自旋-軌道耦合作用下玻色-愛因斯坦凝聚在量子相變附近的朗道臨界速度?

賀麗 余增強

1)(山西大學物理電子工程學院,太原 030006)2)(山西大學理論物理研究所,太原 030006)

自旋-軌道耦合作用下玻色-愛因斯坦凝聚在量子相變附近的朗道臨界速度?

賀麗1)?余增強2)

1)(山西大學物理電子工程學院,太原 030006)2)(山西大學理論物理研究所,太原 030006)

(2017年7月7日收到;2017年8月22日收到修改稿)

各向異性超流體中的朗道臨界速度并非簡單地由運動方向的元激發(fā)能譜決定.在自旋-軌道耦合作用下的雙分量玻色-愛因斯坦凝聚中,當系統(tǒng)跨過平面波相與零動量相之間的量子相變時,盡管超流聲速連續(xù)變化,但垂直于自旋-軌道耦合方向的朗道臨界速度會出現(xiàn)跳變,跳變幅度隨自旋相互作用強度單調增加.根據(jù)線性響應理論,計算了凝聚體中運動雜質在不同速度下的能量耗散率,提出可以通過能量耗散觀測臨界速度在量子相變處的不連續(xù)性.

自旋-軌道耦合,玻色-愛因斯坦凝聚,朗道臨界速度,超流

1 引 言

超流體最引人矚目的特性之一是其可承載無阻尼運動.當一個雜質在超流體中運動時,如果速度小于某一臨界值,雜質與超流體中原子的碰撞并不會導致耗散的產生.這一不尋常的現(xiàn)象可以用朗道超流判據(jù)解釋.按照朗道的理論,雜質無阻尼運動的臨界速度vc由超流體的元激發(fā)能譜確定[1]:

其中,Eq是動量為q的準粒子的能量,q=|q|為動量的大小.

(1)式中的朗道臨界速度最初是針對各向同性的4He體系提出的.對于各向異性的超流體,臨界速度的大小會依賴于運動方向,(1)式不再適用.最近,本文的作者之一提出,在各向異性的體系中,朗道臨界速度應推廣為如下形式[2]:

近年來,冷原子氣體中自旋-軌道耦合的實現(xiàn)為研究新奇超流相提供了契機[3,4].在這類系統(tǒng)中,占據(jù)不同超精細能級的原子通過雙光子躍遷實現(xiàn)沿特定方向的動量轉移[5?10],體系的能譜具有天然的各向異性.此前,已有理論工作細致分析了自旋-軌道耦合作用下玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)的朗道臨界速度及超流密度在動量轉移方向上的變化行為[11?14].文獻[2]從(2)式出發(fā)考察了BEC臨界速度的各向異性,但那里關于相互作用效應的討論局限于最簡單的一種情形,即原子之間的相互作用僅與原子密度有關.本文考察自旋依賴的相互作用對于朗道臨界速度的影響,并指出,當體系跨過平面波相與零動量相之間的量子相變時,盡管超流聲速連續(xù)變化,但垂直于自旋-軌道耦合方向的朗道臨界速度vc會發(fā)生跳變,跳變幅度隨自旋相互作用強度單調增加.本文還計算了當速度超過vc時運動雜質的能量耗散率,提出可以通過能量耗散觀測vc在量子相變處的不連續(xù)性.

2 各向異性超流體的臨界速度

文獻[2]已給出了(2)式的推導過程并闡明了其物理意義.為使讀者更加全面地了解各向同性體系與各向異性體系的區(qū)別,這里對相關的理論要點再做一簡要概述.

考慮在零溫下一個以速度v在超流體中運動的點粒子雜質.雜質與背景原子之間的碰撞可能造成超流體中元激發(fā)的產生,而一旦產生元激發(fā),雜質的動能將會損失,從而導致耗散.觸發(fā)耗散的閾值速度對應于最容易激發(fā)的第一個準粒子的出現(xiàn).這個過程應保證整個體系的能量和動量守恒,即

其中,M為雜質的質量,q和Eq為所產生的準粒子的動量和能量.在大M極限下,上式關系可寫為

顯然,若速度v小于(2)式給出的閾值,準粒子激發(fā)過程就不會發(fā)生,即雜質可以保持無耗散的運動狀態(tài).

