SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浞治雠c其低耦合度機(jī)型設(shè)計(jì)

李 菊 曾氫菲 沈惠平 楊廷力

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016)

SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浞治雠c其低耦合度機(jī)型設(shè)計(jì)

李 菊 曾氫菲 沈惠平 楊廷力

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016)

根據(jù)基于方位特征(Position and orientation characteristics，POC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論與方法，首先，對(duì)已提出的一類7個(gè)具有較好實(shí)用價(jià)值的SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)，進(jìn)行了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，揭示了其POC集、自由度(含驅(qū)動(dòng)副選取)、過(guò)約束數(shù)、耦合度以及輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦性等5個(gè)最主要的拓?fù)涮卣?，且發(fā)現(xiàn)這些機(jī)構(gòu)的耦合度均較大，為2，表明其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和動(dòng)力學(xué)求解十分復(fù)雜；繼而基于機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)降耦原理，又對(duì)κ=2的這7個(gè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)降耦優(yōu)化，得到了低耦合度(κ=1)，而機(jī)構(gòu)POC、自由度(Degree of freedom，DOF)等保持不變的實(shí)現(xiàn)SCARA運(yùn)動(dòng)的14個(gè)新機(jī)型，不僅豐富了實(shí)現(xiàn)SCARA運(yùn)動(dòng)的4-DOF三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)型庫(kù)，而且降低了這些機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)代數(shù)求解難度，而其數(shù)值解可用一維搜索法方便求得，從而為這一類SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析、設(shè)計(jì)及應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)； POC方法； 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析； 耦合度； 拓?fù)涮卣鳎?機(jī)構(gòu)綜合

引言

以方位特征集(POC集)為數(shù)學(xué)工具、以有序單開鏈(Single open chain, SOC)為機(jī)構(gòu)組成單元的并聯(lián)機(jī)構(gòu)(Parallel kinematic machine, PKM)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論與方法，由楊廷力等[1-2]提出并建立，該方法不同于基于螺旋理論的方法[3-5]、基于位移子群的方法[6]、基于線性變換和進(jìn)化算法的方法[7]，它描述的運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)于動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)副軸線的，與定坐標(biāo)系以及機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)位置無(wú)關(guān)，因而是一種幾何方法；該方法以簡(jiǎn)單的POC集的“并”與“交”符號(hào)類線性運(yùn)算，得到非瞬時(shí)的無(wú)過(guò)約束機(jī)構(gòu)和一般過(guò)約束機(jī)構(gòu)，物理意義明確，易于理解和應(yīng)用，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)與分析提供了一種有效而系統(tǒng)的理論與方法。

一方面，純?nèi)揭?、純?nèi)D(zhuǎn)動(dòng)及SCARA運(yùn)動(dòng)(三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸線為動(dòng)平臺(tái)的法線)為3種典型的輸出運(yùn)動(dòng)，在工業(yè)生產(chǎn)線上具有極廣的應(yīng)用前景。對(duì)于實(shí)現(xiàn)前兩者運(yùn)動(dòng)的三自由度并聯(lián)機(jī)器人，已有較多的研究和應(yīng)用，而對(duì)于實(shí)現(xiàn)SCARA型輸出運(yùn)動(dòng)的四自由度并聯(lián)機(jī)器人，其機(jī)型的研究和應(yīng)用開發(fā)相對(duì)較少。

1999年，ABB 公司開發(fā)了稱為FlexPicker的SCARA并聯(lián)機(jī)器人[8]，它是在三平移Delta[9]并操作手的基礎(chǔ)上，通過(guò)動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)之間再串聯(lián)一條R-U-P-U-R支鏈，構(gòu)成了一個(gè)具有三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)功能的混聯(lián)操作手，實(shí)際上，這種混聯(lián)操作手可視為具有2個(gè)動(dòng)平臺(tái)(即Delta機(jī)構(gòu)的三平移子平臺(tái)和轉(zhuǎn)動(dòng)輸出的抓取操作器平臺(tái))，這種機(jī)型已廣泛應(yīng)用。為克服這種操作手中間支鏈易磨損、只能適用于較小工作空間的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[10-12]設(shè)計(jì)了H4、I4、Par4等系列的四自由度SCARA型(即三平移一轉(zhuǎn)動(dòng))操作手，它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上保留了三平移Delta機(jī)構(gòu)所含的平行四邊形結(jié)構(gòu)R∥-(4S)-∥R或R∥R-(4R)-∥R(S為球副，R為轉(zhuǎn)動(dòng)副)復(fù)雜支鏈，因而在性能上繼承了Delta機(jī)構(gòu)高速、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)，也因此被稱為Delta族機(jī)器人。

