考慮法向初始抗拉強(qiáng)度和切向抗剪強(qiáng)度變化的拱壩橫縫模型研究

牛智勇，胡志強(qiáng)，林 皋

（大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，遼寧省大連市 116024）

考慮法向初始抗拉強(qiáng)度和切向抗剪強(qiáng)度變化的拱壩橫縫模型研究

牛智勇，胡志強(qiáng)，林 皋

（大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，遼寧省大連市 116024）

拱壩橫縫在灌漿后保證了壩體的整體性，橫縫中的灌漿體具有一定抗拉強(qiáng)度，且球形、梯形鍵槽對切向滑動的約束與橫縫張開度相關(guān)。本文在B-可微方程組形式的橫縫接觸模型基礎(chǔ)上，針對法向、切向約束條件進(jìn)行了修正，提出了考慮橫縫初始抗拉強(qiáng)度、鍵槽切向抗剪力與張開度相關(guān)的修正接觸模型。數(shù)值試驗表明，該模型能夠模擬拉應(yīng)力通過橫縫在壩塊之間傳遞，以及在橫縫張開時，鍵槽仍能提供較大的切向約束力。

拱壩；橫縫；初始抗拉強(qiáng)度；鍵槽

0 引言

拱壩是作為整體結(jié)構(gòu)來承受水、砂和溫度等荷載等作用的，但在施工過程中，為防止壩體混凝土受溫度荷載影響產(chǎn)生裂縫，需采用分塊澆筑，在各塊之間設(shè)置橫向收縮縫的施工措施，待壩體混凝土冷卻到年平均氣溫，混凝土充分收縮后，再用壓力灌漿封拱。但橫向收縮縫的存在降低了拱壩的整體性，實(shí)際工程中在橫縫內(nèi)設(shè)置鍵槽，以提高壩體的抗剪強(qiáng)度[1]。拱壩接縫處的抗拉強(qiáng)度較低，在溫降、強(qiáng)震作用下橫縫可能會發(fā)生張開、閉合及滑動的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象將對拱壩的變形、應(yīng)力等工作形態(tài)運(yùn)行一定的影響。美國Pacoima拱壩在1971年San Fernando地震和1994年Northridge地震中，壩體橫縫均發(fā)生張開，大壩在加固后仍可正常工作。美國加州大學(xué)Clough等人在拱圈地震激勵試驗中也觀察到橫縫在動荷載下出現(xiàn)“時開時合”的現(xiàn)象[2]。同時數(shù)值試驗結(jié)果也表明[3]，與整體壩模型相比，這種橫縫張合現(xiàn)象將降低壩體中上部的拱向拉應(yīng)力，對壩體地震響應(yīng)產(chǎn)生重要影響。橫縫的變形和受力過程看作是摩擦接觸現(xiàn)象，使得壩體響應(yīng)呈現(xiàn)非線性特性?；跈M縫的幾何、變形特性，學(xué)者們在橫縫計算模型方面進(jìn)行了深入的研究。Dowling[4]采用了二維兩節(jié)點(diǎn)非線性彈簧模型； Fenves[5]、徐艷杰[3]采用的是三維接觸單元模型；杜修力、涂勁[6]，林皋、胡志強(qiáng)[7]，趙蘭浩[8]等人采用是的接觸力學(xué)模型，包括：動接觸模型[9]、非光滑方程組模型[10]、有限元混合法模型[11]。在接觸本構(gòu)方面，對于法向，大多采用接觸力為壓力的假定，在切向常采用庫倫摩擦定律或者切向約束無限大的假設(shè)。在求解方法方面，常采用“試驗-誤差”迭代法、數(shù)學(xué)規(guī)劃方法。上述研究工作一般假設(shè)縫面為平面，除文獻(xiàn)[8]外，大多沒有考慮橫縫法向初始抗拉強(qiáng)度的影響，而在切向，常假定鍵槽僅在橫縫閉合時才具有較強(qiáng)的抗剪能力，當(dāng)橫縫張開后其切向約束作用則不再有效。然而，對于實(shí)際拱壩工程，橫縫灌漿后也具有一定的抗拉強(qiáng)度，可以在一定程度上承受拱向拉應(yīng)力，并對兩側(cè)壩塊的應(yīng)力分布產(chǎn)生一定的影響。另一方面，橫縫一般采用矩形、梯形和球形鍵槽來約束壩塊之間的切向運(yùn)動，提高壩體的整體性。近年來，我國高拱壩建設(shè)常采用球形鍵槽，具有可避免應(yīng)力集中、施工方便的特點(diǎn)。其中，采用梯形或球形鍵槽的橫縫張開時，只要張開度小于鍵槽高度，鍵槽仍具有抗剪切能力，且抗剪強(qiáng)度并不是常數(shù)，而是與橫縫張開度相關(guān)。

