基于時域差分法的雷擊回擊通道周圍空間電磁場研究

景 弘，王思華

（蘭州交通大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院，蘭州730070）

基于時域差分法的雷擊回擊通道周圍空間電磁場研究

景 弘，王思華

（蘭州交通大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院，蘭州730070）

由于雷擊回擊過程發(fā)生了強烈的電荷中和，會在周圍空間形成強烈的電磁脈沖，對各種電氣設(shè)備產(chǎn)生干擾。為此，對回擊通道周圍的電磁場進行模擬，提出了基于時域有限差分法的電磁場數(shù)值計算方法。雷電流模型采用雙指數(shù)函數(shù)與Heidler函數(shù)組合的函數(shù)模型，回擊通道采用改進型的DU模型。將模擬的結(jié)果與已有文獻的結(jié)果進行比較，得出時域有限差分法在模擬雷擊回擊通道周圍電磁場上具有一定有效性。模擬結(jié)果表明：雷電回擊通道周圍空間的電磁場受到回擊速度、大地相對介電常數(shù)、大地電導(dǎo)率等因素的影響。電場的初始峰值隨回擊速度的增加而減小，磁場隨回擊速度的增大變化不大，只是略微有所上升；電場隨著大地相對介電常數(shù)的增加而增加，波形變越來越陡峭；電場的初始峰值隨著電導(dǎo)率的減小而增大，波形上升變的越來越陡峭，這些模擬結(jié)果與實測雷電電磁場變化是一致的。

雷電流模型；回擊通道；雷電電磁場；回擊速度；大地相對介電常數(shù)；大地電導(dǎo)率

0 引言

雷電是一種常見的大氣放電現(xiàn)象，主要分為云層內(nèi)部，云層與云層之間，云層與大地間放電。其中，云層與大地間放電對人類生活危害最大。雷電放電時會在周圍產(chǎn)生強大的電磁感應(yīng)效應(yīng)、高電壓波入侵和電磁輻射效應(yīng)，對附近的建筑物、人員和電子設(shè)備構(gòu)成嚴重的威脅。因此，對雷電電磁脈沖進行研究顯得尤為重要。傳統(tǒng)的雷電電磁場理論計算有Quasi-Images算法（也稱頻域法）和偶極子方法，偶極子方法中，將有限電導(dǎo)大地假定為理想導(dǎo)體，忽略了大地對雷電電磁場的影響，當電磁場在有限電導(dǎo)的地面上傳播時，它的高頻分量會被有選擇地衰減，用偶極子方法得到的電磁場將會與實際的電磁場有較大的差異；頻域法考慮了大地電導(dǎo)率的影響，但是其公式中積分存在極點且收斂速度很慢，也很難用數(shù)值計算得到精確的結(jié)果。在過去10年，F(xiàn)DTD（時域有限差分法）作為麥克斯韋方程解的一種數(shù)值計算方法，贏得了極為廣泛的應(yīng)用，它是基于簡單的公式迭代，不需要復(fù)雜的漸進逼近和格林函數(shù)，并且可以通過改變網(wǎng)格的大小來提高精度。

一直以來，人們對雷電電磁場進行大量的研究，文獻[1-3]采用偶極子方法對Maxwell方程進行求解，得到不同高度不同水平距離處雷電電磁場的分布規(guī)律，而對于雷電電磁場微分方程如何求解并沒有給出具體的方法。文獻[4-6]分析了幾種常用的閃電回擊工程模型的有效性，得到MTLL回擊模型具有相對更高的精確度和有效性，但是DU模型具有較為明確的物理意義，對DU模型加以改善將得到與實際模型相吻合的理論模型。文獻[7-13]采用時域有限差分法分析了雷電電磁場，但對雷電流的選型、雷電模型的選型并沒有給出具體的說明，仿真精度有待于提高。

筆者將基于DU模型研究雷電回擊通道周圍電磁場的分布規(guī)律，在求解電磁場微分方程時，采用時域差分法，對比偶極子方法，得到時域有限差分法的有效性，并分析了回擊速度，大地相對介電常數(shù)，大地電導(dǎo)率對回擊通道周圍空間電磁場的影響，這對于雷電防護及預(yù)防雷電電磁干擾具有指導(dǎo)意義。