2000年，趙鐵石等[13]提出了4-URU型三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人；2001年金瓊等[14]基于方位特征輸出矩陣(后稱為POC集)和單開鏈理論，提出了一類三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人，并于2003年申請(qǐng)了一組5個(gè)具有單動(dòng)平臺(tái)的三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[15]專利，但未研制樣機(jī)；黃田等[16]在H4、I4、Par4等結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，于2010年設(shè)計(jì)了四自由度三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的Cross-IV型高速搬運(yùn)機(jī)器人并實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)業(yè)化；劉辛軍等[17]于2012年在國(guó)內(nèi)首次研制出具有一個(gè)動(dòng)平臺(tái)且實(shí)現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的X4型并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)，并通過(guò)尺寸性能優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了較大角度的輸出轉(zhuǎn)動(dòng)[18]。

筆者團(tuán)隊(duì)根據(jù)基于方位特征(POC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論與方法，提出了一類具有較好應(yīng)用前景的13個(gè)四自由度SCARA型(三平移一轉(zhuǎn)動(dòng))并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中7種新機(jī)構(gòu)已申請(qǐng)中國(guó)發(fā)明專利[19-25]。

文獻(xiàn)[26]已對(duì)商業(yè)化著名并聯(lián)機(jī)構(gòu)，例：Delta、Diamond、Tricept、TriVariant、Exechon、Z3、H4、Steward等，以及其他具有潛在應(yīng)用價(jià)值的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，進(jìn)行了詳細(xì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，得到了一些有價(jià)值的結(jié)論、規(guī)律或啟示。

同時(shí)，文獻(xiàn)[27-28]在研究如何降低機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜性的基礎(chǔ)上，提出了將機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)降耦和機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)解耦，作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化的兩個(gè)重要內(nèi)容，研究表明：①機(jī)構(gòu)的耦合度越大，其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和動(dòng)力學(xué)求解越復(fù)雜，降低機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)耦合度可直接降低機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)求解的難度。②耦合度κ恰為機(jī)構(gòu)冗余回路的虛擬變量數(shù)或約束回路的運(yùn)動(dòng)相容方程數(shù)，對(duì)于κ=1的機(jī)構(gòu)，可一維搜索法較易求得其位置正解或動(dòng)力學(xué)正、逆解的數(shù)值解。③對(duì)于κ≥2的任意機(jī)構(gòu)，可將其降為κ=1且保持自由度和運(yùn)動(dòng)輸出不變，同時(shí)，提出了降低機(jī)構(gòu)耦合度κ的3種方法[29]。

本文首先對(duì)提出的7個(gè)具有較好實(shí)用價(jià)值的三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，揭示出其POC集、自由度、耦合度等最主要的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征；為進(jìn)一步簡(jiǎn)化這些機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和動(dòng)力學(xué)求解，對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)降耦優(yōu)化，得到POC、DOF不變，但耦合度降至κ=1的低耦合度機(jī)型，以期為這些機(jī)型的性能評(píng)價(jià)和優(yōu)選、運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的方便求解，及其設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮卣?/h2>

本文所述的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性分析，即為分析并揭示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的12個(gè)基本拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征[2]，它包括：方位特征集(POC集)及其維數(shù)、獨(dú)立回路數(shù)v、獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1、過(guò)約束數(shù)Nov.、自由度(DOF)類型和數(shù)目F、基本運(yùn)動(dòng)鏈(Basic kinematic chain, BKC)類型及其數(shù)目、BKC耦合度κ、輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦性(I-O解耦性)、消極運(yùn)動(dòng)副、驅(qū)動(dòng)副選擇、冗余度等指標(biāo)，其中[26]：

(1)POC集及其維數(shù)，反映了機(jī)構(gòu)的基本功能。

(2)獨(dú)立位移方程數(shù)、冗余度、BKC耦合度、I-O解耦性、驅(qū)動(dòng)副選擇，反映了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)性能。