本文基于摩擦接觸條件的B-可微方程組表示形式，對其進(jìn)行修正，提出了能夠考慮拱壩橫縫初始抗拉強(qiáng)度和鍵槽切向約束作用隨橫縫開度變化的接觸模型。

1 考慮初始抗拉強(qiáng)度和鍵槽約束變化的橫縫接觸模型

1.1 彈性摩擦接觸問題的B-可微方程組方法[12]

下面對彈性摩擦接觸問題的B-可微方程組解法作簡單介紹。

本文采用小變形、小位移假定，因此可采用點(diǎn)－點(diǎn)接觸模型，即橫縫兩側(cè)壩塊節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)。對于兩體（分別用體1和體2來表示）接觸情形，在接觸點(diǎn)對處，定義局部坐標(biāo)系nab，其中表示接觸面的法向，由體2指向體表示接觸面上互相垂直的兩個切向單位向量。Pn、Pa、Pb表示局部坐標(biāo)系下接觸點(diǎn)對的接觸力。假設(shè)接觸系統(tǒng)中，總的接觸點(diǎn)對個數(shù)為NC。對于三維彈性摩擦接觸問題，每個接觸點(diǎn)對i處的接觸條件可表示成如下的B-可微方程組形式：

其中，

式（1）表示法向接觸條件，包括法向不能互相嵌入以及法向接觸力為壓力的條件，這里假定接觸表面的壓力為正值，拉力為負(fù)值；法向張開為正值，法向嵌入為負(fù)值。式（2）和式（3）表示切向接觸條件，這里我們假定切向運(yùn)動服從庫侖摩擦接觸條件，即：滑動時，切向接觸力大小等于法向接觸力乘以摩擦系數(shù)滑動方向與切向接觸力方向在一條直線上且方向相反；無相對滑動時，切向接觸力小于法向接觸力乘以摩擦系數(shù)

1.2 考慮橫縫初始抗拉強(qiáng)度和鍵槽約束作用變化的修正B-可微方程組接觸模型

橫縫灌漿后，砂漿仍具有一定的抗拉強(qiáng)度，可以在相鄰壩塊之間傳遞拉應(yīng)力，這就使得橫縫間的接觸力可能出現(xiàn)拉力的情形，為此，法向接觸條件式（1）可修改成下面的形式：

為了反映鍵槽抗剪能力與橫縫張開度相關(guān)，可將式（6）修改為下式的形式：

由式（8）可見，當(dāng)橫縫閉合時，切向抗剪力由兩部分組成，一部分為摩擦力，一部分為鍵槽引起的抗剪力；當(dāng)橫縫張開時，若張開度小于橫縫鍵槽高度，則切向剪力僅由鍵槽產(chǎn)生，若張開度大于橫縫鍵槽高度，切向剪力為0。

1.3 修正B-可微方程組接觸模型的求解

除了上述接觸條件H2=0，H3=0和H4=0，對于接觸問題的求解，還需要整體結(jié)構(gòu)的平衡方程，如下式所示：

其中，K表示結(jié)構(gòu)的剛度陣；u表示位移；R表示外荷載；P；表示接觸力，其中，u和Pc為未知量。

這樣，平衡方程和接觸方程就構(gòu)成了彈性摩擦接觸問題的數(shù)學(xué)模型：

(5)可靠性原則。系統(tǒng)應(yīng)滿足電網(wǎng)企業(yè)運(yùn)營監(jiān)測業(yè)務(wù)應(yīng)用24小時可靠運(yùn)行的要求，系統(tǒng)關(guān)鍵環(huán)節(jié)軟硬件資源設(shè)計采用高可用方案，保證系統(tǒng)運(yùn)行的高度可靠，避免出現(xiàn)數(shù)據(jù)不及時和信息失真等現(xiàn)象。