1 通道雷電流選擇

目前回擊通道底部電流通常采用雙指數(shù)函數(shù)和Heidler函數(shù)來表示[14-15]，然而雙指數(shù)函數(shù)在初始時刻電流的導(dǎo)數(shù)最大，不符合閃電物理機制，Heidler函數(shù)不可直接積分，不便于雷電磁場的計算。這里對標準雷電流進行拆分、擬合，得到下式雷電流函數(shù)：

式中前半部分表示擊穿電流，后半部分表示電暈電流，η為擊穿電流峰值的修正因子，τ1、τ2為時間常數(shù)，α為波頭衰減常數(shù)，β為波尾的衰減常數(shù)，IBD為擊穿電流的峰值，IC為電暈電流的峰值。對于擊穿電流和電暈電流相關(guān)參數(shù)典型的取值為：IBD=28 kA，τ1=0.0612 μs，τ2=15.2312 μs，α=198.5 μs，β=6.4125 μs，IC=20.5 kA。

由該函數(shù)得到典型回擊通道底部的雷電流及其導(dǎo)數(shù)波形如圖1所示。

圖1 回擊通道底部電流及其導(dǎo)數(shù)波形Fig.1 The bottom current and its derivative waveform of the return stroke

對比雷電流回擊通道中的工程模型[16-17]，發(fā)現(xiàn)DU模型具有較為明確的物理意義，其電磁場的計算結(jié)果也能反映實測波形的大部分特征。DU模型的電流表達式如下：

式中，τD為電流放電時間常數(shù)，v為雷電流的傳播速度，一般?。?/3～1/2）c，c為光速。

將（1）式得到的回擊通道底部雷電流代入式（2），得到回擊通道的雷電流，其波形如圖2所示。

圖2 DU回擊通道電流波形Fig.2 The DU current waveform of the return stroke

2 空間電磁場計算

從Maxwell方程組出發(fā)，根據(jù)偶極子理論，可以推導(dǎo)出空間任意一點P（r，φ，z）的電磁場：

式中，r，φ，z分別為P點在柱坐標系中的徑向坐標，方位角和軸向坐標；R為電流原點到場點的距離，其中R=（（z-z’）2+r2）1/2；ε0，μ0和c分別為真空電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率和光速；Er，Ez和Hφ分別為P點水平電場、垂直電場和磁場。（3）和（4）式的第一項為靜電場分量，第二項為感應(yīng)電場分量，第三項為輻射電場分量；（5）式第一項為感應(yīng)磁場分量，第二項為輻射磁場分量。圖3是基于偶極子理論的雷電回擊通道電磁場計算模型。

圖3 雷電回擊通道的天線模型Fig.3 The antenna model of lightning return stroke channel

通過上面3個式子可知，空間任意一點電磁場即有與通道電流和電流導(dǎo)數(shù)有關(guān)的項，又有與電流對時間的積分有關(guān)的項，很難直接積分得到解析公式。因此，必須采用數(shù)值方法進行計算。

3 雷電電磁場時域有限差分計算

20世紀60年代K.S.Yee提出了時域有限差分法，并首先運用到解決電磁散射問題。時域有限差分法（FDTD）從Maxwell方程組出發(fā)，將時間和空間離散化，在時間和空間上構(gòu)建網(wǎng)格，用過去時刻的電場和磁場分量來計算下一時間步的電場磁場分量，進而得到整個空間隨時間變化的電磁場。圖4是基于FDTD的計算模型。

圖4 雷電電磁場的計算模型Fig.4 The calculation model of lightning electromagnetic field

對于圖4雷電電磁場的計算模型，一般取雷電回擊通道高度H=7.5 km，回擊速度v=1.3×108，吸收邊界條件采用一階Mur吸收邊界條件。在圖5采用的二維坐標系下，相應(yīng)的麥克斯韋方程組為：