(3)DOF類型及數(shù)目、BKC耦合度、冗余度、POC集維數(shù)、I-O解耦性，反映了機(jī)構(gòu)的控制性能。

(4)過(guò)約束數(shù)Nov.，反映了機(jī)構(gòu)的剛度，以及制造誤差對(duì)精度的敏感度：Nov.越大，剛度越大，但對(duì)制造誤差的敏感度越高。

限于篇幅，僅介紹重要的POC集、DOF數(shù)、過(guò)約束數(shù)Nov.、耦合度κ、I-O解耦性這5個(gè)指標(biāo)，其相應(yīng)的計(jì)算公式[1-2]如表1所示。

表1 機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征指標(biāo)Tab.1 Indexes of topological structure characteristicsof mechanisms

2 SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浞治?/h2>

筆者團(tuán)隊(duì)最近綜合得到了10個(gè)新機(jī)構(gòu)[19-25]，以下僅對(duì)7個(gè)具有較好使用價(jià)值的Ⅰ～Ⅶ型單動(dòng)平臺(tái)SCARA型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，且按機(jī)構(gòu)組成描述、POC集、DOF數(shù)、過(guò)約束數(shù)Nov.、耦合度κ、I-O解耦性分析等方面來(lái)闡述。

2.1 Ⅰ型3T1R機(jī)構(gòu)

2.1.1I型3T1R機(jī)構(gòu)的組成描述

I型3T1R機(jī)構(gòu)如圖1所示[19]，它由靜平臺(tái)0、動(dòng)平臺(tái)1以及4條結(jié)構(gòu)相同的支鏈組成；從靜平臺(tái)0到動(dòng)平臺(tái)1，前3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副相互平行，后2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副相互平行，但第3、4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線垂直；4條支鏈的一端通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副R15、R25、R35、R45與動(dòng)平臺(tái)1連接，這4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線須平行于動(dòng)平臺(tái)1平面的法線；4條支鏈的另一端通過(guò)驅(qū)動(dòng)副R11、R21、R31、R41與靜平臺(tái)0連接，其中，R11⊥R21，R31⊥R41。

圖1 I型3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 Type Ⅰ 3T1R parallel mechanism

2.1.2I型3T1R機(jī)構(gòu)的DOF、Nov.、POC計(jì)算

(1)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

SOC{-Ri1‖Ri2‖Ri3⊥Ri4‖Ri5-}
(i=1, 2, 3, 4)

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集

約定：動(dòng)平臺(tái)1上任意一點(diǎn)O′為基點(diǎn)，下同。

(3)確定第1回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1

①由第1、2支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(4)確定第2回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2

①由第3支鏈再構(gòu)成第2回路

②第1、2、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(5)確定第3個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈再構(gòu)成第3回路

(6)確定機(jī)構(gòu)的自由度

(7)確定機(jī)構(gòu)過(guò)約束數(shù)Nov.

(8)確定該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集

因此，根據(jù)驅(qū)動(dòng)副的選擇準(zhǔn)則[1-2]，當(dāng)靜平臺(tái)0上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21、R31、R41為驅(qū)動(dòng)時(shí)，該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)1產(chǎn)生3個(gè)平移和1個(gè)繞動(dòng)平臺(tái)1法線的轉(zhuǎn)動(dòng)。

2.1.3Ⅰ型3T1R機(jī)構(gòu)的κ計(jì)算、I-O解耦性分析

(1)確定第1回路及其約束度Δ1

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)確定機(jī)構(gòu)包含的BKC及其耦合度κ

這樣，該機(jī)構(gòu)只包含一個(gè)BKC；由于4個(gè)驅(qū)動(dòng)副均在一個(gè)BKC內(nèi)，因此，無(wú)I-O解耦性。

該機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性如表2所示。

表2 I型3T1R機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征Tab.2 Topological structure characteristics oftype Ⅰ 3T1R mechanism

2.2 Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)

2.2.1Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)的組成描述

Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)如圖2所示[19]，它可視為用2條RSS無(wú)約束支鏈，替代圖1機(jī)構(gòu)中的2條約束支鏈而得。動(dòng)平臺(tái)1上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R15、R35的軸線，須平行于動(dòng)平臺(tái)1平面的法線；靜平臺(tái)0上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R11⊥R31，但R21、R41可任意布置。

圖2 Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.2 Type Ⅱ 3T1R parallel mechanism

2.2.2Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)的DOF、Nov.、POC計(jì)算

(1)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

1、3支鏈同為SOC{-Ri1‖Ri2‖Ri3⊥Ri4‖Ri5-}(i=1,3)；其余2條無(wú)約束支鏈為SOC{-S-S-R-}。

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集

(3)確定第1個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1

①由第1、3支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(4)確定第2個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2

①由第2支鏈再構(gòu)成第2回路

②第1、3、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(5)確定第3個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈再構(gòu)成第3回路

(6)確定機(jī)構(gòu)的自由度

(7)確定機(jī)構(gòu)過(guò)約束數(shù)Nov.

