk+1)；輸出：估計(jì)圖像x。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

在本節(jié)中，通過(guò)多組實(shí)驗(yàn)來(lái)證明本文算法的優(yōu)越性。選取6幅自然灰度圖像Barbara、House、Lena、Cameraman、 Foreman、Parrots(如圖1)進(jìn)行測(cè)試，圖像大小均為256×256。算法中的參數(shù)設(shè)置如下：采樣率為m/n；群組矩陣的大小為36×45，即圖像塊的維數(shù)為36，對(duì)每一個(gè)參考圖像塊尋找45個(gè)最相似的圖像塊；沿著橫軸和縱軸方向，每隔5個(gè)像素點(diǎn)選取重疊參考?jí)Kxi∈Rd；圖像的重建質(zhì)量由峰值信噪比(PSNR)來(lái)評(píng)價(jià)，PSNR值越高，則重構(gòu)圖像與參考圖像就越逼近，算法效果越好。

圖1 六幅測(cè)試圖像

將本文算法分別與總變差(Total Variation，TV)方法[16]，基于BM3D(Block Matching and 3D filtering，BM3D)的CS方法[17]，非局部低秩約束(Nonlocal Low-rank Regularization，NLR)方法[11]進(jìn)行比較。TV方法是利用梯度域的稀疏性進(jìn)行圖像重建；BM3D是一種基于塊匹配三維變換迭代收縮的圖像重構(gòu)算法，它是目前已公開發(fā)表文獻(xiàn)中去噪性能優(yōu)秀的算法之一；NLR方法利用圖像非局部低秩先驗(yàn)知識(shí)，獲得了當(dāng)前文獻(xiàn)中最好的重建結(jié)果。

為了公平比較這些方法，調(diào)整每種算法的參數(shù)使得它們獲得最優(yōu)重構(gòu)結(jié)果。本文方法測(cè)試20次取平均值。六幅測(cè)試圖像在采樣率分別為2.5%、5%、10%、15%、20%的重建結(jié)果如表1所示。由表1可以看出，1)TV重構(gòu)算法由于僅采用了圖像的梯度稀疏先驗(yàn)，忽略了圖像的非局部相似性，難以重建復(fù)雜紋理信息。雖然BM3D重構(gòu)算法的PSNR值明顯高于TV算法，但在邊緣部分的失真非常大，而且每次迭代過(guò)程中會(huì)引入噪聲，所以比NLR算法和本文算法低；2)本文算法同時(shí)考慮了圖像的梯度稀疏性和組稀疏性兩種先驗(yàn)知識(shí)，獲得了最好的重構(gòu)結(jié)果，相比其他算法平均至少有0.86 dB的提升；3)在測(cè)試圖像Foreman上，采樣率為20%的情況下，本文算法的PSNR值分別比TV、BM3D和NLR高出7.67 dB、4.67 dB和1.67 dB。

表1 不同算法在不同圖像上的峰值信噪比

圖像算法采樣率/%2．55101520CameramanTV22．1625．0928．6331．4834．20BM3D23．4327．1230．2733．8836．91NLR24．7228．3632．3036．1039．16本文26．1129．6033．8137．8541．11ForemanTV30．2132．5036．0238．3440．49BM3D31．0233．1036．8539．0040．73NLR33．3435．7039．3941．9844．02本文34．2036．3140．2243．0145．28ParrotsTV24．5627．6531．8434．7637．00BM3D25．5429．1333．6336．6238．79NLR28．9732．1836．5639．5641．44本文30．1233．3437．9140．9243．03

圖2 圖像Barbara在2.5%采樣率下的重建結(jié)果

圖3 圖像House在2.5%采樣率下的重建結(jié)果

圖4 圖像Foreman在2.5%采樣率下的重建結(jié)果

3 結(jié)論

本文在利用圖像總變差的基礎(chǔ)上，提出了基于總變差和組稀疏性的壓縮感知圖像重建算法，同時(shí)挖掘圖像像素灰度值的梯度稀疏性和重疊圖像塊的非局部相似性兩種先驗(yàn)知識(shí)，并選擇非凸lp范數(shù)近似l0范數(shù)準(zhǔn)確挖掘先驗(yàn)信息。另外，選擇交替方向乘子法將復(fù)雜的優(yōu)化模型分解成多個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題，準(zhǔn)確求解產(chǎn)生的非凸優(yōu)化問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與主流的重建算法相比，本文算法在客觀指標(biāo)PSNR和主觀視覺效果方面都有顯著地提高。

[1] DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Trans.Inf.Theory.2006,52(4): 1289-1306.

[2] FENG L,SUN H.Blind compressive sensing method via local sparsity and nonlocal similarity[J].Journal of Nanjing University of Science amp; Technology,2017,41(4):399-404.

[3] FENG L,SUN H,SUN Q,et al.Compressive sensing via nonlocal low-rank tensor regularization[J].Neurocomputing,2016,216(C):45-60.

[4] FENG L,SUN H,SUN Q,et al.Image compressive sensing via truncated schatten-p,norm regularization[J].Signal Processing Image Communication,2016,47:28-41.

[5] 朱俊,陳長(zhǎng)偉,蘇守寶等.基于局部和非局部正則化的圖像壓縮感知[J].數(shù)據(jù)采集與處理,2016(6):1148-1155.

(責(zé)任編輯楊繼森)

CompressiveSensingReconstructionMethodViaTotalVariationandGroupSparstiy

ZHU Jun1，3, CHEN Changwei2

(1.Jinling Institute of Technology College of Computer Engineering, Nanjing 211169, China; 2.Information Engineering Institute, Nanjing Xiaozhuang University, Nanjing 211171, China;3.Key Laboratory of Image and Video Understanding for social Safety (Nanjing University of Science and Technology), Nanjing 201194, China)

In order to improve the quality of the recovered image, based on the theory of compressive sensing (CS), this paper proposes a total variation and group sparsity based image reconstruction method toward exploiting the local gradient sparsity of image pixels and nonlocal similarity of overlapped image patches. In order to accurately exploit the prior knowledge, this paper selects nonconvexlpnorm and takes alternating direction method of multipliers method (ADMM) to solve the resulting nonconvex optimization model. The experimental results have demonstrated that the proposed approach outperforms current mainstream CS algorithms.

compressive sensing (CS); total variation; group sparsity; alternating direction method of multipliers

2017-08-20；

2017-09-10

金陵科技學(xué)院博士啟動(dòng)金項(xiàng)目“基于聚類融合特征配準(zhǔn)圖像魯棒拼接算法”(Jit-b-201508); 江蘇省社會(huì)安全圖像與視頻理解重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室創(chuàng)新基金項(xiàng)目(30916014107)；江蘇省高等學(xué)校自然科學(xué)研究面上資助項(xiàng)目(16KJB520014)

朱俊(1981—)，男，博士研究生，講師，主要從事模式識(shí)別、圖像特征處理研究。

信息科學(xué)與控制工程

10.11809/scbgxb2017.11.025

本文引用格式：朱俊，陳長(zhǎng)偉.結(jié)合總變差和組稀疏性的壓縮感知重構(gòu)方法[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(11):114-117,128.

formatZHU Jun, CHEN Changwei.Compressive Sensing Reconstruction Method Via Total Variation and Group Sparstiy[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(11):114-117,128.

TN911.73

A

2096-2304(2017)11-0114-04