圖5 二維雷電電磁場的FDTD模型Fig.5 Two dimensional FDTD model of lightning electromagnetic field

將上式的3個方程中心離散可以轉(zhuǎn)換為如下3個方程：

由于計算機內(nèi)存有限，時域差分問題的空間也是有限的，需要用特殊的邊界條件來截斷，這里采用一階Mur吸收邊界條件，其對應(yīng)的表達式如下。

在z軸方向：

在r軸方向：

在軸線上的差分方程：

（1）如果為無源區(qū)域：

（2）如果為有源區(qū)域：

其中I（0，j+1/2）為在回擊通道高度為Δz（j+0.5）處的電流元。

在進行時域有限差分法求解雷電流周圍空間的電磁場時，雷電流回擊通道采用DU模型，通道基部電流采用雙指數(shù)函數(shù)和Heidler函數(shù)結(jié)合的函數(shù)表示，坐標軸上空間間隔Δr=Δz=0.5 m，地面的電導(dǎo)率σ=2.5×10-4S/m，相對介電常數(shù)εr=10，計算距離雷電回擊通道r=15 m處的垂直電場，垂直電場的波形圖如圖6所示。

通過對比圖6可以發(fā)現(xiàn)，（a）、（b）兩圖的波形幾乎一致，這就說明時域有限差分法在計算雷電空間電磁場的有效性。

為了進一步說明FDTD有限差分法在計算雷電空間電磁場的正確性，這里分別用FDTD有限差分法和偶極子方法計算地面50 m的垂直電場和磁場，計算結(jié)果如圖7所示。

圖6 FDTD方法計算和來自文獻[13]實測的r=15 m處的電場Fig.6 Calculation of the electric field at r=15 m by the FDTD methodandTheelectricfieldfromther=15mmeasuredbythe[13]

圖7 地面50 m處切向磁場和垂直電場Fig.7 Tangential magnetic field on the ground 50 m and Vertical electric field at the ground 50 m

通過圖7可以看出，兩種方法的計算結(jié)果基本一致，這也進一步說明時域有限差分法在計算雷電周圍空間電磁場的正確性。

4 基于FDTD的計算結(jié)果

從式（9）-（13）可以看出雷電周圍的電磁場與雷電流模型、通道高度、回擊速度、大地介電常數(shù)、大地電導(dǎo)率有著密切的關(guān)系。下面采用FDTD數(shù)值方法分析上述因素對雷電周圍空間電磁場結(jié)果的影響效果。圖8（a）、（b）是r=15 m處，回擊速度v=1.5×108，1.9×108，2.1×108m/s時，電磁場的變化情況。

圖8 不同的回擊速度時的電場和磁場Fig.8 Electric field at different speed of return stroke

從圖8（a）中可以看出回擊速度對電場的影響較大，隨著回擊速度的增大，電場的初始峰值在減小，陡度在增大，說明電場的高頻分量在增大；從圖8（b）中可以看出回擊速度對磁場的影響較小，隨著回擊速度的增大，磁場初始峰值有略微的上升，說明磁場的高頻分量在下降。這與實際觀察雷電電磁場變化是一致的。

為了分析大地相對介電常數(shù)，大地電導(dǎo)率對電場的影響效果，這里分別取大地相對介電常數(shù)εr=3，5，10、大地電導(dǎo)率σ=1×10-2，1×10-3，2.5×10-4S/m，運用FDTD分析觀測點離場點r=15 m處電場的變化情況。圖8（c）、（d）是電場的變化情況。

從圖8（c）中可以看出相對介電常數(shù)對電場有一定的影響，隨著相對介電常數(shù)的增加，電場的初始峰值在增加，波形上升越來越陡峭，且上升的時間在下降；隨著大地電導(dǎo)率的增加，電場的初始峰值在下降，波形變得越來越陡峭，說明電場的高頻分量在增加。