(8)確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集

因此，當(dāng)取靜平臺(tái)0上的R11、R21、R31、R41為驅(qū)動(dòng)副時(shí)，該機(jī)構(gòu)作三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)。

2.2.3Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)的κ計(jì)算、I-O解耦性分析

(1)確定loop1及其約束度Δ1

(2)確定loop2及其約束度Δ2

(3)確定loop3及其約束度Δ3

(4)確定機(jī)構(gòu)包含的BKC及其耦合度κ

因該機(jī)構(gòu)只包含一個(gè)BKC，同樣無(wú)I-O解耦性。

該機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性如表3所示。

表3 Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性Tab.3 Topological structure characteristics of type Ⅱ 3T1R mechanism

2.3 Ⅲ、IV型3T1R機(jī)構(gòu)

2.3.1Ⅲ型3T1R機(jī)構(gòu)的組成描述

Ⅲ型3T1R機(jī)構(gòu)如圖3所示[20]，它由動(dòng)平臺(tái)1、靜平臺(tái)0、4條結(jié)構(gòu)相同且包含由4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副組成的平行四邊形的復(fù)雜支鏈組成；動(dòng)平臺(tái)1上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R13、R23、R43、R33的軸線須平行于動(dòng)平臺(tái)1平面的法線；靜平臺(tái)0上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21、R41、R31平行于動(dòng)平臺(tái)1上4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線。

圖3 Ⅲ型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.3 Type Ⅲ 3T1R parallel mechanism

2.3.2Ⅲ型3T1R機(jī)構(gòu)的DOF、Nov.、POC計(jì)算

(1)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

4條支鏈同為：SOC{-Ri1‖Ri2(-◇(4R)i)-‖Ri3}(i=1,2,3,4)。

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集

(3)確定第1個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1

①第1、2支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(4)確定第2個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2

①由第3支鏈構(gòu)成第2回路

②第1、2、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(5)確定第3個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈構(gòu)成第3回路

(6)確定機(jī)構(gòu)自由度F

(7)確定機(jī)構(gòu)的過(guò)約束數(shù)Nov.

(8)確定動(dòng)平臺(tái)POC集

因此，當(dāng)選取靜平臺(tái)0上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21、R31、R41為驅(qū)動(dòng)副時(shí)，該機(jī)構(gòu)作三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)。

2.3.3Ⅲ 型3T1R機(jī)構(gòu)κ計(jì)算、I-O解耦性分析

(1)確定loop1及其約束度Δ1

(2)確定loop2及其約束度Δ2

(3)確定loop3及其約束度Δ3

(4)確定所含BKC及其耦合度κ

該機(jī)構(gòu)含有一個(gè)BKC，同樣，無(wú)I-O解耦性。

該機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性如表4所示。

同樣，用2條RSS無(wú)約束支鏈，替代圖3所示機(jī)構(gòu)中的2條約束支鏈，即得到如圖4所示的Ⅳ型3T1R機(jī)構(gòu)[20]，顯然，該機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性同Ⅲ 型3T1R機(jī)構(gòu)一樣，如表4所示。

表4 Ⅲ型3T1R機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征Tab.4 Topological structure characteristics oftype Ⅲ 3T1R mechanism

圖4 Ⅳ型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.4 Type Ⅳ 3T1R parallel mechanism

2.4 Ⅴ型、Ⅵ型3T1R機(jī)構(gòu)

2.4.1V型3T1R機(jī)構(gòu)的組成描述

V型3T1R機(jī)構(gòu)如圖5所示[21]，它由動(dòng)平臺(tái)1、靜平臺(tái)0、4條結(jié)構(gòu)相同且包含由4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副組成的平行四邊形的復(fù)雜支鏈組成；動(dòng)平臺(tái)1上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R14、R24、R34、R44的軸線須平行于動(dòng)平臺(tái)1平面的法線；靜平臺(tái)0上的轉(zhuǎn)動(dòng)副配置為R11⊥R31、R21⊥R41。