對于各向同性系統(tǒng)而言,Eq與q的方向無關,條件(4)所允許的最小速度對應于激發(fā)一個沿雜質運動方向傳播的準粒子(即),此時(2)式回到(1)式所描述的情形.而對于各向異性體系,(2)式右端的分子和分母均與動量q的方向有關,因此達到臨界速度時準粒子的傳播方向不一定與雜質的運動方向一致.一般而言,在各向異性超流體中,臨界速度的取值并非僅與運動方向的元激發(fā)能譜有關.

3 自旋-軌道耦合 BEC的朗道臨界速度

3.1 理論模型

下面具體來看(2)式在自旋-軌道耦合BEC中的應用.考慮拉曼耦合作用下的雙分量玻色氣體,原子的兩個內態(tài)分別用自旋指標↑和↓來標記.單原子的哈密頓量寫為[5](取?=1)

其中,p和m分別為原子的動量和質量,kr為拉曼光的反沖動量(取為沿x軸正向),?為拉曼耦合強度,σx和σz為通常的泡利矩陣.(5)式中動量與自旋算符的乘積項表示自旋-軌道耦合.玻色原子之間的相互作用可以用接觸勢模型描述

其中n↑和n↓分別表示兩個自旋態(tài)的原子密度,g↑↑和g↓↓為同自旋原子之間的相互作用強度,g↑↓為相反自旋原子間的相互作用強度.以下假定各自旋態(tài)之間的相互作用均為排斥作用,并設g↑↑=g↓↓=g.若g↑↑g↓↓,可以通過引入適當?shù)睦еC有效地消除二者之間的差別.此時,相互作用哈密頓量可以重新寫為兩部分之和:

其中,方括號中的第一項僅與原子的總密度有關,第二項則與自旋極化狀態(tài)有關.密度相互作用和自旋相互作用的強度分別正比于g+g↑↓和g?g↑↓.

之前已有一些理論和實驗工作研究過自旋-軌道耦合作用下玻色氣體的相圖[5,15,16].當g＞g↑↓且拉曼耦合強度?足夠小時,系統(tǒng)的基態(tài)為條紋凝聚相,凝聚體密度呈周期性的空間振蕩分布.而對于更大的?或者g≤g↑↓的情形,基態(tài)會出現(xiàn)兩種密度均勻分布的BEC相：一種是原子凝聚在非零動量的平面波相(PW相),一種是原子凝聚在p=0的零動量相(ZM相).在PW相中,凝聚體具有有限大小的自旋磁化;而在ZM相中,兩自旋態(tài)的原子等權分布.當拉曼耦合強度?逐漸增大時,在?c=4Er+(g↑↓?g)n處發(fā)生從 PW 相到 ZM 相的量子相變,其中為拉曼光的反沖能量,n為平均原子密度.該量子相變具有典型的二級相變特征,磁化率在臨界點?c處發(fā)散.鑒于目前對于條紋相的超流性質還沒有一個完善的理論,本文只針對PW相和ZM相展開討論.不失一般性,我們取PW相的自旋磁化為正.

自旋-軌道耦合BEC的元激發(fā)能譜可以通過Bogoliubov方法求得.具體的計算步驟已在文獻[17,18]中給出.在長波極限下,體系的低能激發(fā)是無能隙的聲子,能譜Eq=c(θq)q為線性色散形式,c(θq)為聲速,其大小依賴于聲子動量方向與x軸的夾角θq.

對于ZM相(?＞?c),聲速可寫為[17,18]

對于PW相(?＜?c),聲速的形式更復雜一些[17,18],

若原子間存在自旋相互作用 (即γ0),聲子沿x軸正方向和反方向的傳播速度并不相同,正反方向的聲速分別為與均趨于零.

現(xiàn)在考慮雜質在自旋-軌道耦合BEC中的運動.無論BEC處于ZM相或是PW相,只要?足夠接近相變點?c,朗道臨界速度都是由聲子激發(fā)決定的[2].將聲子能譜代入(3)式,可得

其中,θv為雜質運動方向與反沖動量kr之間的夾角,min′表示最小值的計算限制在θv?90?＜θq＜θv+90?范圍內.對于 ZM 相(?＞?c),容易求得臨界速度的解析形式,

而對于PW相,vc的求解要復雜一些,以下分兩種情形來具體計算.

3.2 垂直自旋-軌道耦合方向的臨界速度

首先來看垂直于自旋-軌道耦合方向 (即θv=90?時)的朗道臨界速度.

