一維顆粒聲子晶體的拓撲相變及可調(diào)界面態(tài)?

王青海 李鋒 黃學勤 陸久陽 劉正猷

1)(華南理工大學物理與光電學院,廣州 510640)2)(武漢大學物理科學與技術(shù)學院,武漢 430072)

一維顆粒聲子晶體的拓撲相變及可調(diào)界面態(tài)?

王青海1)李鋒1)黃學勤1)陸久陽1)劉正猷2)?

1)(華南理工大學物理與光電學院,廣州 510640)2)(武漢大學物理科學與技術(shù)學院,武漢 430072)

(2017年8月18日收到;2017年10月24日收到修改稿)

基于Su-Schrie ff er-Heeger模型,構(gòu)造了一種一維非線性聲子晶體,通過調(diào)控外加在聲子晶體上的預緊力,可調(diào)控聲子晶體的拓撲態(tài),從而實現(xiàn)拓撲相變.利用這一效應,把該非線性聲子晶體與另一線性聲子晶體形成異質(zhì)結(jié)構(gòu),可以實現(xiàn)一種新型聲學開關(guān):通過調(diào)節(jié)預緊力即調(diào)控非線性聲子晶體的拓撲相,可以實現(xiàn)異質(zhì)結(jié)構(gòu)中界面態(tài)從無到有的轉(zhuǎn)變,從而實現(xiàn)了開關(guān)效應.利用該效應可望開發(fā)新型聲學器件,如可調(diào)諧振器、可調(diào)濾波器、可調(diào)隔振器等.

界面態(tài),可調(diào),拓撲相變,顆粒聲子晶體

1 引 言

聲子晶體是一種質(zhì)量密度和彈性系數(shù)周期性分布的新型功能材料,它具有能帶結(jié)構(gòu)、缺陷模式、負折射等特性,在減振降噪、聲學成像及聲學器件等方面具有應用前景[1].到目前為止所研究的聲子晶體大多為被動型,不能主動調(diào)節(jié)[2].為了實現(xiàn)聲子晶體的更多功能,人們提出了可調(diào)性聲子晶體的概念[3?6].可調(diào)性聲子晶體調(diào)節(jié)的主要方法一是改變材料尺寸、改變晶格結(jié)構(gòu)[3]等;二是使用對磁場或者溫度等敏感的材料[4,5];三是引入非線性[6].

本文研究的顆粒聲子晶體(granular phononic crystals)或顆粒晶體是一種非線性聲子晶體.顆粒晶體的非線性源于顆粒間的赫茲接觸.當用一定的預緊力將兩個顆粒擠壓在一起時,兩個顆粒物間的擠壓形變與預緊力是一種非線性關(guān)系,這就是赫茲接觸[7].顆粒晶體就是將這些離散顆粒按照某種周期進行排列而形成的晶體,顆粒之間具有非線性赫茲接觸.由于顆粒晶體的色散關(guān)系可以通過預緊力動態(tài)調(diào)節(jié),因此顆粒聲子晶體是一種可調(diào)聲子晶體[8,9].

此外,隨著拓撲理論的發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)在拓撲非平庸體系和拓撲平庸體系的界面處會出現(xiàn)局域態(tài).由于這種局域態(tài)受拓撲保護,因而具有魯棒性.Su-Schrie ff er-Heeger(SSH)模型作為一種經(jīng)典的模型,雖然其結(jié)構(gòu)十分簡單,但卻蘊含著豐富的物理現(xiàn)象[10?14],比如它是一維拓撲絕緣體,存在著非線性現(xiàn)象和拓撲保護束縛態(tài).因此,將可調(diào)性聲子晶體與SSH模型結(jié)合研究具有重要意義.

本文將非線性與拓撲概念結(jié)合,提出了利用調(diào)控外加預緊力實現(xiàn)顆粒聲子晶體拓撲相變,由此設(shè)計一種新型聲學開關(guān).通過預緊力調(diào)節(jié)顆粒聲子晶體能帶和拓撲相位,進而實現(xiàn)界面態(tài)從無到有的變化,基于此可望開發(fā)非線性可調(diào)新型功能器件,如可調(diào)諧振器、可調(diào)濾波器、可調(diào)隔振器[15]等.