圖5 V型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.5 Type Ⅴ 3T1R parallel mechanism

2.4.2V型3T1R機(jī)構(gòu)的DOF、Nov.、POC計(jì)算

(1)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

4條支鏈相同，為：SOC{-Ri1-Ri2(-◇(4R)i5-) ‖Ri3⊥Ri4-}(i=1,2,3,4)。

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集

(3)確定第1個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1

①由第1、2支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

Mpa(1-2)=

(4)確定第2個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2

①由第3支鏈構(gòu)成第2回路

②第1、2、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(5)確定第3個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈構(gòu)成第3回路

(6)確定機(jī)構(gòu)自由度F

(7)確定機(jī)構(gòu)的過(guò)約束數(shù)Nov.

(8)確定動(dòng)平臺(tái)POC集

因此，取靜平臺(tái)0上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21、R41、R31為驅(qū)動(dòng)副時(shí)，該機(jī)構(gòu)作三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

2.4.3V型3T1R機(jī)構(gòu)的κ計(jì)算、I-O解耦性分析

(1)確定loop1及其約束度Δ1

(2)確定loop2及其約束度Δ2

(3)確定loop3及其約束度Δ3

(4)確定機(jī)構(gòu)BKC及其耦合度κ

因該機(jī)構(gòu)只包含一個(gè)BKC，也無(wú)I-O解耦性。

該機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性如表5所示。

表5 V型3T1R機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性Tab.5 Topological structure characteristics oftype Ⅴ 3T1R mechanism

需要說(shuō)明的3種情況是：

(1)同樣，用2條RSS無(wú)約束支鏈，替代圖5所示機(jī)構(gòu)中的2條約束支鏈，即得到如圖6所示的Ⅵ-1型3T1R機(jī)構(gòu)[21]，顯然，該機(jī)構(gòu)具有與V型3T1R機(jī)構(gòu)一樣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性，如表5所示。

圖6 Ⅵ-1型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.6 Type Ⅵ-1 3T1R parallel mechanism

(2)將圖5所示機(jī)構(gòu)中的平行四邊形復(fù)雜支鏈短邊上的轉(zhuǎn)動(dòng)副，例：支鏈I上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R13及其兩端的轉(zhuǎn)動(dòng)副，等效為2個(gè)球副，如圖7中的Sa、Sb，即成為圖7所示的Ⅵ-2型3T1R機(jī)構(gòu)[22]，顯然，它們具有與V型3T1R機(jī)構(gòu)相同的DOF、POC、κ、Nov.及I-O解耦性。

圖7 Ⅵ-2型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.7 Type Ⅵ-2 3T1R parallel mechanism

(3)將圖7所示機(jī)構(gòu)中的2條垂直配置的復(fù)雜支鏈，例：Ⅱ、Ⅲ支鏈，用R-S-S無(wú)約束支鏈代替(例，圖8中的R21-S22-S23，R41-S42-S43)，即成為圖8所示的Ⅵ-3型3R1T機(jī)構(gòu)[23]，同樣，其DOF、POC、Nov.、κ、BKC、I-O解耦性，與圖5～7所示機(jī)構(gòu)相同，其計(jì)算從略。

圖8 Ⅵ-3型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.8 Type Ⅵ-3 3T1R parallel mechanism

2.5 Ⅶ型3T1R機(jī)構(gòu)

2.5.1Ⅶ型3T1R機(jī)構(gòu)的組成描述

圖9 VII型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.9 Type Ⅶ 3T1R parallel mechanism

Ⅶ型3T1R機(jī)構(gòu)如圖9所示[24]，它由動(dòng)平臺(tái)1、靜平臺(tái)0、2條RSS型無(wú)約束支鏈，以及2條包含由4個(gè)球副組成的平行四邊形的復(fù)雜支鏈組成；裝配時(shí)，為使4個(gè)球副S的球心構(gòu)成平行四邊形，必須在平行四邊形中配置一桿帶兩轉(zhuǎn)動(dòng)副(Ra、Rb)的結(jié)構(gòu)(其長(zhǎng)度等于其一邊長(zhǎng)度即可)；動(dòng)平臺(tái)1上的轉(zhuǎn)動(dòng)R12、R22的軸線須平行于動(dòng)平臺(tái)1平面的法線；靜平臺(tái)0上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R11⊥R21，但R31、R41可任意布置。

