一類隨機(jī)環(huán)境中單邊二重隨機(jī)游動(dòng)的常返性

張 培，武芳勤

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000）

一類隨機(jī)環(huán)境中單邊二重隨機(jī)游動(dòng)的常返性

張 培，武芳勤

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000）

隨機(jī)環(huán)境中的單邊二重隨機(jī)游動(dòng)是隨機(jī)環(huán)境中隨機(jī)游動(dòng)的推廣，討論了隨機(jī)環(huán)境中單邊二重隨機(jī)游動(dòng)的常返性.在環(huán)境滿足一定的條件下給出二重隨機(jī)游動(dòng)的常返、正常返、零常返和非常返的判別準(zhǔn)則.

隨機(jī)環(huán)境；單邊二重隨機(jī)游動(dòng)；非常返；正常返；零常返

0 引言

20世紀(jì)70年代，kozlov[1]首次提出隨機(jī)環(huán)境中的隨機(jī)游動(dòng)（RWRE）模型，隨后Solomon[2]討論了全直線上的RWRE的性質(zhì)，諸多概率論工作者研究了隨機(jī)環(huán)境中的隨機(jī)游動(dòng)，并且取得豐富的結(jié)果[3-5].作為隨機(jī)環(huán)境中隨機(jī)游動(dòng)的推廣的隨機(jī)環(huán)境中的二重隨機(jī)游動(dòng)卻很少有人研究.隨機(jī)環(huán)境中的二重隨機(jī)游動(dòng)是物理學(xué)中的一個(gè)很重要的模型，具有很強(qiáng)的實(shí)用意義，Szase等[6]和Alili[7]比較系統(tǒng)地研究了二重隨機(jī)游動(dòng)，鄭希民[8]研究了獨(dú)立同分布隨機(jī)環(huán)境中的單邊二重生滅鏈的常返性，汪榮明[9]研究隨機(jī)環(huán)境中二重生滅鏈的馬氏性.本研究主要討論在0點(diǎn)上具有反射壁的一類隨機(jī)環(huán)境中單邊二重隨機(jī)游動(dòng)的常返性，給出該模型的正常返和零常返的判別準(zhǔn)則.

1 定義與符號(hào)

定義1 稱取值于Z+={0,1,2，…}的隨機(jī)過(guò)程{Xn，n≥0}是隨機(jī)環(huán)境中的單邊二重隨機(jī)游動(dòng).如果：

且

其中 βj＞0，αj＜1（j≥1）；{βj}j≥1和{αj}j≥1是隨機(jī)變量序列. 稱隨機(jī)變量序列 e={βj，αj，j≥0}是隨機(jī)環(huán)境，它的每個(gè)現(xiàn)實(shí)稱為環(huán)境.

由于Xn是不可約的二重馬氏鏈，討論此二重隨機(jī)游動(dòng)的常返性，只需要討論某一點(diǎn)的常返性.不失一般性可以討論0點(diǎn)的常返性.

2 主要結(jié)果及其證明

引理1[2]如果對(duì)幾乎所有的環(huán)境{Xn，n≥0}某一性質(zhì)都成立，則此隨機(jī)環(huán)境下的馬氏鏈{Xn，n≥0}也具有此性質(zhì).

引理2[9]{Xn，n≥0}為固定環(huán)境中的二重隨機(jī)游動(dòng)，則：

引理3 設(shè)Y1，Y2，…，Yn，…是一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量且方差一致有界，即存在M＞0使得DYn≤M，

則：

1）當(dāng) c＜0 時(shí)，

2）當(dāng) c≥0 時(shí)，

證明：因?yàn)閧Yn，n≥1}是一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，方差存在且一致有界，故有：

所以對(duì)上述 ε＞0 存在 N0∈N+，當(dāng) n＞N0時(shí)有綜上對(duì)上述 ε＞0 存在 N1∈N+，當(dāng) n＞N1時(shí)有乎處處成立.

1）當(dāng) c＜0 時(shí)，存在 N2∈N+，當(dāng) n＞N2時(shí)有乎處處成立.