將PW相的聲速表達式代入極值條件?θq[c(θq)/sinθq]=0, 可推知, 當雜質運動速度達到vc時聲子的傳播方向角滿足

由此,垂直自旋-軌道耦合方向的臨界速度可寫為(?＜?c)

對于給定的自旋相互作用,隨著拉曼耦合強度?的增加,vc⊥與c⊥的差別也隨之增大.接近相變點?c時,均趨于零,但(12)式給出的臨界速度仍保持有限,

另一方面,在ZM相中,垂直自旋-軌道耦合方向的臨界速度總等于該方向的聲速因此,當原子間相互作用與自旋有關時 (即gg↑↓),vc⊥在 PW 相與 ZM 相的邊界會出現(xiàn)不連續(xù)的跳變,跳變幅度為

顯然,無論參數(shù)γ是正是負,總有?vc⊥＞0,即ZM相一側的臨界速度大于PW相一側的臨界速度.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)自旋-軌道耦合BEC的準粒子能量Eq隨動量投影q.的變化,其中與kr垂直(見插圖)實線取動量沿 (11)式給定的方向(θq? 49.1?),點劃線取動量沿的方向(θq=90?).點線與實線相切于動量零點,點線的斜率等于沿方向的朗道臨界速度;其他參數(shù):g↑↓=4g,? =0.9?c,gn=1ErFig.1. (color online)Excitation spectrum Eqof a spin-orbit coupled BEC as a function of the momentum projection q.,where is in the direction perpendicular to kr(see the inset).The solid line is for the momentum in the direction with θqdetermined by Eq.(11)(θq? 49.1?).The dashed-dotted line is for the momentum in the same direction as(θq=90?).The dotted line is tangent to the solid line in the q→0 limit,and its slope is equal to the critical velocity vc.Other parameters:g↑↓ =4g,? =0.9?c,gn=1Er.

圖2(a)顯示了沿垂直kr方向BEC聲速c⊥和臨界速度vc⊥隨拉曼耦合強度的變化.在ZM相中,vc⊥與c⊥始終保持一致;在 PW 相中,vc⊥則小于c⊥.跨過量子相變點?c時,盡管c⊥連續(xù)變化,但vc⊥卻發(fā)生了跳變.為了更顯著地體現(xiàn)這種不連續(xù)性,圖中我們選取了相對較大的自旋相互作用參數(shù)(在該參數(shù)條件下,即使遠離相變點vc也是由聲子決定的).圖2(b)顯示了臨界速度的跳變幅度隨相互作用參數(shù)g↑↓/g的變化趨勢.可以看出,原子間的自旋相互作用越強,?vc⊥就越大.對于g↑↓＜g,體系在相互作用較強時會出現(xiàn)三相臨界點(圖中以⊙標記).超過該臨界點后,PW 相完全被條紋相取代[16],因此?vc⊥的調節(jié)范圍有限.對于g↑↓＞g,PW相與ZM相之間的相變一直存在,增加自旋相互作用的強度可以明顯提高臨界速度的跳變幅度.

需要強調的是,PW相與ZM相之間為二級相變,跨過相邊界時BEC的元激發(fā)能譜是連續(xù)變化的;造成上述vc⊥不連續(xù)行為的原因在于,在相變點兩側,決定臨界速度的準粒子激發(fā)是沿不同方向傳播的聲子.這種特有的vc跳變現(xiàn)象只可能在各向異性超流系統(tǒng)中出現(xiàn),是朗道超流判據(jù)推廣到各向異性情形的直接后果.在此機制中,原子間的自旋相互作用起到了重要的作用.由于自旋自由度與空間自由度的耦合,當相互作用依賴于自旋時原子沿不同方向運動時感受到的有效相互作用是不同的.正是這種效應破壞了PW相聲速的空間反演對稱性,從而最終導致了臨界速度的不連續(xù).

圖2 (網(wǎng)刊彩色)(a)自旋-軌道耦合 BEC沿垂直kr方向的朗道臨界速度(實線),在PW相中,vc⊥小于運動方向的聲速(點線),此處相互作用參數(shù)與圖1相同;(b)在相變點?c處臨界速度的跳變幅度隨相互作用參數(shù)g↑↓/g的變化,對于gn=2Er(點劃線),會出現(xiàn)三相臨界點 (以⊙標記),在三相臨界點左側不存在PW相Fig.2. (color online)(a)Critical velocity of a spinobit coupled BEC in the direction perpendicular to kr(the solid line),in the PW phase,vc⊥is smaller than the sound velocity in the moving direction(the dotted line),here,the interaction parameters are same as the Fig.1;(b)the jump amplitude of critical velocity at phase transition point ?cas a function of g↑↓/g,for gn=2Er(the dash-dotted line),there is a tricritical point indicated by the symbol⊙,on the left side of the tricritical point,the PW phase does not exist.