2.5.2Ⅶ型3T1R機(jī)構(gòu)的DOF、Nov.、POC計(jì)算

(1)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

2條復(fù)雜支鏈為HSOC1{-R11‖◇(-S1,S2,S3,S4)-R12}、HSOC2{-R21‖◇(-S5,S6,S7,S8)-R22}；其余2條為無(wú)約束支鏈SOC{-R31-S9-S10-}、SOC{-R41-S12-S11-}。

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集、HSOC1、HSOC2末端構(gòu)件的POC集為

2條無(wú)約束支鏈末端構(gòu)件的POC集為

(3)確定第1個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1

①由第1、2支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC為

(4)確定第2個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2

①由第3支鏈構(gòu)成第2回路

②第1、2、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

Mpa(1-3)=Mpa(1-2)∩Mb3=

(5)確定第3個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈構(gòu)成第3回路

ξL3=dim.(Mpa(1-3)∪Mb4)=

(6)確定機(jī)構(gòu)自由度F

(7) 確定機(jī)構(gòu)的過(guò)約束數(shù)Nov.

(8)確定動(dòng)平臺(tái)POC集

Mpa=Mpa(1-3)∩Mb4=

因此，當(dāng)取R11、R21、R31、R41為驅(qū)動(dòng)副時(shí)，該機(jī)構(gòu)作三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)。

2.5.3Ⅶ型3T1R機(jī)構(gòu)κ計(jì)算、I-O解耦性分析

(1)確定第1回路及其約束度Δ1

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)確定所含基本運(yùn)動(dòng)鏈(BKC)及耦合度κ

該機(jī)構(gòu)僅含有一個(gè)BKC，也無(wú)I-O解耦性。該機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性如表6所示。

實(shí)現(xiàn)SCARA運(yùn)動(dòng)的X4機(jī)構(gòu)[17]，具有4條完全相同的上述復(fù)雜支鏈；而該機(jī)構(gòu)僅具有2條復(fù)雜支鏈，因此，該機(jī)構(gòu)可看作是X4并聯(lián)機(jī)構(gòu)的改進(jìn)與優(yōu)化，其構(gòu)造簡(jiǎn)單，制造維修更為容易。

表6 Ⅶ型3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性Tab.6 Topological structure characteristics of type Ⅶ 3T1R mechanism

至此，已完成7個(gè)(Ⅰ～Ⅶ)具有較好實(shí)用價(jià)值的4-DOF三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性分析，為尋求其低耦合度的新機(jī)型設(shè)計(jì)與優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。

3 基于結(jié)構(gòu)降耦的拓?fù)鋬?yōu)化

由第2小節(jié)分析可知，這7個(gè)單動(dòng)平臺(tái)的3T1R機(jī)構(gòu)，其耦合度均較高，為κ=2，這意味著這些機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解或動(dòng)力學(xué)正、逆解，其代數(shù)求解困難，數(shù)值求解也需要用二維搜索法才能求解，計(jì)算過(guò)程不易收斂并占時(shí)較多[2, 26]。

為此，本文運(yùn)用結(jié)構(gòu)降耦方法之一——機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副復(fù)合法[27-28, 30]，對(duì)這7種3T1R機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)降耦，得到了14個(gè)結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單、耦合度低(κ=1)、運(yùn)動(dòng)學(xué)或動(dòng)力學(xué)求解不復(fù)雜、但DOF和POC均不變的新機(jī)構(gòu)。限于篇幅，現(xiàn)僅舉以下2例說(shuō)明。

3.1 I型3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的降耦設(shè)計(jì)

將圖1所示的I型3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，垂直配置的2條支鏈在動(dòng)平臺(tái)1上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R15和R25重合(稱為：一次降耦)，形成一條含空間回路的復(fù)雜支鏈，得到的機(jī)構(gòu)如圖10所示[31]，顯然，機(jī)構(gòu)的DOF、POC、Nov.等均不變，但耦合度發(fā)生了變化，現(xiàn)計(jì)算如下：

圖10 一次降耦后的I型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.10 Once decoupled type Ⅰ 3T1R parallel mechanism

