運(yùn)用類比，突破難點(diǎn)

賈玉芬

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2017）10-0178-01

人教版數(shù)學(xué)六上"一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)"的算理始終是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生不易理解，許多任課教師甚至也是糊里糊涂，只好根據(jù)教材照本宣科。有關(guān)合情推理課題的研究，使得我對(duì)類比推理的理解進(jìn)一步深入，再備這一內(nèi)容時(shí)，深度思考學(xué)生困惑的原因，忽然發(fā)現(xiàn)運(yùn)用類比推理方法，學(xué)生的困惑可可以迎刃而解，教學(xué)中的難點(diǎn)也就可以自然突破。

人教版數(shù)學(xué)六上教材上的例題是這樣的："小明23小時(shí)走了2km，小紅512小時(shí)走了56km。誰(shuí)走得快些？"

在試做時(shí)，學(xué)生的做法大致分三種情況：

方法一：多數(shù)學(xué)生的思路是：把23小時(shí)化成40分，然后根據(jù)路程÷速度=時(shí)間，用2000÷40×60=3000m=3km。

方法二：少數(shù)學(xué)生會(huì)只把23小時(shí)化成40分，列式為2÷40×60=30km。

方法三：少數(shù)學(xué)生根據(jù)關(guān)系列成2÷23，但這樣列式的學(xué)生大部分不會(huì)計(jì)算，也無(wú)從下手。

方法四：偶爾會(huì)遇見學(xué)生根據(jù)商不變的規(guī)律（或是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)），這樣算2÷23=（2×32）÷（23×32）=3km。

綜合看學(xué)生的四種方法，實(shí)際都是在運(yùn)用"歸一"的思路，這是因?yàn)閷W(xué)生從二年級(jí)開始學(xué)習(xí)乘除法開始有太多"歸一"的經(jīng)驗(yàn)。但從方法一與方法二的對(duì)比中可以看出，方法一的學(xué)生還是停留在整數(shù)問(wèn)題的"歸一"階段，而方法二和方法三的學(xué)生已經(jīng)通過(guò)學(xué)習(xí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，發(fā)展到可以用小數(shù)和分?jǐn)?shù)表示結(jié)果的階段，這應(yīng)該是在四下學(xué)習(xí)過(guò)小數(shù)的意義和五下學(xué)習(xí)學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)的意義后學(xué)生應(yīng)該有的水平。運(yùn)用方法四的學(xué)生思維水平較高。觀察到了數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，合理選擇了方法（使除數(shù)變?yōu)?）進(jìn)行了簡(jiǎn)潔的運(yùn)算。學(xué)生這樣做是要有多種知識(shí)綜合支撐的（或許是類比400÷2.5=（400×0.4）÷（2.5×0.4），或許是除數(shù)是1的除法算式的簡(jiǎn)潔，也或許是倒數(shù)的啟發(fā)…）這也正是課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的要求。

運(yùn)用方法一和方法二的學(xué)生可以歸一為1分鐘，但是學(xué)生為什么就是想不到書上的方法：可以歸一為1個(gè)13小時(shí)呢？難點(diǎn)到底在哪兒？回顧學(xué)生學(xué)過(guò)的，解決過(guò)的各類問(wèn)題，學(xué)生可以歸一為1個(gè)班，1元錢，1個(gè)百，甚至遇到"3個(gè)碗18元，12個(gè)碗多少錢？"時(shí)，也可以把3個(gè)碗的錢看成一個(gè)"1"，列式為12÷3×18。遇到半小時(shí)做20道題，也很容易想到1小時(shí)做的就是20×2…..只能是這樣，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)單位不熟悉，對(duì)分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量就不夠認(rèn)可，否則不會(huì)出現(xiàn)用方法1的學(xué)生最多。再看看，學(xué)生在什么時(shí)候用到分?jǐn)?shù)單位？學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)；在理解分?jǐn)?shù)加減法算理時(shí)。其他好像再?zèng)]有了，而僅有的兩種情況還在理解了之后就很少再說(shuō)起。所以，學(xué)生對(duì)"分?jǐn)?shù)單位"認(rèn)識(shí)與理解，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上對(duì)整數(shù)中計(jì)數(shù)單位的理解，甚至比不上對(duì)小數(shù)中小數(shù)部分計(jì)數(shù)單位的理解。當(dāng)然，這跟生活中分?jǐn)?shù)的應(yīng)用少于整數(shù)、小數(shù)有關(guān)系。

分析清楚原因，這次在課前我們來(lái)幫助學(xué)生重新完善"1"的概念，通過(guò)"1"概念的建立，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，促進(jìn)解題方法的多樣。

1. 4袋糖16元，9袋糖多少元？

2. 根據(jù)抽查，這批產(chǎn)品每100件中達(dá)到一等品標(biāo)準(zhǔn)的有82件。這批產(chǎn)品一共有1萬(wàn)件，達(dá)到一等品標(biāo)準(zhǔn)的大約有多少件？

3. 1.5小時(shí)行150km，3小時(shí)行多少km？

整體觀察，看出相同點(diǎn)，都是"歸一"，先求1個(gè)單位是多少，再求幾個(gè)單位是多少。 第2題10000÷100×82和第3題3÷1.5×150特殊在不是常規(guī)的一個(gè)單位，但是根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)單位"1"，把100件中的82件一等品看成一個(gè)單位，或1.5小時(shí)行的看成1個(gè)單位。就像分?jǐn)?shù)的單位"1"一樣。

小練習(xí)：23小時(shí)里有幾個(gè)13小時(shí)？

23小時(shí)做20道題，13小時(shí)做幾道題？

重新解決上面例題，并把例題分成兩部分，先做"小明23小時(shí)走了2km，，1小時(shí)走多少km？"使學(xué)生容易把精力集中在一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理上。

試做中，有學(xué)生很容易想到了書上的解法：先求1個(gè)13小時(shí)行多上千米，再求3個(gè)13小時(shí)行多上千米。

在上面同學(xué)的啟發(fā)下，有學(xué)生想到用23×3=2小時(shí)，求2小時(shí)行2×3=4km，再求小時(shí)行6÷2=3km。

接著有學(xué)生想到直接利用倒數(shù)求1小時(shí)23×32=1小時(shí)，再求路程2×32=3km。（訪談中學(xué)生是數(shù)想到23×32=1）。

上面學(xué)生的方法可以看出，學(xué)生的三種方法中都再試圖與1小時(shí)建立聯(lián)系。13小時(shí)容易與1小時(shí)建立聯(lián)系，2小時(shí)也容易建立聯(lián)系，而且是學(xué)生熟悉的方式。運(yùn)用倒數(shù)與1小時(shí)建立聯(lián)系是學(xué)生的機(jī)智或許是靈感。

這樣來(lái)看，比起往年教學(xué)這課內(nèi)容，學(xué)生思路確實(shí)廣泛多了。課題研究拓寬了教師的備課思路，促進(jìn)了教師對(duì)教材及數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解，更容易理解學(xué)生的想法，也在試著把前后學(xué)習(xí)中用到的相同方法進(jìn)行類比。研究讓教師們走上了幸福的研究之路。這也正是課題研究的的意義之一。endprint