3.3 偏離垂直方向的臨界速度

現(xiàn)在考慮雜質沿其他方向運動時的朗道臨界速度.根據(jù)(9)式,當雜質的運動速度達到vc時,擾動所產生的聲子激發(fā)沿下式給出的方向角傳播:

PW相的臨界速度可以明確寫為

若相互作用與自旋無關 (即g=g↑↓),上式即還原到文獻[2]所考慮的簡單情形;若θv=π/2,則回到(12)式給出的結果.這里可以看出運動方向對于臨界速度的影響:當運動偏離垂直kr方向時,(16)式右端分母中的第二項將產生作用,且該項僅在原子間具有自旋相互作用時才有貢獻.

下面關注vc在相變點附近的行為.當?→時,均趨于零,而c⊥保持有限.如果雜質的運動方向與kr不垂直 (即θv90?),臨界速度在此極限下趨于零,

方括號中的?意為:θv＜90?時取負號,θv＞90?時取正號.(17)式的極限形式僅在cot2θv條件下成立.若與kr近乎垂直(即cotθv?0),只有當?非常靠近?c時vc才會出現(xiàn)快速降低,而在遠離相變點時,(17)式給出的臨界速度與(12)式的結果相差無幾.

對于ZM相也有類似的情況.如果雜質運動的方向角θv90?,臨界速度也在相變點處趨于零,

當θv接近90?時,上式極限行為僅影響?c附近很窄范圍內的vc取值.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)自旋-軌道耦合BEC在偏離垂直kr方向的臨界速度 (a)運動方向與kr近乎垂直,遠離相變點?c時,vc與垂直方向的結果沒有顯著差別,在相變點附近很窄的陰影區(qū)域內(0.98＜?/?c＜1.02),vc快速趨于零;(b)運動方向偏離垂直方向較大時的結果,相互作用參數(shù)與圖1相同F(xiàn)ig.3.(color online)Critical velocity of a spin-orbit coupled BEC in the directions with θv90?:(a)The impurity moves in the direction that is almost perpendicular to kr,vcis essentially identical to the result for θv=90? except in the narrow shadow region close to the phase transition(0.98＜?/?c＜1.02);(b)the impurity moves in the directions with relatively large deviations from θv=90?,the interaction parameters are same as Fig.1.

以上分析表明,當雜質的運動方向與自旋-軌道耦合方向不垂直時,靠近相變點處的臨界速度均由沿kr方向的聲子決定,vc的取值在跨過相邊界時連續(xù)變化(兩側的極限值均趨于零).盡管如此,只要運動方向角θv非常接近90?,仍然可以觀測到臨界速度的“準跳變”行為.圖3(a)中顯示了雜質運動方向與垂直kr方向有±0.5?偏差時,臨界速度隨拉曼耦合強度的變化.其整體趨勢與嚴格垂直kr方向的結果非常接近,僅在很靠近相變點的陰影區(qū)域內(0.98＜?/?c＜1.02),vc的取值才會明顯偏離(12)式的預期.換言之,如果簡單從陰影區(qū)域之外的數(shù)據(jù)做外推,仍可得出臨界速度發(fā)生“跳變”的結論,其跳變幅度依然由(14)式給出.當然,如果雜質運動的方向角明顯偏離θv=90?,那么vc的“準跳變”行為就很難看到了[如圖3(b)的所示].

4 超過臨界速度時的能量耗散

最后,我們計算雜質運動速度超過vc時的能量耗散.