2 理論背景和研究模型

當用一定大小的預緊力F擠壓兩個宏觀彈性顆粒物時,相比于未受到擠壓時的顆粒物形狀大小,由于預緊力F的擠壓導致了這兩個顆粒物間的接觸面積發(fā)生改變,由此產(chǎn)生了一個擠壓形變δ.對于圓柱形顆粒物,當相鄰圓柱的軸夾角α0?時,在靜態(tài)預緊力F的作用下,

顆粒間的擠壓形變δ與F滿足赫茲定律[7].

上式中,β是圓柱形顆粒物的剛度系數(shù),它與圓柱半徑、泊松比、楊氏模量有關(guān),還與相鄰圓柱軸夾角α有關(guān).當相鄰顆粒擠壓形變δ較小時,可以將擠壓形變δ與施加的預緊力F間的關(guān)系線性化成F≈Kδ,其中,K為固體彈性顆粒間的等效剛度系數(shù):

從(2)式可以看出,兩個相互擠壓接觸的顆粒物間的等效剛度系數(shù)K與材料的體剛度系數(shù)β和擠壓形變δ都有關(guān).聯(lián)立(1)和(2)可得施加的預緊力F與等效剛度系數(shù)K的關(guān)系為

從(3)式可以看出,如果相鄰圓柱軸夾角α不為零,等效剛度系數(shù)K與隨著預緊力F單調(diào)遞增,但不是線性增加.由于擠壓形變δ較小,等效剛度系數(shù)K與材料的體剛度系數(shù)β相比小得多.因此,當相鄰圓柱軸夾角α不為零時,相互擠壓接觸的兩個圓柱形顆粒物產(chǎn)生的形變行為可以等效為:在預緊力F作用下,連接著兩個質(zhì)點的等效剛度系數(shù)K的非線性彈簧所產(chǎn)生的形變.下文中將一維顆粒晶體體系抽象簡化為一維無限長“彈簧-質(zhì)點”體系[15],且用k1,k2,k3,k4代表材料的等效剛度系數(shù).

圖1 研究模型及其簡化模型 (a)研究模型;(b)由研究模型中界面左邊簡化而來,等效剛度系數(shù)k1的彈簧隨著預緊力變化而變化,等效剛度系數(shù)k2的彈簧不隨預緊力變化;(c)由研究模型中界面右邊簡化而來,等效剛度系數(shù)k3和k4的彈簧不隨預緊力變化;(d)研究模型的簡化模型Fig.1.A schematic of experiment setup,the 1D diatom granular crystal model and the simpli fication of our model:(a)A schematic of experiment setup;(b)the simpli fication of the experiment setup in the left of interface,the chain is composed with nonlinear springs whose equivalent sti ff ness coefficient k1can be changed by external force and linear springs with constant k2;(c)the simpli fication of the experiment setup in the right of interface,1D diatom granular crystal model is composed of two types of linear springs with constant k3and k4;(d)the simpli fication of experiment setup.

研究模型如圖1(a)所示.這個一維鏈由100個圓柱形顆粒排列而成.制作圓柱形顆粒物所用的材料都是有機玻璃(PMMA),它的密度為1186 kg/m3,楊氏模量為4.75 GPa,泊松比為0.35.所有的粗圓柱形顆粒的半徑R=12 mm,長度L=12 mm.在界面左邊,兩個互相擠壓接觸的圓柱形顆粒的軸夾角α=5?,它們之間是赫茲接觸,可以等效為連接兩質(zhì)點的非線性彈簧k1;夾在兩粗圓柱形顆粒間的細圓柱(所用材料為PMMA),它的半徑R=1 mm,長度L=2 mm,可以等效為線性彈簧k2.在界面右邊,夾在兩粗圓柱形顆粒間的一種細圓柱(所用材料為PMMA),它的半徑R=1 mm,長度L=1.5 mm,可以等效為線性彈簧k3;夾在兩粗圓柱形顆粒間的另一種細圓柱(所用材料為PMMA),它的半徑R=1 mm,長度L=2.5 mm,可以等效為線性彈簧k4.初始時刻,加載在體系兩端的預緊力F=12 N.