(1)確定第1回路及其約束度Δ1

loop1{-R11‖R12‖R13⊥R14‖R25‖R24⊥

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)機(jī)構(gòu)的耦合度κ

因此，降耦后的機(jī)構(gòu)仍由一個(gè)BKC組成，但其耦合度已降為κ=1。

進(jìn)一步，對(duì)圖10所示機(jī)構(gòu)中另2條垂直配置的支鏈在動(dòng)平臺(tái)1上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R35和R45重合(稱為：二次降耦)，則形成第2條含空間回路的復(fù)雜支鏈，得到如圖11所示的機(jī)構(gòu)[32]，其耦合度計(jì)算為：

圖11 二次降耦后的I型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.11 Twice decoupled type Ⅰ3T1R parallel mechanism

(1)確定第1回路及其約束度Δ1

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

根據(jù)基于約束度Δ最小的回路選擇原則[2]，第2回路不應(yīng)選復(fù)雜支鏈2構(gòu)成的回路(其約束度為1)，而應(yīng)為

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)機(jī)構(gòu)的耦合度κ

因此，該機(jī)構(gòu)仍含1個(gè)BKC，其耦合度也已降為κ=1；但機(jī)構(gòu)的自由度為F=4，過(guò)約束數(shù)Nov.=2，POC集為三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)，仍沒(méi)有改變。

需要說(shuō)明的是：圖1所示Ⅰ型3T1R機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)1和支鏈有4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，而圖10、11所示機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)1和支鏈連接的轉(zhuǎn)動(dòng)副，分別減少為3、2個(gè)，也許會(huì)增大動(dòng)平臺(tái)的工作靈活性和工作空間，這有待詳細(xì)分析。

3.2 Ⅱ型 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的降耦設(shè)計(jì)

將圖2所示Ⅱ型 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，垂直配置的2條支鏈在動(dòng)平臺(tái)1上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R15和R35重合(一次降耦)，則得到如圖12所示的降耦機(jī)構(gòu)[31]，其耦合度計(jì)算如下：

圖12 一次降耦后的Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.12 Once decoupled type Ⅱ 3T1R parallel mechanism

(1)確定第1回路及其約束度Δ1，同圖10所示機(jī)構(gòu)，為

loop1{-R11‖R12‖R13⊥R14‖R35‖R34⊥R33
‖R32‖R31-}

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)機(jī)構(gòu)耦合度κ

因此，該機(jī)構(gòu)僅含1個(gè)BKC，其耦合度已降為1。進(jìn)一步，將圖12所示機(jī)構(gòu)的其它2條S-S-R無(wú)約束支鏈在動(dòng)平臺(tái)1上的球副S22和S42重合(二次降耦)，形成第2條含空間回路的復(fù)雜支鏈，得到圖13所示的機(jī)構(gòu)[31]，同樣有：

圖13 二次降耦后的Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)Fig.13 Twice decoupled type Ⅱ 3T1R parallel mechanism

(1)確定第1回路及其約束度Δ1，同上，為

(2)確定第2回路及其約束度Δ2，同上，為

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)機(jī)構(gòu)耦合度κ

即該機(jī)構(gòu)耦合度已降為κ=1，顯然，機(jī)構(gòu)的位置正解以及動(dòng)力學(xué)分析較為容易，但機(jī)構(gòu)的POC和自由度(F=4)都沒(méi)變，但簡(jiǎn)化了機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)。其復(fù)合的球副可采用文獻(xiàn)[33]提出的“易制造結(jié)構(gòu)”來(lái)設(shè)計(jì)與制造，如圖14所示。

圖14 二次降耦后的Ⅱ型3T1R機(jī)構(gòu)易制造結(jié)構(gòu)Fig.14 Twice decoupled type Ⅱ 3T1R parallel mechanism (easy fabrication structure)

其他5種3T1R機(jī)構(gòu)的降耦設(shè)計(jì)，可同樣處理，限于篇幅，從略。

這樣，共得到14個(gè)低耦合度(κ=1)機(jī)型，其

中，動(dòng)平臺(tái)具有3個(gè)運(yùn)動(dòng)副的有7個(gè)，另7個(gè)為動(dòng)平臺(tái)具有2個(gè)運(yùn)動(dòng)副。這樣，7個(gè)耦合度較大的(κ=2)以及14個(gè)低耦合度(κ=1)的4-DOF 3T1R原創(chuàng)性新機(jī)構(gòu)，構(gòu)成了可實(shí)現(xiàn)SCARA運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)庫(kù)，為其進(jìn)一步研究、優(yōu)選、設(shè)計(jì)與應(yīng)用奠定了良好的理論基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