5 結(jié)論

1）采用雙指數(shù)函數(shù)和Heidler函數(shù)組合表示的回擊通道基部電流模型能夠很好的反映自然條件下雷電機理，方便計算回擊通道周圍空間的電磁場；采用改進型的DU回擊通道模型，能夠很好的再現(xiàn)雷電回擊測量場的4個特征，得出與實測結(jié)果相吻合的模型。

2）與傳統(tǒng)的偶極子方法相比，F(xiàn)DTD數(shù)值計算方法能夠很容易計算回擊通道周圍空間的電磁場，并且隨著空間步長的縮小，計算結(jié)果的精度可以進一步的提高。用FDTD計算的回擊通道周圍的電磁場能夠反映回擊速度、大地相對介電常數(shù)、大地電導(dǎo)率等因數(shù)對電磁場的影響效果。

3）隨著回擊速度的增加，r=15 m處電場初始峰值在下降，電場的高頻分量在增加；磁場隨回擊速度的增加變化不大，初始峰值只是略微上升；隨著相對介電常數(shù)的增加，電場的初始峰值逐漸增加，波形上升越來越陡峭；隨著大地電導(dǎo)率的增加，電場的初始峰值逐漸下降，波形也變得越來越陡峭，這與實測結(jié)果基本上是一致的。

[1]曹芙蓉，賀昌輝，楊河林.雷電放電空間的電磁場分析[J].船舶電子工程，2004，24（6）:86-89.CAO Furong，HE Changhui，YANG Helin.Electromag?netic field lightning space analysis of[J].Ship Electronic Engineering，2004，24（6）:86-89.

[2]王曉嘉，陳亞洲，萬浩江，等.LEMP空間表達式求解及分布規(guī)律[J].微波學(xué)報，2012，28（6）:16-21.WANG Xiaojia，CHEN Yazhou，WAN Haojiang，et al.LEMP spatial expression and distribution law[J].Journal of microwaves，2012，28（6）:16-21.

[3]劉榮美，汪友華，張巖.雷電回擊電磁模型[J].電瓷避雷器，2014，137（2）:81-89.LIU Rongmei，WANG Youhua，ZHANG Yan.Lightning electromagnetic model of[J].Insulators and surge arrest?ers，2014，137（02）:81-89.

[4]李韋霖，楊琳，李慧，等.雷電通道模型研究與應(yīng)用[J].電子技術(shù)，2010（5）:174-178.LI Weilin，YANG Lin，LI Hui，et al.Research and appli?cation of lightning channel model[J].Electronic technolo?gy，2010（5）:174-178.

[5]陳亞洲，王曉嘉，萬浩江.閃電回擊工程模型的有效分析[J].高電壓技術(shù)，2012，38（10）:2683-2690.CHEN Yazhou，WANG Xiaojia，WAN Haojiang.Effec?tive analysis of lightning engineering model[J].High volt?age engineering，2012，38（10）:2683-2690.

[6]MEGUMU Miki，VLADIMIR A.RAKOV，KEITH Rambo，GEORGE H.Schnetzer，and Martin A.Uman.Electric fields near triggered lightning channels measured with Pockels sensors[J].Joural of Geophysical Research，2002，107（16）:1-11.

[7]AKIYOSHI Tatematsu，TAKU Noda.Three-Dimensional FDTD calculation of Lightning Induced voltages on a mul?tiphase distribution line with the lightning arresters and an overhead shielding wire[J].IEEE Transactions on Electro?magnetic Compatibility，2013，PP（99）:1-9.

[8]SHOZO Sekioka，ICHIRO Matsubara，SHIGERU Yokoya?ma.Return-stroke model segmentation and its Application to lightning-induced surges calculation[J].IEEE Transac?tions on Electromagnetic Compatibility，2010，53（1）:122-130.

[9]楊棟新.基于時域有限差分法的雷電輻射電磁場的分析研究[D].保定:華北電力大學(xué)，2008.YANG Dongxin.Analysis and Research on electromagnet?ic field of lightning electromagnetic field based on finite difference time domain method[D].Baoding:North China Electric Power University，2008.