仿照SSH模型[10?14],我們將圖1(a)簡化為兩個一維雙原子顆粒聲子晶體體系,如圖1(b)和圖1(c)所示.在這兩個一維雙原子鏈上,所有質(zhì)點的質(zhì)量都為m,其中一種鏈上連接最近鄰原子間的彈簧的等效剛度系數(shù)交錯地為k1和k2,另一種鏈上連接最近鄰原子間的彈簧的等效剛度系數(shù)交錯地為k3和k4.界面左邊簡化為圖1(b)——由“非線形彈簧-質(zhì)點-線性彈簧”原胞所組成的一維無限長雙原子鏈,當加載在體系兩端的預緊力為F時,其中一個彈簧是非線性彈簧,其等效剛度系數(shù)k1隨預緊力F的變化而變化,即k1=3β2/3F1/3/2(α=5?);另一個彈簧是線性彈簧,其等效剛度系數(shù)k2不隨預緊力F的變化而變化.界面右邊簡化為圖1(c)——由原胞“線形彈簧-質(zhì)點-線性彈簧”所組成,兩個彈簧是都線形彈簧,其等效剛度系數(shù)k3和k4都不隨預緊力F變化.如圖1(d)所示,簡化后的研究模型中,界面左側(cè)是一個非線性體系(圖示見1(b)),m=6.40 g,開始時使施加外力F=603F0/1000(其中F0=19.91 N);k2為線性彈簧,根據(jù)胡克定律F/S=Eδ/L(其中,F,S,E,L分別代表力、截面積、楊氏模量、長度)及F=k2δ可得,k2=7.46×106N/m;k1為非線性彈簧,它的k1隨著預緊力F單調(diào)變化,且當F=F0時,k1=k2.研究模型中,界面右側(cè)是一個線性體系(見圖1(c)),m=6.40 g;它的k3,k4都不隨著預緊力F的變化而變化,根據(jù)胡克定律同理可得:k3=9.95×106N/m,k4=5.97×106N/m.

3 顆粒晶體體系中的色散關(guān)系和拓撲相位

首先研究圖1(b)中的一維雙原子顆粒晶體第n個原胞(即第2n和第2n+1個顆粒物以及連接它們的彈簧)的動力學行為.用a表示都處在平衡位置時的相鄰兩顆粒物質(zhì)心間的距離;用u2n,u2n+1表示第n個原胞中兩個顆粒物沿著一維鏈的方向運動時偏離初始平衡位置的位移;用β2n,β2n+1代表第n個原胞中的兩顆粒物的剛度系數(shù);用k2n,k2n+1代表第n個原胞中兩顆粒物在初始靜態(tài)預緊力F的作用下兩顆粒間的等效剛度系數(shù),且k2n=k1,k2n+1=k2;用δ2n,0,δ2n+1,0代表第n個原胞中的兩個顆粒物在靜態(tài)預緊力為F時的偏離平衡位置的初始形變;從(1)式也可以看出,顆粒晶體有一個鮮明的特點,就是其相鄰顆粒之間的無拉伸形變δ,簡記為[δ]+.在忽略損耗的條件下,根據(jù)牛頓第二定律,則第n個原胞中兩個顆粒物的質(zhì)心的運動方程[15]為:

將(4)和(5)式的右邊部分按冪級數(shù)展開,當顆粒物質(zhì)心偏離平衡位置的位移大小遠小于顆粒物的初始形變時,即滿足|u2n?1?u2n|?δ2n,0和|u2n?u2n+1|?δ2n+1,0時,可以只保留(3)和(4)式右邊部分冪級數(shù)展開項中的簡諧近似項.令等效剛度系數(shù)k1=3β2nδ1/22n/2,k2=β2n+1,于是,將方程(3)和(4)線性化,可得

(6),(7)式在簡諧振動時有下列形式的格波解[16]:u2n=Aei[ωt?(2n)ak],u2n+1=Bei[ωt?(2n+1)ak].引入

則(5)和(6)式可以改寫為

其中:

可解得(8)式的色散關(guān)系為

由(10)式可知:無論是k1＜k2還是k1＞k2,帶隙的上、下限都在k=π/2a處取得,能帶的截止頻率都在k=0處取得,能帶在k1=k2時閉合.因此,可以根據(jù)實際需要方便地設(shè)計帶隙范圍,并且可以設(shè)計能帶的帶隙寬度.