在求解上述方程組時，H1的方程數(shù)為結(jié)構(gòu)的總自由度個數(shù)，H2～H4的方程總數(shù)為3NC，其中NC為接觸點(diǎn)對的個數(shù)。假設(shè)壩體為線彈性材料，為了提高求解效率，可先利用平衡方程求解出接觸柔度陣，即接觸力和接觸點(diǎn)對相對位移之間的關(guān)系，記做矩陣F，然后再利用接觸柔度陣F求解接觸方程組，求出接觸力，最后，將接觸力代入到平衡方程中，求出結(jié)構(gòu)位移u。

對于接觸條件所形成的B-可微接觸方程組或修正的B可微方程組，均可采用B-可微阻尼牛頓方法求解，該方法具有較好的全局收斂特性，具體解法可見參考文獻(xiàn)[13]。本文采用有限元軟件ANSYS建立拱壩有限元離散模型，根據(jù)上文介紹的橫縫計算模型采用Fortran語言編制了拱壩橫縫計算程序進(jìn)行計算。

2 工程算例

某雙曲拱壩壩高210m，設(shè)置橫縫27條，如圖1所示，壩體有限元離散模型如圖2所示。靜荷載作用包括分縫自重、溫降荷載和水荷載，其中，為了檢驗本文橫縫模型對初始抗拉強(qiáng)度和鍵槽影響的模擬，采用較低的水位，假設(shè)自由表面距壩底為100m，這樣溫降荷載可以在橫縫間產(chǎn)生一定的拉應(yīng)力。

圖1 拱壩橫縫布置圖Fig. 1 The layout of arch dam contraction joint

圖2 拱壩壩體有限元離散Fig. 2 The finite element discretization of arch dam

混凝土材料的彈性模量2.1×1010Pa，質(zhì)量2400kg/m3，泊松比0.17，熱膨脹系數(shù)1×10-5，橫縫之間的摩擦系數(shù)取為1.0。假定縫面為平面，鍵槽高度HShrKey為10cm，混凝土的抗剪強(qiáng)度fs取為2×106Pa，橫縫的初始抗拉強(qiáng)度ft取為0.5×106Pa。分別針對三種橫縫模型進(jìn)行計算：①模型1：橫縫無初始抗拉強(qiáng)度，鍵槽在橫縫張開后對切向運(yùn)動無約束；②模型2：考慮橫縫初始抗拉強(qiáng)度和鍵槽抗剪能力隨橫縫張開度變化，即本文提出的修正橫縫模型；③模型3：整體壩模型，即假設(shè)橫縫的初始抗拉強(qiáng)度和鍵槽抗剪強(qiáng)度無限大。

圖3～圖8分別為采用3種不同橫縫模型所得到的拱壩上、下游壩面最大主應(yīng)力、最小主應(yīng)力的分布圖。3種不同橫縫模型的最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力見表1。

圖9和圖10分別為采用橫縫模型1、2所得到的拱壩上、下游壩面橫縫開度分布圖。

圖3 橫縫模型1的拱壩上、下游面最大主應(yīng)力分布圖Fig. 3 The arch dam upstream and downstream surface maximum principal stress distribution of contraction joint model 1

圖4 橫縫模型1的拱壩上、下游面最小主應(yīng)力分布圖Fig. 4 The arch dam upstream and downstream surface minimum principal stress distribution of contraction joint model 1

圖5 橫縫模型2的拱壩上、下游面最大主應(yīng)力分布圖Fig. 5 The arch dam upstream and downstream surface maximum principal stress distribution of contraction joint model 2

圖6 橫縫模型2的拱壩上、下游面最小主應(yīng)力分布圖Fig. 6 The arch dam upstream and downstream surface minimum principal stress distribution of contraction joint model 2