2）當(dāng) c＞0 時(shí)，存在 N3∈N+，當(dāng) n＞N3時(shí)有幾乎處處成立.

定理1設(shè){Xn，n≥0}是隨機(jī)環(huán)境e={（αn，βn），n≥1}中的單邊二重隨機(jī)游動(dòng)，若{lnσn，n≥1}兩兩不相關(guān)，D（lnσn）存在且一致有界

1）若 c≥0，則{Xn，n≥0}常返；

2）若{Xn，n≥0}非常返，則 c＜0；

3）若 c＞0，則{Xn，n≥0}正常返；

4）若 c=0，則{Xn，n≥0}零常返.

證明：令

下證（3）和（4）：當(dāng) c＞0時(shí)，有：

定理2設(shè){Xn，n≥0}是隨機(jī)環(huán)境e={（αn，βn），n≥1}中的單邊二重隨機(jī)游動(dòng)，若αj=1-βj，{lnσn，n≥1}兩兩不相關(guān)，D（lnσn）存在一致有界

1）c≥0?{Xn，n≥0}常返；

2）c＜0?{Xn，n≥0}非常返；

3）c＞0?{Xn，n≥0}正常返；

4）c=0?{Xn，n≥0}零常返.

證明：先證明（1）、（2）的充分性，由定理 1（1）知（1）的充分性成立.

故有：

由定理1知（2）的充分性成立.

下證必要性，對(duì)于（1）如果{Xn，n≥0}常返，則必有 c≥0，反之如果 c＜0，由（2）的充分性知{Xn，n≥0}非常返矛盾.

同理可得（2）的必要性成立.由定理 2（1）和定理 1知（3）、（4）成立.

[1]KOZLOVMV.RandomWalk ina One Dimensional Random Medium[J].Physica AStatistical Mechanicsamp;Its Applications，1990，164（1）：52-80.

[2]SOLOMONF.Random Walk ina Random Environment[J].Annals of Probability,1975，3（1）：1-31.

[3]COGBURNR.Markov Chains in Random Environments:the Case of Markov Environments[J].Annals of Probability，1980，8（5）：908-916.

[4]COGBURNR.The Ergodic Theory of Markov Chains in Random Environments[J].ZWahrach Verw Gebiete，1984，66（1）：109-128.

[5]COGBURNR.On Direct Convergenceand Periodicity for Transition Probabilities of Markov Chainsin Random Environments[J].Annals of Probability，1990，18（2）：642-654.

[6]SZASED，TOTHB.Peresist Random Walksin One-dimensional Random Environment[J].Journal of Statistical Physics，1984，37（1）：28-38.

[7]ALILIS.Peresistent Random Walksin Stationary Environment[J].Journal of Statistical Physics，1999，94（3）：469-494.

[8]鄭希民.隨機(jī)環(huán)境中單邊二重生滅鏈的常返性[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2007，53（1）：17-20.

[9]汪榮明.關(guān)于隨機(jī)環(huán)境中二重生滅鏈的馬氏性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，（2）：11-18.

Recurrence of Single Side Random Walks of Order 2 in Random Environment

ZHANG Pei,WU Fang-qin
(School of Mathematicsamp;Statistics,Suzhou University,Suzhou,Anhui 234000,China)

Single side random walks of order 2 in random environment is the extension of random walk in random environment.In this paper,the recurrence of single side random walks of order 2 in random environment is discussed.The criterion of recurrence,positive recurrence,null recurrence and transience of single side random walks of order 2 is given under the environment that satisfies certain condition.

random environment;single side random walks of order 2;non-recurrence;positive recurrence;null recurrence

O211.62

A

1673-1972（2017）06-0053-04

2017-10-11

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（11371029）；宿州學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目（2016yzd05）；宿州學(xué)院校級(jí)一般科研項(xiàng)目（2014yyb01）

張培（1988-），女，安徽宿州人，助教，主要從事隨機(jī)分析研究.

（責(zé)任編輯 鈕效鹍）