(1)根據(jù)基于方位特征(POC)和序單開鏈(SOC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論與方法，對(duì)提出的一類7個(gè)具有較好實(shí)用價(jià)值的SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)，進(jìn)行了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，揭示了其POC集、自由度(含驅(qū)動(dòng)副選取)、Nov.、耦合度、I-O解耦性等5個(gè)最主要的拓?fù)涮卣?，發(fā)現(xiàn)其耦合度均較大為κ=2，表明其運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解和動(dòng)力學(xué)求解十分復(fù)雜。

(2)基于結(jié)構(gòu)降耦原理，繼而又對(duì)上述κ=2的這7個(gè)機(jī)構(gòu)，通過(guò)動(dòng)平臺(tái)上轉(zhuǎn)動(dòng)副或球副的復(fù)合，進(jìn)行了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)降耦優(yōu)化，又得到了14個(gè)結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單、耦合度更低(κ=1)而POC、DOF等保持不變的3T1R原創(chuàng)性機(jī)構(gòu)，一方面，它們的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解及動(dòng)力學(xué)正反解的代數(shù)求解難度大大降低，其數(shù)值解可用一維搜索法方便求得；另一方面，大大豐富了SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)庫(kù)，為SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)類型優(yōu)選、運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)綜合和分析，以及設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。

(3)分析并揭示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的方位特征集(POC集)及其維數(shù)、獨(dú)立回路數(shù)v、獨(dú)立位移方程數(shù)ξLi、過(guò)約束數(shù)Nov.、自由度(DOF)類型和數(shù)目F、基本運(yùn)動(dòng)鏈(BKC)類型及其數(shù)目、BKC耦合度κ、I-O解耦性、消極運(yùn)動(dòng)副、驅(qū)動(dòng)副選擇、冗余度等12個(gè)指標(biāo)，它能為并聯(lián)機(jī)構(gòu)類型優(yōu)選及其性能評(píng)價(jià)提供重要依據(jù)，為機(jī)構(gòu)的優(yōu)選、運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的求解提供明確的方向，可在機(jī)構(gòu)選型階段就能大致了解機(jī)構(gòu)的一些運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能，大大減少機(jī)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計(jì)階段反復(fù)、冗長(zhǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)綜合、分析復(fù)雜性及其計(jì)算時(shí)間，因此，機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征分析，應(yīng)為并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究與開發(fā)應(yīng)用中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

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TopologicalAnalysisforFamilyofSCARAParallelMechanismsandTheirEquivalentDesignwithLowCouplingDegree

LI Ju ZENG Qingfei SHEN Huiping YANG Tingli

(ResearchCenterforAdvancedMechanismTheory,ChangzhouUniversity,Changzhou213016,China)

According to the parallel mechanism design theory and systematical method based on position and orientation characteristic (POC), a total topological structures analysis was performed on seven typical new SCARA parallel mechanisms (PMs) with proposed practical value. Five major topological features were revealed, which were POC set, degree of freedom (including the selection of drive pair), over-constraint degree, coupling degree and input-output motion decoupling relationship of PMs. It was found that the coupling degree of these PMs were bigger withκ=2, which meant that the forward kinematics solutions and inverse dynamic solution of the PMs were very complete. Therefore, decoupling and optimization of these PMs were completed based on the proposed mechanism topological structural decoupling principles, and 14 new equivalent mechanisms with lower coupling degree which had the same POC and DOF were achieved. Thus the 4-DOF mechanism with three translations and one rotation which can achieve Schonflies motion can be enriched greatly, and the forward kinematics solutions and inverse dynamic solution of these PMs can be obtained easily, and the numerical solution can be gotten conveniently by using one dimensional searching method. The research provided a theoretical basis for the kinematics synthesis and analysis, design and applications for these new SCARA PMs.

parallel mechanism; POC method; topological structure analysis; coupling degree; topological characteristics; mechanism synthesis

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.11.050

TH112

A

1000-1298(2017)11-0405-12

2017-03-12

2017-04-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51405039、51375062、51475050)、江蘇省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(BE2015043)和江蘇省科技成果轉(zhuǎn)化專項(xiàng)資金項(xiàng)目(BA2015098)

李菊(1981—)，女，講師，博士，主要從事機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和自動(dòng)控制研究，E-mail: wangju0209@163.com