此外,在凝聚態(tài)體系中,人們用拓撲相位刻畫和區(qū)分拓撲物態(tài).通常情況下,人們通過研究晶格倒空間(即動量空間)中能帶的拓撲性質(zhì)來標記拓撲物態(tài)[17].在一維系統(tǒng)中,人們通常用表征材料體能帶的幾何性質(zhì)的Zak相位來描述動量空間中能帶所對應的拓撲不變量[18].下面推導所研究模型中的能帶的Zak相位.

引入如下矩陣和算符:

(9)式可以改寫為

由于H(k)中的單位矩陣I只是上下平移頻帶,對并不影響體系的拓撲,因此討論體系的能帶拓撲時,可以忽略此項.由Zak相位的定義[18]:

由于一維雙原子顆粒晶體只有兩條能帶——聲學支能帶和光學支能帶,我們用γ?代表它的聲學支能帶的Zak相位,用γ+代表它的光學支能帶的Zak相位.計算可得:當k1＜k2時,γ?= π,γ+= π;當k1＞k2時,γ?=0,γ+=0. 對于圖1(c),由于k3,k4都不隨著預緊力F變化且k3＞k4,同理可以計算得,γ?=0,γ+=0.

4 預緊力的改變導致能帶反轉(zhuǎn)和拓撲相變

從(10)式可以得知,決定所研究模型的色散關(guān)系的因素有三個:m,k1和k2.因此,如果要調(diào)節(jié)該體系的色散關(guān)系,就要從調(diào)節(jié)這三個參數(shù)著手.對于圖1(b)所示的一維雙原子顆粒晶體模型,其等效剛度系數(shù)k1的彈簧隨著預緊力F變化而變化,等效剛度系數(shù)k2的彈簧不隨預緊力F變化,因此,改變預緊力F將導致k1,k2的相對大小發(fā)生改變,從而導致其色散曲線的改變.這樣,對于圖1(b)所示的一維雙原子顆粒晶體,通過預緊力F也就能實現(xiàn)調(diào)節(jié)能帶和改變能帶帶隙的目標.

設(shè)k1=k2時,預緊力F大小為F=F0.那么,當k1＜k2時,F＜F0;當k1＞k2時,F＞F0.因此,結(jié)合(10)式可以得到:當F=F0時,此時能帶帶隙閉合;當F＜F0時或者當F＞F0時,體系能帶帶隙將打開.將上述三種F情形下體系的色散關(guān)系標注在圖2(a)—(c)中.

由于不同的拓撲相位標志著不同的拓撲物態(tài),調(diào)節(jié)能帶的拓撲相位以實現(xiàn)拓撲相變,也是調(diào)節(jié)材料性能的一個思路.一維體系中,實現(xiàn)拓撲相變的其中一種方式是實現(xiàn)能帶反轉(zhuǎn)[12,19].因此,可以通過調(diào)節(jié)一維雙原子顆粒晶體的色散關(guān)系,從而改變能帶的Zak相位,進而實現(xiàn)拓撲相變.結(jié)合上文可知:當F＜F0時,γ?= π,γ+= π;當F＞F0時,γ?=0,γ+=0.這樣,通過改變預緊力F也能在一維雙原子顆粒晶體中實現(xiàn)拓撲相變的目標.將F＜F0和F＞F0這兩種情形下一維雙原子顆粒晶體能帶的Zak相位也標注在圖2(a)和圖2(c)中.

對于所研究的一維雙原子顆粒晶體,其帶隙下的能帶是聲學支能帶.可知,當F＜F0時,聲學支能帶Zak相位γ?= π;當F＞F0時,聲學支能帶Zak相位γ?=0.這也意味著,改變預緊力F將可能導致聲學支能帶Zak相位的改變,從而將導致能帶的拓撲性質(zhì)的改變.聲學支能帶的Zak相位隨預緊力F的變化關(guān)系如圖3(a)所示.由于帶隙的拓撲性質(zhì)與該帶隙之下的體能帶拓撲相位之和有關(guān)[19],所以,當F＜F0時,帶隙是拓撲非平庸的;當F＞F0時,帶隙是拓撲平庸的.因此,在F=F0前和后,不僅能帶的Zak相位發(fā)生了變化,而且?guī)兜耐負湫再|(zhì)也發(fā)生了變化.其帶隙隨預緊力F的變化如圖3(b)所示.這里m=6.40 g,k2=7.46×106N/m,F0=19.91 N.