假設雜質與BEC原子之間的相互作用很弱,可將其作為微擾處理:

其中,U(r)為雜質與 BEC原子之間的相互作用勢,的傅里葉分量,為 BEC 的密度漲落算符,rj表示每個原子的坐標,N為原子數(shù).簡單起見,以下取U(r)為接觸勢形式,即Uq=U0與動量無關.由于體系的總能量守恒,雜質的能量損耗應該等于BEC的能量增益.按含時微擾論,在線性響應區(qū)間,雜質的能量耗散率可以寫為[19]

在Bogoliubov近似下,自旋-軌道耦合BEC的動力學結構因子可寫為[20]

其中,N↑和N↑分別兩種自旋態(tài)的原子數(shù),Eq,±為兩支準粒子激發(fā)的能量,uq,σα和vq,σα為Bogoliubov變換的系數(shù),其取值可用之前文獻中的標準計算方法數(shù)值求出[18,20].由此,我們得到運動雜質的能量耗散率為

圖4 (網(wǎng)刊彩色)雜質在自旋-軌道耦合BEC中以不同速度運動時的能量耗散率 實線表示運動方向與kr垂直的結果,實心點與空心點分別表示運動方向角θv=89.5?和90.5?的結果,相互作用參數(shù)與圖1相同F(xiàn)ig.4. (color online)Energy dissipation rate of the impurity moving in a spin-orbit coupled BEC with various velocities.The solid line is for the motion in the direction perpendicular to kr.The ful filled dots and empty dots are for the motion with θv=89.5? and 90.5?,respectively.The interaction parameters are same as Fig.1.

圖4給出了在不同速度條件下,耗散率隨拉曼耦合強度的變化,實線是雜質沿垂直自旋-軌道耦合方向運動時的結果.當雜質運動速度大于ZM相的臨界速度時,在 PW 相和 ZM 相中都會出現(xiàn)耗散;當雜質運動速度小于ZM相的臨界速度時,只有在PW相中出現(xiàn)耗散,且對于一定范圍內的速度值(如,=0.98,0.96,0.94,0.92),耗散率均不為零.這表明在相變點兩側,臨界速度確實發(fā)生了跳變.值得指出的是,上述的耗散率特征并不要求雜質的運動方向與kr方向嚴格垂直,當運動的方向角稍稍偏離θv=90?時,能量耗散率的數(shù)值幾乎沒有變化(如圖4中實心點與空心點所示).因此仍可根據(jù)類似的耗散曲線指認vc⊥的不連續(xù)性.實驗上,雜質的能量耗散會引起B(yǎng)EC的加熱,通過觀測BEC的加熱效應即可獲得關于耗散率及朗道臨界速度的信息.

5 討論與結論

目前,自旋-軌道耦合BEC的大多數(shù)實驗是在87Rb原子氣體中完成的[5,8?10].由于87Rb原子各自旋態(tài)之間的相互作用參數(shù)差別很小,現(xiàn)有體系中朗道臨界速度的不連續(xù)性幾乎可以忽略.若想觀測到更顯著的vc跳變現(xiàn)象,需要加大原子間相互作用的自旋依賴.這有待今后在其他種類原子實驗中做進一步探索.

綜上所述,本文采用推廣的朗道超流判據(jù)研究了運動雜質在自旋-軌道耦合BEC中的臨界速度,指出當原子間存在自旋相互作用時,垂直于自旋-軌道耦合方向的臨界速度在量子相變點會發(fā)生跳變.這個現(xiàn)象反映了該體系的一個新特征,即臨界速度并非簡單地由運動方向的元激發(fā)能譜決定.本文的研究結果對于理解其他各向異性超流體的臨界行為也具有一定的啟發(fā)意義.

[1]Pitaevskii L P,Stringari S 2016Bose-Einstein Condensation and Super fluidity(New York:Oxford University Press)pp65–67

[2]Yu Z Q 2017Phys.Rev.A95 033618

[3]Goldman N,Juzeliūnas G,?hberg P,Spielman I B 2014Rep.Prog.Phys.77 126401

[4]Zhai H 2015Rep.Prog.Phys.78 026001

[5]Lin Y J,Jiménez-García K,Spielman I B 2011Nature471 83

[6]Wang P,Yu Z Q,Fu Z,Miao J,Huang L,Chai S,Zhai H,Zhang J 2012Phys.Rev.Lett.109 095301

[7]Cheuk L W,Sommer A T,Hadzibabic Z,Yefsah T,Bakr W S,Zwierlein M W 2012Phys.Rev.Lett.109 095302

[8]Zhang J Y,Ji S C,Chen Z,Zhang L,Du Z D,Yan B,Pan G S,Zhao B,Deng Y J,Zhai H,Chen S,Pan J W 2012Phys.Rev.Lett.109 115301