[10]宋庭新.基于網(wǎng)格計算的雷電電磁環(huán)境仿真[D].武漢:華中科技大學(xué)，2005.SONG Tingxin.Lightning electromagnetic environment simulation based on grid computing[D].Wuhan：Hua?zhong University of Science and Technology，2005.

[11]王立.時域有限差分法仿真二維電磁波傳播[J].艦船科學(xué)技術(shù)，2011，33（2）:49-51.WANG Li.Finite difference time domain finite difference method simulation of two-dimensional electromagnetic wave propagation[J].Ship science and technology，2011，33（2）:49-51.

[12]楊華.雷電電磁場FDTD分析[D].青島:中國海洋大學(xué)，2008.YANG Hua.FDTD analysis of lightning electromagnetic field[D].Qingdao:Ocean University of China，2008.

[13]孫建虎，劉穎芳，尹平.雷電流數(shù)學(xué)模型分析[J].后勤工程學(xué)院學(xué)報，2012，28（2）:86-91.SUN Jianhu，LIU Yingfang，YIN Ping.Mathematical mod?el of lightning current mathematical model analysis[J].Journal of Logistics Engineering College，2012，28（2）:86-91.

[14]陳娜娜.雷電流數(shù)學(xué)模型的對比[J].電氣開關(guān)，2010，（3）:82-84.CHEN Nana.Comparison of mathematical model of light?ning current[J].Electric switch，2010，（3）:82-84.

[15]趙玉龍，劉光斌，余志勇.雷電流數(shù)學(xué)模型MATLAB仿真分析[J].電磁仿真，2012，（1）:53-55.ZHAO Yulong，LIU Guangbin，YU Zhiyong.Mathemati?cal model of lightning current mathematical model MAT?LAB simulation analysis[J].Electromagnetic simulation，2012，（1）:53-55.

[16]魏明.雷電電磁脈沖及其防護[M].北京:國防工業(yè)出版社，2010.WEI Ming.Thunder and lightning electromagnetic pulse and its protection[M].Beijing:national defence industry press，2010.

[17]陳則煌，張云峰，周中山，等.加速電荷電磁場求解閃電通道輻射場[J].電瓷避雷器，2015，138（4）:38-42.CHEN Zehuang，ZHANG Yunfeng，ZHOU Zhongshan，accelerated charge of solving the electromagnetic field of the lightning channel radiation field[J].Insulators and surge arresters，2015，138（4）:38-42.

Research of Electromagnetic Field around the Lightning Return-Stroke Channel based on FDTD Method

JING Hong，WANG Sihua
（School of Automatic and Electrical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China）

The electromagnetic pulse,caused by lightning,will be produced around the return stroke space during the process of Lightning discharge which disturbs electrical equipment.To this end,the elec?tromagnetic field around the channel is simulated,and the numerical method of electromagnetic field based on finite difference time domain method(FDTD)is proposed.The lightning current model adopts the function model of the combination of the double exponential function and the Heidler function,and the improved DU model is adopted for the lightning return-stroke channel.The simulation result is com?pared with existing literature,and obtained that the effectiveness of the FDTD method is effectiveness on simulating the electromagnetic field around the lightning return-stroke channel.The simulation result shows:The electromagnetic field around the lightning strikes channel is affected by the factors such as the speed of the return strike,the relative permittivity of the earth,the earth's conductivity and other fac?tors.The initial peak of the electric field decreases with the increase of the return strike speed,and the magnetic field increases little with the increase of the return strike speed.The electric field increases with the increase of the relative permittivity of the earth,and the wave shape becomes more and more steep.The initial peak of the electric field increases with the decrease of the conductivity,and the waveform will become steeper and steeper.The simulation results are consistent with the measured lightning electromag?netic field.

lightning current model；lightning return-stroke channel；lightning electromagnetic field；return stroke speed；relative permittivity of the earth；conductivity of the earth

10.16188/j.isa.1003-8337.2017.05.012

2016-06-02

景弘（1988—），男，碩士，研究方向：高電壓與絕緣技術(shù)。

國家自然科學(xué)基金（編號:51567014）；中國鐵路總公司科技研究開發(fā)計劃項目（編號:2016J010－C）。