此外,研究發(fā)現(xiàn),在兩種不同材料的界面處是否存在界面態(tài)與界面兩邊的材料的阻抗有密切關(guān)系.因此,要確認兩種不同材料的界面處是否有界面態(tài),利用它們的阻抗信息是一種重要判斷思路.文獻[19]嚴格地證明了帶隙的阻抗與該帶隙下Zak相位之間有關(guān),且體系帶隙的阻抗符號與該帶隙下的拓撲相位間的數(shù)學關(guān)系為:

圖2 不同預緊力情形下,一維雙原子顆粒晶體的能帶和Zak相位 (a)F=603F0/1000時;(b)F=F0時;(c)F=1406F0/1000時;(a),(b),(c)情形下兩顆粒物的質(zhì)量m=6.40 g,k2=7.46×106N/m,F0=19.91 N;(a),(c)情形下的體系的能帶Zak相位分別標注在對應的能帶上Fig.2.Dispersion relationship and the Zak phase of the 1D diatom granular crystal at di ff erent precompression F:(a)F=603F0/1000;(b)F=F0;(c)F=1406F0/1000.The mass of the all granular is m=6.40 g,equivalent sti ff ness coefficient k2=7.46×106N/m,F0=19.91 N.The Zak phase under disparate condition are marked on the respective energy band.

圖3 預緊力改變導致的拓撲相變 (a)聲學支能帶的Zak相位隨預緊力F的變化情況;(b)一維二原子顆粒晶體能帶帶隙上下限隨預緊力F的變化情況Fig.3.Topological phase transition caused by F:(a)The Zak phase of the acoustic band change along with F;(b)the band gap is tuned by precompression F.

式中,ζ(n)為第n個帶隙的阻抗符號,為第n帶隙以下其中第m條能帶的Zak相位,l為第n帶隙以下相交的能帶個數(shù).由于在F=F0前和后,能帶的Zak相位發(fā)生了變化,因此,當F＜F0時,帶隙的阻抗符號為“＋”;當F＞F0時,帶隙的阻抗符號為“?”.將帶隙的阻抗符號也標記在圖3(b)中.從上文可知,由于k3,k4都不隨著預緊力F變化,γ?=0,γ+=0.因此,不論預緊力F如何變化,圖1(c)所示的模型的帶隙始終是拓撲平庸的,帶隙的阻抗符號始終為“?”.

5 預緊力調(diào)節(jié)界面態(tài)

通常,有兩種方法可以判斷體系界面處是否有界面態(tài)存在.一種方法是利用阻抗,即在經(jīng)典波中,當入射波從其中一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)時,如果界面兩邊的介質(zhì)的阻抗大小相等、符號相反,那么在兩種介質(zhì)的界面處就會存在界面態(tài).另一種方法是利用拓撲的概念,即拓撲性質(zhì)不同的兩種材料,如果它們存在著公共帶隙,那么在這兩材料相互接觸的界面處也存在界面態(tài)[20].下文中結(jié)合這兩種方法來確認界面態(tài)的有和無.

圖4 體系界面兩邊的能帶和界面態(tài)模態(tài)(取log后)隨著預緊力F的變化情況 (a)體系的頻率譜(只給出了我們所關(guān)注的涵蓋公共帶隙的一部分)隨著預緊力F的變化情況,當F＜F0,界面態(tài)(綠色實線標記)存在;當F＞F0時,界面態(tài)消失;(b),(c),(d)界面態(tài)體系左邊的能帶用紅色實線表示,隨著預緊力F的增加而不斷抬高;體系右邊的能帶用綠色實線表示,隨著預緊力F的增加而保持不變;(e),(f),(g)當F＜F0時,界面態(tài)模態(tài)隨著預緊力F的增加而局域程度下降Fig.4.The energy bands on the left or right of the interface and the log of amplitude of the interface modes at the interface change along with F.When F＜F0,the interface modes(marked in green solid line)exists in the frequency spectrum;when F＞F0,the interface modes disappear,as shown in(a);the red solid line label the the energy bands on the left of the interface,and its change when F varies,as shown in(b),(c),(d);the green solid line label the the energy bands on the right of the interface,and remian unchanged when F varies,as shown in(b),(c),(d);when F＜F0,the local level of interface modes drop continuously as F increased,as shown in(e),(f),(g).