圖7 橫縫模型3的拱壩上、下游面最大主應(yīng)力分布圖Fig. 7 The arch dam upstream and downstream surface maximum principal stress distribution of contraction joint model 3

圖8 橫縫模型3的拱壩上、下游面最小主應(yīng)力分布圖Fig. 8 The arch dam upstream and downstream surface minimum principal stress distribution of contraction joint model 3

表1 3種不同橫縫模型的主應(yīng)力極值Tab.1 The principal stress extremum of 3 contraction joint models

圖9 橫縫模型1的拱壩上、下游面橫縫開度分布圖Fig. 9 The arch dam upstream and downstream surface opening width distribution of contraction joint model 1

圖10 橫縫模型2的拱壩上、下游面橫縫開度分布圖Fig. 10 The arch dam upstream and downstream surface opening width distribution of contraction joint model 2

圖11和圖12分別為采用橫縫模型1、2、3所得到的拱壩上游壩面沿橫河向、順河向的位移分布圖。對于豎向位移，不同橫縫模型得到的計算結(jié)果基本相同。

圖11 不同橫縫模型的拱壩上游面橫河向位移分布圖Fig. 11 The arch dam upstream surface transverse displacement maps of different contraction joint models

（1）對于模型1，在上游壩面拉應(yīng)力較小，大部分為0～0.1MPa；對于模型2，上游壩面中上部的局部區(qū)域拉應(yīng)力為0.1～0.3MPa；兩種模型的上游面拉應(yīng)力分布有較大的差別。這是因為：模型1中橫縫不承受拉應(yīng)力，這樣對于溫降荷載引起的壩體體積收縮而產(chǎn)生的拱向拉應(yīng)力無法在壩體中上部高程范圍內(nèi)的壩塊之間傳遞；而模型2中，只要橫縫拉應(yīng)力小于灌漿材料的抗拉強(qiáng)度，則拱向拉應(yīng)力可以在壩塊之間進(jìn)行傳遞。

（2）對于模型2，壩體頂拱中部拉應(yīng)力較小，而且從橫縫開度圖10可見，在頂拱中部橫縫張開，說明此處由溫降產(chǎn)生的拱向拉應(yīng)力較大，超過橫縫灌漿材料的抗拉強(qiáng)度，但在壩體中、下部，應(yīng)力大小和數(shù)值基本相同，說明在這些位置，橫縫未張開。

圖12 不同橫縫模型的拱壩上游面順河向位移分布圖Fig. 12 The arch dam upstream surface along river displacement maps of different contraction joint models

（3）對于壓應(yīng)力，在下游壩面，三種模型得到的上、下游壩面應(yīng)力分布基本相似，其中，模型2、3得到的數(shù)值基本相同，模型1的應(yīng)力在壩踵處略大，其余部位與模型2、3基本相同。這說明壓應(yīng)力的大小和分布主要以水荷載作用為主。

由表1可知：模型2的最大主應(yīng)力小于模型1和模型3；模型2的最小主應(yīng)力與模型3的最小主應(yīng)力相等，比模型1的小。說明不同的橫縫模型對溫降荷載作用下壩體主應(yīng)力數(shù)值大小有較大的影響。

由壩面橫縫開度分布圖9和圖10可見：

當(dāng)采用模型1時，左、右1/4拱之間的壩塊的中上部高程橫縫張開度較大；采用模型2時，相比于模型1，橫縫張開的范圍減小，僅拱冠及其附近壩塊的橫縫上部高程發(fā)生張開現(xiàn)象，且橫縫最大張開度超過模型1的最大張開度將近2～3倍，這與橫縫張開時，鍵槽仍保持較大的切向約束能力有關(guān)。

由上游壩面橫河向、順河向位移分布圖11和圖12可見：

（1）沿橫河向，三種橫縫模型得到的位移分布基本相同，在壩體下部，位移的數(shù)值基本一致；模型1的位移值最大，且在橫縫處，特別是壩頂部，位移分布呈現(xiàn)較為明顯的不連續(xù)性，壩體中上部橫縫張開范圍較大；模型3的位移最小；模型2的位移分布在拱冠及其附近橫縫的頂部出現(xiàn)較為明顯的不連續(xù)性，在其余的橫縫處，位移場基本連續(xù)。