[9]Khamehchi M A,Zhang Y,Hamner C,Busch T,Engels P 2014Phys.Rev.A90 063624

[10]Ji S C,Zhang L,Xu X T,Wu Z,Deng Y,Chen S,Pan J W 2015Phys.Rev.Lett.114 105301

[11]Ozawa T,Pitaevskii L P,Stringari S 2013Phys.Rev.A87 063610

[12]Zheng W,Yu Z Q,Cui X,Zhai H 2013J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.46 134007

[13]Wu S,Ke Y,Huang J,Lee C 2017Phys.Rev.A95 063606

[14]Zhang Y C,Yu Z Q,Ng T K,Zhang S,Pitaevskii L,Stringari S 2016Phys.Rev.A94 033635

[15]Ho T L,Zhang S 2011Phys.Rev.Lett.107 150403

[16]Li Y,Pitaevskii L P,Stringari S 2012Phys.Rev.Lett.108 225301

[17]Martone G I,Li Y,Pitaevskii L P,Stringari S 2012Phys.Rev.A86 063621

[18]Yu Z Q 2012Report of Postdoc Research(Beijing:Tsinghua University)(in Chinese)[余增強 2012博士后研究報告(北京:清華大學)]

[19]Pitaevskii L P,Stringari S 2016Bose-Einstein Condensation and Super fluidity(New York:Oxford University Press)pp89–91

[20]He L,Yu Z Q 2016Acta Phys.Sin.13 131101(in Chinese)[賀麗,余增強 2016物理學報 13 131101]

PACS:03.75.Kk,03.75.Hh,67.30.hmDOI:10.7498/aps.66.220301

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11674202),and the Applied and Fundamental Research Program of Shanxi Province,China(Grant No.201601D011014).

?Corresponding author.E-mail:heli@sxu.edu.cn

Landau critical velocity of spin-orbit-coupled Bose-Einstein condensate across quantum phase transition?

He Li1)?Yu Zeng-Qiang2)

1)(College of Physics and Electronic Engineering,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)2)(Institute of Theoretical Physics,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

7 July 2017;revised manuscript

22 August 2017)

An impurity immersed in a super fluid can move without friction when its velocity is below a critical value.This phenomenon can be explained by the famous Landau criterion,according to which,the critical velocity is determined by the elementary excitation spectrum of the super fluid.Landau critical velocity has been measured in the isotropic super fluid,such as the liquid He-II and the Bose-Einstein condensates of dilute atomic gases,where the onset of dissipation is due to the creation of roton and phonon,respectively.The recent realization of synthetic spin-orbit coupling in quantum gas opens up possibilities for the study of novel super fluidity with ultracold atoms.To date,a speci fic type of spin-orbit coupling,which is generated by a pair of Raman laser beams,has been achieved in a Bose-Einstein condensate of87Rb experimentally.Remarkably,the excitation spectrum of this system is anisotropic and can be feasibly tuned by the external laser field.While the anisotropic dynamics has been observed experimentally,the critical velocity has not been measured so far.It is a conventional wisdom that in an anisotropic super fluid,the critical velocity is determined by the excitation spectrum in the moving direction of the impurity.However,this is not always the case.In this work,we investigate the motion of a point-like impurity in a spin-orbit-coupled condensate with the spin-dependent interatomic interaction.In the vicinity of the quantum phase transition between the plane-wave(PW)phase and the zero-momentum(ZM)phase,the onset of the dissipation is due to the emission of a phonon,and the Landau critical velocityvcdepends on the anisotropic sound velocity.While the sound velocity varies smoothly across the PW-ZM phase transition,the critical velocity in the direction perpendicular to the axis of spin-orbit coupling exhibits a sudden jump at the phase boundary.The value ofvcon the PW phase side of the transition is generally smaller than the one on the ZM phase side,and the jump amplitude ofvcis an increasing function of the spin-dependent interaction strength.Beyond the critical velocity,the energy dissipation rate of the impurity is explicitly calculated via a perturbation approach.The discontinuity ofvcat the phase boundary can be clearly seen from the dissipation curves,which can be measured through the heating of the condensate.Our prediction can be tested in the current experiments with ultracold atoms.

spin-orbit coupling,Bose-Einstein condensate,Landau critical velocity,super fluidity

10.7498/aps.66.220301

?國家自然科學基金(批準號:11674202)和山西省應用基礎研究項目(批準號:201601D011014)資助的課題.

?通信作者.E-mail:heli@sxu.edu.cn