拓撲絕緣體[20]理論上的創(chuàng)新也使得人們意識到,除了時間反演對稱性可以導致拓撲界面態(tài),空間群對稱性也可以導致對稱性保護的拓撲物態(tài)[21]出現(xiàn).因此,構(gòu)建具有鏡面對稱性的一維雙原子顆粒晶體體系,也可以構(gòu)造出界面態(tài).然而,如果兩顆粒物擠壓接觸,從(3)式可知,這兩顆粒物間的等效剛度系數(shù)隨著預緊力增加而單調(diào)遞增,那么,要想在顆粒晶體體系中實現(xiàn)界面態(tài)調(diào)節(jié),就需要不同顆粒物間的等效剛度系數(shù)隨預緊力變化程度有較大差別(有一個等效剛度系數(shù)不隨預緊力變化).圖1(d)中(簡化的研究模型),體系界面左側(cè)的等效剛度系數(shù)按照k1,k2的順序交替分布,體系界面右側(cè)的等效剛度系數(shù)按照k2,k1的順序交替分布.體系界面處的類型有兩種,一種為“k1-k4”,另一種為“k2-k3”.對于上述任一情形,由于界面兩邊體系的Zak相位不同,從上述的分析可知,不論界面處是哪一種類型,界面處一定存在界面態(tài),下文中只研究其中一種情形,另一種情形的研究方法和得出的結(jié)論類似.因此,設(shè)定下面分析該體系中界面處的界面態(tài)隨著預緊力F增加的變化情況.

圖4(a)展示了整個體系的頻率譜隨預緊力F的變化情況.可以看到,當F＜F0時(F0=19.91 N),界面態(tài)(綠色實線標記)存在于體系的公共帶隙中;當F＞F0時,界面態(tài)消失了.圖4(b)—(d)進一步說明了當F＜F0時,界面左右兩側(cè)的能帶隨預緊力的變化情況,由圖可見,開始時使施加一定的預緊力,然后緩慢增加預緊力F,體系左邊的能帶(紅色實線表示)會緩慢上移,體系右邊的能帶(綠色實線表示)保持原狀不變,這樣,隨著預緊力的增加,界面兩邊體系的公共能帶帶隙逐漸減小.當F＜F0時,體系左邊的能帶的帶隙的阻抗符號為“+”,帶隙是拓撲非平庸的;體系右邊的能帶的帶隙阻抗符號為“?”,帶隙是拓撲平庸的.因此,當F＜F0時,此時體系中存在界面態(tài).當F＞F0時,體系左邊的帶隙的阻抗符號為“?”,帶隙是也變?yōu)橥負淦接沟?體系右邊的阻抗符號始終為“?”,帶隙是也始終為拓撲平庸的.那么,當F＞F0時,體系界面處的界面態(tài)將會消失.這樣,在不改變結(jié)構(gòu)的情況下,僅僅通過改變預緊力F,就可以使界面態(tài)先出現(xiàn)后消失,從而實現(xiàn)了界面態(tài)的調(diào)節(jié).

為了說明界面態(tài)的局域程度隨預緊力F的變化關(guān)系,選取幾個預緊力F做圖,見圖4(e)—(g).實際上,雖然F＜F0時,圖4(b)—(d)所示情形下,體系界面處都存在界面態(tài),但是隨著預緊力F的增加,界面兩邊體系(對應于圖1(b)與圖1(c)所示的顆粒晶體鏈)的公共帶隙不斷變小(見圖4(b)—(d)),界面態(tài)的局域程度也隨之下降;并且由于界面左邊的體系的能帶不斷抬升,而界面右邊的體系的能帶保持不變,界面態(tài)模式對應的頻率也處在界面右邊體系的帶隙中,這就導致了界面態(tài)在界面右邊衰減的要比界面左邊更快.當F＞F0時,體系界面處界面態(tài)消失.從這些圖可以看出,隨著預緊力F的增加,界面態(tài)的空間局域程度不斷下降,最后消失.這樣,通過改變加載在體系兩端的預緊力F,實現(xiàn)了界面態(tài)的有無的調(diào)節(jié).