（2）沿順河向，三種縫模型得到的位移分布基本相同，特別是壩體中下部、壩踵處的位移值相差不大；在中上部壩面，模型1、2得到的位移值相差不大，并略高于模型3的位移值。當(dāng)橫縫閉合時，模型1、2的切向約束都比較強(qiáng)；當(dāng)橫縫張開時，通過對計算結(jié)果的檢驗，發(fā)現(xiàn)模型1出現(xiàn)切向滑動，錯動量的量級為1e-2mm，與相應(yīng)部位的順河向位移相比，數(shù)值相對較小，而模型2中，由于橫縫開度較小，則鍵槽仍保持較強(qiáng)的切向約束作用，使得切向滑動幾乎為0。因此，模型1、2沿順河向的位移相差不大。

3 結(jié)束語

本文提出了一種可以考慮法向初始抗拉強(qiáng)度、切向抗剪強(qiáng)度變化的橫縫接觸模型，用于模擬拱壩橫縫灌漿后所具有的初始抗拉強(qiáng)度、鍵槽抗剪能力隨橫縫開度變化的變形特點(diǎn)。數(shù)值試驗表明，在低水位條件下，不同的橫縫模型對溫降荷載作用下壩體上游面中上部高程的拉應(yīng)力分布和數(shù)值大小有較大的影響。一方面，當(dāng)水位較低、壩體上部的拱向壓力較小，溫降荷載可能會引起拱向拉應(yīng)力，本文提出的模型可以通過考慮法向初始抗拉強(qiáng)度，使得這種拉應(yīng)力可通過橫縫在相鄰壩塊中進(jìn)行傳遞。另一方面，由于鍵槽切向約束與張開度相關(guān)，因此，當(dāng)橫縫張開時，仍能提供一定的切向約束。因此，本文提出的橫縫計算模型將有助于更合理地模擬靜荷載作用下拱壩橫縫的工作形態(tài)。但對于模型中的切向抗剪強(qiáng)度、橫縫內(nèi)砂漿抗拉強(qiáng)度等參數(shù)還需要與實(shí)際工程條件相符合；另外，本文中的平縫假設(shè)與實(shí)際鍵槽具有較為復(fù)雜的幾何形狀不相符，還需對相應(yīng)的摩擦系數(shù)、鍵槽抗剪強(qiáng)度等等效參數(shù)的確定做進(jìn)一步的研究。

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2017-03-23

2017-05-19

牛智勇（1994—），男，碩士研究生，主要從事拱壩結(jié)構(gòu)分析。E-mial： nzyee@mail.dlut.edu.cn

胡志強(qiáng)（1972—），男，副教授，博士，主要從事混凝土壩-庫水-地基系統(tǒng)抗震分析方法研究。E-mail： huzhq@dlut.edu.cn

林 皋（1929—），男，教授，中國科學(xué)院院士，主要從事大壩、核電結(jié)構(gòu)抗震理論和模型試驗技術(shù)研究。E-mail： gaolin@dlut.edu.cn

A study on contraction joint model with normal initial tensile strength and variable tangential shear strength for arch dam

NIU Zhiyong，HU Zhiqiang，LIN Gao
（Faculty of Infrastructure Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）

The integrity of arch dam can be obtained after the contraction joints are grouted. The mortar in the joints is able to bear the tensile stresses below the tensile strength. Moreover，the constraints of sphere or trapezoidal shear keys in tangential direction will vary with the opening of the joints. In this paper，based on the contact model represented by the B-differential Equations，an updated model is proposed in which the initial tensile strength and relationship between shear strength of shear key and joint opening is taken into consideration. Numerical example shows that the tensile stresses can be transferred between adjacent dam monoliths through joints，and the shear keys can provide large tangential constraints even if the joints open.

arch dam；contraction joint；initial tensile strength；shear keys

TV311

A學(xué)科代碼：570.25

10.3969/j.issn.2096-093X.2017.03.014

十三五國家重點(diǎn)研發(fā)計劃“復(fù)雜工程力學(xué)高性能應(yīng)用軟件系統(tǒng)研制”（2016YFB0201000）