6 結(jié) 論

本文研究了一維圓柱形顆粒組成可調(diào)顆粒聲子晶體,并通過調(diào)節(jié)預緊力在該體系中實現(xiàn)了界面態(tài)的開關(guān)效應.由于兩個相互擠壓接觸的顆粒物間是赫茲接觸,兩顆粒物間等效剛度系數(shù)會隨著預緊力的增加而增加、隨著預緊力的減小而減小.因此,改變預緊力可以調(diào)節(jié)顆粒晶體的色散關(guān)系.基于SSH模型,構(gòu)造了一維顆粒聲子晶體體系,并將其簡化為“質(zhì)點-彈簧”模型.在不改變體系結(jié)構(gòu)的情況下,改變預緊力能夠動態(tài)調(diào)節(jié)顆粒晶體的色散關(guān)系,改變預緊力就可以在一維顆粒晶體體系實現(xiàn)拓撲相變,由此可以實現(xiàn)顆粒晶體體系界面態(tài)的動態(tài)調(diào)節(jié),并實現(xiàn)界面態(tài)從有到無的調(diào)節(jié).本文的研究可以促進拓撲和非線性的相關(guān)研究,為開發(fā)可調(diào)聲學器件(如可調(diào)諧振器、可調(diào)濾波器、可調(diào)隔振器)打下理論基礎(chǔ).

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PACS:45.70.–n,05.45.–a,46.40.CdDOI:10.7498/aps.66.224502

*Project supported by the National Basic Research Program of China(Grant No.2015CB755500),the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.61271139,11572318,11604102,11374233),Guangdong Innovative and Entrepreneurial Research Team Program,China(Grant No.2016ZT06C594),and the National Postdoctoral Program for Innovative Talents,China(Grant No.BX201600054).

?Corresponding author.E-mail:zyliu@whu.edu.cn

The topological phase transition and the tunable interface states in granular crystal?

Wang Qing-Hai1)Li Feng1)Huang Xue-Qin1)Lu Jiu-Yang1)Liu Zheng-You2)?

1)(Department of Physics,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China)2)(Department of Physics,Wuhan University,Wuhan 430072,China)

18 August 2017;revised manuscript

24 October 2017)

Topological phase is a new degree of freedom to describe the state of matter in condensed matter physics.One could predict the existence of the interface state between two topological di ff erent phononic crystals.The band structures of phononic crystal depend on the characteristics of their composite and their combination,such as geometry, filling fraction,and sti ff ness.However,after the phononic crystal is fabricated out,it is relatively difficult to tune their band structure and its topology.In order to broaden the application scope of phononic crystals,di ff erent kinds of tunable phononic crystals have been proposed.One method to achieve this tunability is to introduce nonlinearity into the phononic crystals.Granular crystals is one type of tunable nonlinear material,whose nonlinearity stems from nonlinear Hertzian contact.By changing the static precompression,the dispersion of granular crystals can be tuned.In this paper,by combining topology with nonlinear we create a new type of interface state switch without changing the experimental setup.Based on the Su-Schrie ff er-Heeger(SSH)model—an example of a one dimensional(1D)topological insulator,we present a 1D nonlinear granular crystal,to realize the topological transition by precompression.First,we construct a 1D mechanical structure,which is made up of nonlinear granular crystal and linear phononic crystal.The 1D nonlinear granular crystal is simpli fied as a “mass-spring”model with tunable elastic constant and invariable elastic constant.By calculating the band topology—the Zak phase,we found that the Zak phase of the two bands can switch fromπto 0.There exist a critical precompressionF0,whenF＜F0the Zak phase of the band isπ,whenF＞F0the Zak phase is 0.The granular crystal vary from nontrivial bandgap to trivial one as precompression gradually increase.This e ff ect enables us to design interface state switch at the interface between granular crystals with trivial and nontrivial band gap.Furthermore,whenF＜F0,we find that the localization of interface state decreases as the applied precompression increases.Thus,we investigate existence of the interface state under di ff erent precompression and found that the interface state can be controlled freely.We anticipate these results to enable the creation of novel tunable acoustic devices.

interface state,tunability,topological phase transition,granular crystal

10.7498/aps.66.224502

?國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(批準號:2015CB755500)、國家自然科學基金(批準號:61271139,11572318,11604102,11374233)、廣東省引進創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)團隊項目(批準號:2016ZT06C594)和博士后創(chuàng)新人才支持計劃(批準號:BX201600054)資助的課題.

?通信作者.E-mail:zyliu@whu.edu.cn